Решение симметричных уравнений высших степеней

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

	Трёхчленные уравнения
	Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
	Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
	Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
	Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .

Видео:11 класс, 3 урок, Уравнения высших степенейСкачать

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

где a , b – заданные числа.

Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Ответ :.

Видео:Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

а также уравнения вида

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (5):

В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (9):

В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (14):

В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

(18)

В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (16) получаем:

Ответ :

Пример 3 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (20):

В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

(24)

В первом случае из равенства (22) получаем:

Во втором случае из равенства (22) получаем:

Ответ :

Видео:Вспоминаем схему Горнера и уравнения высших степенейСкачать

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

где a , b , c, d – заданные числа.

Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (26):

В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

Пример 4 . Решить уравнение

Решение . Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

и найдем значение выражения

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (31):

В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

В первом случае из равенства (33) получаем:

Во втором случае из равенства (33) получаем:

Ответ :

Видео:Уравнения высших степеней 1 часть (старший коэффициент равен 1)Скачать

Симметрические и кососимметрические уравнения

Симметрические и кососимметрические уравнения

Симметрическим уравнением n -й степени называется алгебраическое уравнение вида

где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты равны, т.е.

Рассмотрим отдельно решение симметрических уравнений чётной и нечётной степеней [30].

Если то поделим уравнение на и сделаем замену . В результате получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём все решения уравнения.

Если же , то одним из корней уравнения всегда будет x = — 1. Делением многочлена в левой части уравнения на x + 1 задача сводится к решению симметрического уравнения степени n = 2k , метод решения которого рассматривался выше.

Пример №189.

Решить уравнение

Решение:

Очевидно, имеем симметрическое уравнение 5-й степени. Решаем его по изложенной выше схеме. Одним из корней уравнения будет число x = — 1. Найдём другие корни:

Решим симметрическое уравнение 4-й степени

Поделим для этого обе части уравнения на :

Обозначим у = x + (1/x), тогда

Выполняя обратную подстановку, получаем

Объединяя полученные решения, приходим к ответу:

Кососимметрическим уравнением n -й степени называется уравнение вида

где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты являются противоположными числами, т.е.

Решение кососимметрических уравнений чётной и нечётной степени во многом аналогично решению соответствующих симметрических уравнений.

Если , то делением обеих частей уравнения на и заменой получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём решения уравнения.

Если же , то одним из корней уравнения всегда будет x = 1, поэтому делением на x — 1 получаем кососимметрическое уравнение степени n = 2k . Задача свелась к предыдущей.

Пример №190.

Решить уравнение

Решение:

Это кососимметрическое уравнение 4-й степени. Поскольку x = 0 не является корнем уравнения, то поделим обе его части на :

Перепишем последнее уравнение в виде

Положим у = х — (1/x), тогда получим

Выполняя обратную подстановку, получаем 4 решения

Пример №191.

Найти все значения параметра а , при которых уравнение

на промежутке имеет не менее двух корней.

Решение:

Так как , то делением уравнения на , группировкой слагаемых с одинаковыми коэффициентами и заменой у = x — (1/х), получаем равносильное уравнение

Поскольку функция у =x — (1/x) возрастает на промежутке от до , то исходное уравнение имеет не менее двух корней на тогда и только тогда, когда, когда полученное уравнение имеет два отрицательных корня т.е. когда

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Теорема БезуСкачать

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2. Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Видео:✓ Теорема Безу. Рациональные нули многочленов | Ботай со мной #119 | Борис ТрушинСкачать

Скачать:

Видео:8 класс, 35 урок, Уравнения высших степенейСкачать

Предварительный просмотр:

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Учитель математики МБОУ СОШ № 34 г. Тихорецка Мирошниченко В.Н.

ТЕМА 3 «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1 . Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2 . Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа . Решение симметрических и возвратных уравнений.

Методическая разработка первого занятия по данной теме.

Цель изучения данной темы:

— расширить знания о видах уравнений;

— познакомить с методами их решения;

— учить решать трудные задачи.

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

ах 3 + вх 2 + вх + а = 0, а ≠ 0, (1)

называются симметрическими уравнениями третьей степени . Поскольку ах 3 + вх 2 + вх + а = а (х 3 + 1) + вх (х+1) = а (х+ 1) (х 2 — х+ 1) + вх (х+ 1) = (х+1) (ах 2 + (в — а) х + а), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

х + 1 = 0 и ах 2 + (в — а) х + а = 0, решить которую просто.

Пример 1. Решить уравнение

3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 0.

Уравнение является симметрическим уравнением третьей степени. Разложим на множители левую часть уравнения

3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 3 (х 3 + 1) + 4х (х + 1) = ( х + 1) (3х 3 – 3х + 3 + 4х) = ( х+ 1) (3х 3 + х + 3).

Уравнение равносильно совокупности уравнений

х + 1 = 0 и 3х 3 + х + 3 = 0,

ах 4 + вх 3 + сх 2 + вх + а = 0 , а≠ 0,

называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения , то , разделив обе части уравнения на х 2 , получим уравнение . равносильное исходному:

ах 2 + а/х 2 + вх + в/х + с = 0.

Перепишем уравнение в виде:

а [(х + 1/х) 2 — 2 ] + в ( х + 1/х) + с = 0.

В этом уравнении сделаем замену х + 1/х = у. тогда получим квадратное уравнение

ау 2 + ву +с – 2а = 0.

Если уравнение имеет два корня у 1 и у 2 , то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

х 2 — х у 1 + 1 = 0 и х 2 — х у 2 + 1 = 0.

Если же уравнение имеет один корень у 0 , то исходное уравнение равносильно уравнению х 2 — у 0 х = 1 = 0.

Если уравнение не имеет корней, то и исходное уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение

х 4 – 5х 3 + 8х 2 – 5х- 1 =0.

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х= 0 не является его корнем, то , разделив уравнение на х 2 ,получим равносильное ему уравнение

х 2 – 5х + 8 – 5/х + 1/ х 2 = 0.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

(х 2 + 1/ х 2 ) 2 – 5 (х + 1/х) + 6 =0.

Пусть х + 1/х = у, получим уравнение

имеющее два корня у 1 = 2, у 2 = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

х + 1/х =2 и х + 1/х =3.

Решение первого уравнения этой совокупности есть х 1 = 1, а решения второго есть х 2 =(3+√5)/2, х 3 =(3-√5)/2.

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: х 1 = 1, х 2 =(3+√5)/2, х 3 =(3-√5)/2.

1. Домашнее задание: рассмотреть решение уравнений;

А) 7х 3 — 5х 2 — 5х + 7 = 0,

Б) 3х 3 + 4х 2 — 4х — 3 = 0,

С) 3х 4 – 4х 3 + 2х 2 – 4х + 3=0,

Д) х 4 +4х 3 — 2х 2 –+4х + 1=0.

Видео:Симметрические уравненияСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Занятие по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений. Уравнение tgx=a»

Занятие проводилось в рамках программы ШТК по математике. Презентация выполнена в программе Смарт и демонстрируется на интерактивной доске.Архив содержит все необходимые материалы.

урок по теме «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений»

Класс 10Урок закрепления.

Тема 15. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМАМ 9-14: «Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения. Показательные неравенства. Преобразования и вычисления логарифмических выражений. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства».

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител.

урок по теме «Способы решения тригонометрических уравнений»(урок одного уравнения) 08.03.16

методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 10 классе по УМК Мордкович, содержит спсобы решения тригонометрического уравнения вида asinx +bcosx=c.

Дидактический материал по темам: «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы», «Показательная функция. Показательные уравнения, системы и неравества»

Тренировочные задания по темам:«Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и системы»«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы»Данный дидак.

Презентации по теме «Системы двух линейных уравнений», «Метод подстановки для решения систем уравнений», «Метод сложения для решения систем уравнений» .

Презентации проедполагает использование при проведении онлайн урока по теме «Системы двух линейных уравнений», «Метод подстановки для решения систем уравнений», «Метод сложени.

Научная статья на тему: «Симметрические многочлены»

Научная статья на тему: «Симметрические многочлены&quot.

🔥 Видео

Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Уравнения высших степеней. Решение уравнений с помощью деления в столбикСкачать

Как решить симметрическое уравнение | Сведение к квадратному | Замена переменнойСкачать

Уравнение четвертой степениСкачать

Биквадратное уравнениеСкачать

Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Можно ли решить уравнение 5-й степени? – математик Алексей Савватеев | НаучпопСкачать

Теорема Виета для уравнений высших степеней. Рациональные уравнения Часть 4 из 4Скачать

Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать

Метод неопределенных коэффициентовСкачать

Схема Горнера. 10 класс.Скачать

Приемы решения уравнений высших степеней.Скачать