Решение рациональных уравнений графическим методом (6 видео)

Графический способ решения уравнений — ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цель: использование графиков функций для решения или исследования уравнений.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

1. Катер прошел 46 км по течению реки и 17 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.

2. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 7 больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 3, а ее знаменатель уменьшить на 3, то полученная дробь будет на 11/18 больше данной дроби. Найдите данную дробь.

1. Катер прошел 20 км по течению реки и 32 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

2. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 5 больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 2, а ее знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 18/35 больше данной дроби. Найдите данную дробь.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Во многих случаях для решения или исследования уравнений используют графики функций.

Решим уравнение х2 + 2 = 3/x.

В одной координатной плоскости построим графики функций у1 = х2 + 2 и у2 = 3/x. Видно, что эти графики пересекаются в единственной точке А (1; 3). Абсцисса точки пересечения А есть то значение переменной х, при котором значения функций у1 и у2 равны (или выражения х2 + 2 и 3/x принимают равные значения). Итак, данное уравнение х2 + 2 = 3/x имеет единственный корень х = 1.

Заметим, что для нахождения корня данного уравнения могут быть рассмотрены графики и других функций. Учтем, что в уравнении х2 + 2 = 3/x величина х ≠ 0. Умножим все члены уравнения на х и получим равносильное уравнение: х3 + 2х = 3 или х3 = 3 — 2х. Построим графики функций у1 = х3 и у2 = 3 — 2х. Видно, что графики этих функций пересекаются в единственной точке А (1; 1). При х = 1 значения функций у1 и у2 равны (или выражения х3 и 3 — 2х принимают равные значения). Итак, х = 1 — единственный корень данного уравнения.

Рассмотренный способ решения уравнения называют графическим.

Графически решим уравнение х2 = |х — 1|.

В одной системе координат построим графики функций у1 = х2 и у2 = |х — 1|. Видно, что эти графики пересекаются в двух точках А и В. Приближенное значение абсцисс этих точек х1 ≈ -1,6 и х2 ≈ 0,6 соответственно. Заметим, что решив аналитически данное уравнение, получим

При различных значениях параметра а определите число корней уравнения х2 — |х| + а = 0.

Данное уравнение запишем в виде х2 + a = |х|. Построим график функций у1 = х2 + а и у2 = |х|. График функции у2 не зависит от параметра а. График функции у1 представляет собой параболу, вершина которой имеет координаты (0; а). С уменьшением параметра а парабола смещается вниз.

При достаточно больших значениях а графики у1 и у2 не имеют общих точек (случай а). Уравнение при этом решений не имеет. При уменьшении параметра а парабола спускается вниз и касается зависимости у2 в двух точках (случай б). Тогда уравнение имеет два корня. При дальнейшем уменьшении а парабола пересекает каждую ветвь графика у2 в двух точках (этот случай на рисунке не изображен). При этом уравнение имеет четыре корня. При а = 0 парабола расположена еще ниже и пересекает графику в трех точках (случай в). Тогда уравнение имеет три корня. При дальнейшем уменьшении а (т. е. при а 1/4 — нет корней.

IV. Задание на уроке

№ 622 (а); 624; 626; 627 (а); 628 (а).

V. Задание на дом

№ 622 (б); 623; 625; 627 (б); 629 (б); 629.

VI. Творческие задания

1. Графически решите уравнение;

а) х1 = -0,6 и х2 = 1,6.

б) х1 = -2 и х2 = 1; .

ж) х1 = -1 и х2 = 2;

з) х1 = -4 и х2 = 1; .

2. Определите число корней уравнения:

а) при а -3 — 1 корень;

б) при а 2 — 1 корень;

в) при а 2 — 2 корня;

г) при а 3 — 2 корня;

д) при а 1 — корней нет, при а = -1 или а = 1 — бесконечно много корней, при -1 3 — корней нет, при а = -3 или а = 3 — бесконечно много корней, при -3 -2 — 1 корень;

з) при а 2 — 3 корня.

VII. Подведение итогов урока

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Содержание

Рациональные уравнения — алгоритмы и примеры вычислений
Общая информация
Основные виды
Линейные и квадратные
Кубические тождества
Биквадратные уравнения
Пример решения
Конспект урока по алгебре на тему «Графический способ решения уравнений»(8 класс)
📹 Видео

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Рациональные уравнения — алгоритмы и примеры вычислений

Видео:Зачётный способ решить дробно рациональное уравнение методом заменыСкачать

Общая информация

Рациональным уравнением называется равенство с одним или несколькими неизвестными, в правой и левой частях которого содержатся только рациональные выражения. Очень важно уметь определять тип, поскольку от этого зависит правильность нахождения корней и методика решения.

Определение можно немного упростить. Рациональным называется выражение, состоящее из некоторых числовых значений и неизвестной, операций вычитания, сложения, умножения, деления, а также возведения в степень с целым (натуральным) показателем. Уравнение рационального типа — равенство двух выражений, состоящих из переменных рационального типа (r (x) = 0). Они бывают двух видов: целые и дробные.

К первым относятся тождества, в знаменателе которых не содержится неизвестная величина. Примерами являются: x + 7 = 2x, x 2 + 2x — 7 = 0 и (x 2 + 4) / 2 = 2x / 4. Дробные представлены правильными дробями, числитель и знаменатель которых содержат переменные рационального типа. Примерами дробно-рациональных уравнений являются (x + 7) / 2x = 7 — x, (x 2 + 2x — 7) / (x 2 — 4) = 0 и (x 2 + 4) / 2x^ — 8 = 2x / 4.

Математики выделяют еще одну группу рациональных уравнений с параметрами, которые необходимо найти или они даются при решении задачи. Параметр — некоторое ограничение, влияющее на поиск корней.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Основные виды

Рациональные уравнения бывают линейными, квадратными, кубическими и биквадратными. Для каждого вида существуют определенные методики решения. Последние строятся на алгоритмах, позволяющих оптимизировать процесс нахождения корней.

Уравнения могут объединяться в системы. Чтобы ее решить, нужно найти все ее корни, удовлетворяющие ее элементам (выражениям). Отличаются равенства между собой только показателем степени. Например, у линейного последняя соответствует единице, у квадратного — 2, кубического — 3 и биквадратным — 4. Если в выражении с неизвестным присутствует дробная часть, всегда проверяется знаменатель на равенство нулю, поскольку такое значение превращает тождество в неопределенность. Числитель проверять нет необходимости. Выбор алгоритма решения рационального уравнения зависит от типа выражения.

Линейные и квадратные

Линейное выражение с неизвестными можно записать следующим образом: a1 * y1 + a2 * y2 +. + an * yn + c = 0. Например, 5х + 4 = 8 является линейным. Решается оно с помощью простого алгоритма:

Необходимо перенести неизвестные величины в левую сторону, а известные — в правую: 5х = 8 — 4.
Перенести число «5» с противоположным знаком: x = (8 — 4) / 5 = 4 / 5 = 0,8.

Квадратные уравнения — тождества вида az 2 + bz + c = 0. Они бывают полными (присутствуют все коэффициенты) и неполными. В последних какой-либо из параметров равен нулю. В зависимости от методики нахождения его корней, выбирается нужный алгоритм. Основные способы решения:

Теорема Виета (при a = 1).
Нахождение дискриминанта.
Графический метод.
Автоматизированный.

При использовании теоремы Виета значения корней вычисляется по таким формулам: z1 + z2 = — b и z1 * z2 = c. Если а > 1 (b и c не равны 0), то необходимо найти некоторый параметр. Математики называют его дискриминантом. Для решения существует специальный алгоритм:

Выполнить расчет дискриминанта, и записать результат в виде квадрата: D = b 2 — 4ac.
Если D больше 0, то два корня уравнения вычисляются таким образом: z1 = [(-b) + (D)^(½)] / (2 * а) и z2 = [(-b) — (D)^(½)] / (2 * а).
При D = 0 две формулы во втором пункте преобразуются в одну, поскольку дискриминант не учитывается: z = [-b] / (2 * а). В этом случае существует только один корень.
Когда при подсчете значения D получается отрицательное число, корней у уравнения нет вообще.
После нахождения корней нужно подставить их в исходное выражение. Результат вычисления будет равен 0. Все остальные значения, приводящие к неверному тождеству, являются неверными. Их необходимо отсеивать. Это происходит, когда квадратное уравнение имеет вид обыкновенной дроби.

Следующим способом является графический метод решения. Для его реализации необходимо построить параболу, а затем найти точки пересечения с осью абсцисс (корни). Использование дополнительного программного обеспечения (онлайн-калькуляторов) для автоматизации вычислений экономит много времени. Его рекомендуется применять для проверки.

При отсутствии свободного члена (az^2 + bz = 0), можно воспользоваться методом разложения на множители. Для этого следует разделить обе части равенства на «а», а затем вынести общий множитель. В результате получится выражение z(z + b) = 0. У него два корня: z1 = 0 и z2 = -b.

Кубические тождества

Выражение вида а * z 3 + b * z 2 + с * z + d = 0 (а > 0), содержащее одну неизвестную, называется кубическим уравнением. Его метод решения зависит от вида. В алгебре выделяют 4 класса:

az 3 + d= 0.
az 3 + bz 2 + bz + a = 0.
az 3 + bz 2 + cz = 0.

а * z 3 + b * z 2 + с * z + d = 0.

Первый класс решается просто. Для этого необходимо перенести свободный член d в правую часть, а затем разделить на «а»: z 3 = -d/a. После этого можно взять кубический корень из правой и левой частей. Кроме того, можно не переносить d, а просто разложить на множители: z 3 + d/a = (z + (d/a)^(1/3)) * (z 2 — [(d/a)^(1/3)]z + [(d/a)^2]^(1/3)) = 0. Разложив на множители, нужно решить 2 уравнения.

Чтобы решить второй тип задания, нужно выполнить некоторые математические преобразования: az 3 + bz 2 + bz + a = a (z 3 + 1) + b (z 2 + z) = a (z + 1)(z 2 — z + 1) + bz (z + 1) = (z + 1)(az 2 + z (b — a) + a) = 0. В результате этой операции произошло понижение степени. Далее нужно решить 2 равенства с неизвестными.

В третьем классе нужно просто вынести неизвестную (общий множитель) за скобку, а затем решить линейное и квадратное уравнения. Кроме того, этот тип тождеств решается также при помощи графического метода или замены переменной. Четвертый класс решается только с помощью построения графика (графическое представление — кубическая парабола) или заменой неизвестной.

В первом случае нужно построить кривую, которая называется кубической параболой. После этого следует найти точки пересечения графика с осью абсцисс. Метод замены — введение нового параметра, приводящего к равносильному упрощенному выражению. Сведение к квадратному многочлену осуществляется по такому алгоритму:

Разделить обе части на «а».
Выполнить замену: z = w — (b/(3a)).
Вычислить коэффициенты р и q: p = [(3ас — b 2 ) / (3а 2 )] и q = [2b 3 — 9abc + (27a 2 ) * D] / (27a 3 ).
Записать результат: w 2 + pw + q = 0.
Решить квадратное уравнение.
Вычислить z, подставив корни из пятого пункта во второй.
Осуществить проверку.

Последний пункт также можно выполнить в автоматизированном режиме, поскольку это займет меньше времени. Методика позволяет избавиться от высшей степени и свести выражение к квадратному многочлену.

Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения (az 4 + bz 2 + c = 0) — сложные выражения. Они решаются аналитическим методом, который заключается в понижении степени. В этом случае вводится новая неизвестная для понижения степени w = z 2 . В результате этого получается равносильное равенство вида: aw 2 + bw + c = 0. Далее решается обыкновенное квадратное уравнение, а затем его корни подставляются в параметр замены.

Когда биквадратный многочлен с неизвестными представлен в виде az 4 + bz 3 + cz 2 + dz + e = 0, нужно решать при помощи формулы Кардана. Математики рекомендуют воспользоваться алгоритмом:

Рассчитать вспомогательные коэффициенты: f = b / a, g = c / a и h = d / a.
Вычисление основных параметров: i = -((f)^2 / 3) + g и k = [2 (f)^3 / 27] — [(f * g) / 3] + h.
Нахождение по формуле Кардана математического ожидания: m = [(-k / 2) + ((k 2 / 4) + i 3 / 27)^(½)]^(1/3) + [(-k / 2) — (-(k 2 / 4) + i 3 / 27)^(½)]^(1/3).
Поиск искомых корней: z1 = m — f, z2 = m — g и z3 = m — h.

Математическое ожидание — область, принимающая среднее значение при определенных условиях. Если уравнение имеет другой вид, корни следует искать с помощью математического ожидания Кардана. Однако его следует править в зависимости от коэффициентов исходного тождества. Можно также построить график функции, но эта методика довольно сложная.

Для этого специалисты рекомендуют пользоваться сторонними сервисами, одним из которых является «yotx.ru». Он позволяет строить разные графики. Особенностью веб-приложения является его гибкая настройка, а также табличные данные зависимости значения функции от ее аргумента, которыми можно воспользоваться. Полученный график можно распечатать, сохранить на жестком диске, получить в виде ссылки и html-кода для сайта или урока.

Видео:Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать

Пример решения

После получения теоретических знаний следует приступить к практике. Начинать следует с простых примеров, заканчивая более сложными. Например, выполнить работу по нахождению корней равенства с неизвестными: [(2z^3 — 16) / (2z^2 — 4z + 2)] = 0.

Уравнение является рациональным. Оно состоит из двух выражений: числителя и знаменателя. Первый следует приравнять к нулю, поскольку при делении на любое выражение будет получено нулевое значение. Однако не все так просто — нужно обязательно проверить знаменатель. Следует найти корень или корни, при которых он обращается в ноль, превращая все тождество в пустое множество или неопределенность. Чтобы найти корни числителя, нужно воспользоваться алгоритмом:

Видео:Решение системы уравнений графическим методомСкачать

Конспект урока по алгебре на тему «Графический способ решения уравнений»(8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Графический способ решения уравнений .

Цели: научить решать дробные рациональные уравнения графическим способом; развивать логическое мышление учащихся; воспитывать внимание, аккуратность .

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Решите уравнение:

а) = 0; в) = 0;

б) = 0; г) = 0.

III. Объяснение нового материала.

Рассмотрим уравнение х 2 = . Если обе части этого уравнения умножить на х, то получим уравнение х 3 =6, способ решения которого нам неизвестен. Однако с помощью графиков можно найти прибженные значения корней уравнения х 2 =

Построим в одной координатной плоскости гра фики функций у=х 2 и y = . Эти графики пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пере сечения есть то значение переменной х, при котором выражения х 2 и принимают равные значения. Значит, абсцисса точки пересечения графиков функ ций у=х 2 и у= — является корнем уравнения х 2 = — . Приближенное значение корня равно 1,8.

Примененный способ решения уравнения назы вают графическим.

Рассмотрим еще один пример решения урав нения графическим способом. Решим уравнение

x 3 -1,2 x +0,5=0. Представим это уравнение в виде x 3 =1,2х— 0,5 и построим в одной координатной плоскости графики функций у=х 3 и у=1,2х— 0,5 . Графики пересекаются в трех точках. Это означает, что уравнение х 3 =1,2х—0,5, а значит, и уравнение x 3 -1,2х+0,5=0 имеет три корня. Найдем приближенные значения корней, т. е. абсцисс точек пересечения графиков. Получим:

IV . Закрепление изученного материала.

Графиком функции у = является гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Запишем координаты контрольных точек: