Решение прикладных задач на составление дифференциальных уравнений

Методика составления и решения прикладных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Составление дифференциального уравнения по условию за­дачи (механической, физической, химической или технической) состоит в определении математической зависимости между пе­ременными величинами и их приращениями.

В ряде случаев дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений — за счет их предварительного учета. Например, представляя скорость выражением , мы не привлекаем приращений ∆s и ∆t, хотя они фактически учтены в силу того, что

.

Ускорение в какой-нибудь момент времени t выражается зависимостью:

.

При составлении дифференциальных уравнений приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Изучение любого процесса сводится:

1) к определению его отдельных моментов;

2) к установлению общего закона его хода.

Отдельный момент процесса (т. н. элементарный процесс) выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными — диффе­ренциальным уравнением; закон общего хода процесса выра­жается уравнением, связывающим переменные величины про­цесса, но уже без дифференциалов этих величии.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения техни­ческих задач с применением теории обыкновенных дифферен­циальных уравнений сводится к следующему:

1.Подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть.

2.Составление дифференциального уравнения рассматривае­мого процесса.

3.Интегрирование составленного дифференциального уравне­ния и определение общего решения этого уравнения.

4.Определение частного решения задачи на основании дан­ных начальных условий.

5.Определение, по мере необходимости, вспомогательных пара­
метров (например, коэффициента пропорциональности и др.),
используя для этой цели дополнительные условия задачи.

6. Вывод общего закона рассматриваемого процесса и число­
вое определение искомых величии.

7. Анализ ответа и проверка исходного положения задачи.
Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера
задачи могут отсутствовать.

Как и при составлении алгебраических уравнений, при реше­нии прикладных задач по дифференциальным уравнениям многое зависит от навыков, приобретаемых упражнением. Однако здесь еще в большей степени требуется изобретательность и глубокое понимание сути изучаемых процессов.

Рассмотрим процесс решения следующих задач:

Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин. падает от 100 0 до 60 0 (рис. 3.1). Температура воздуха равна 25 0 . Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 0 ?

Решение:

В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это – процесс неравномерный. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет:

.

где Т – температура хлеба;

t – температура окружающего воздуха ( в нашем случае 25 0 );

k – коэффициент пропорциональности;

— скорость охлаждения хлеба.

Пусть — время охлаждения.

Тогда, разделяя переменные, получим:

,

или для условий данной задачи :

.

Потенцируя обе части последнего равенства, имеем:

,

. (1)

Произвольную постоянную С определяем, исходя из начального условия: при мин, Т=100 о .

или С=75.

Величину определяем, исходя из данного дополнительного условия: при мин, Т=60 о .

и .

Таким образом, уравнение охлаждения хлеба при условиях нашей задачи примет вид:

. (2)

Из уравнения (2) легко определяем искомое время при температуре хлеба Т=30 о :

, или.

мин.

Итак, после 1 часа 11 мин. Хлеб охлаждается до температуры 30 о С.

Задача 3.2. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k=1,00017. Температура трубы 160о; температура внешнего покрова 30о (рис.8). Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемого одним погонным метром трубы.

Решение. Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то согласно закону теплопроводности Фурье количество теплоты, испускаемое в секунду:

, (1)

где F(x)- площадь сечения тела на расстоянии х,

k – коэффициент теплопроводности.

Здесь (2)

где l – длина трубы в см,

х – радиус трубопровода в см.

Таким образом, после разделения переменных дифференциальное уравнение примет вид:

(3)

Интегрируя обе части равенства (3), находим:

или (4)

Разделив почленно уравнения второе на первое, получим:

.

Отсюда закон распределения температуры внутри изоляции:

.

Из первого уравнения системы(4) при =100 см имеем:

Количество теплоты, отдаваемое в течение суток, равно

кал.

Видео:Задача на составление дифференциального уравненияСкачать

Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?

У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.

Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.

Если вы забьете в поисковик что-то вроде «решить дифференциальное уравнение онлайн», то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.

Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.

Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!

Видео:Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Решения дифференциальных уравнений 1 порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x quad (x ne 0).$

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$

Видео:Задача на составление Дифференциального уравненияСкачать

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, , y(1/3)=1, , y'(1/3)=2$.

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= frac, y(1)=1. $$

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+cos x, quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$

Видео:Дифференциальные уравнения: задача 2Скачать

Решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^.$

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=frac<9e^><3+e^>, quad y(0)=4ln 4, y'(0)=3(3ln 4-1). $$

Видео:Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям.Скачать

Cоставление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2 ^2 -2xyy’+2y^2-x^2=0.$

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $^2-4xyy’+8y^2=0.$

Видео:Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.

Преподаватель математики Елена Геннадьевна Шерстнева

ЗАНЯТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ( 2 КУРС)

Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений .

Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков полученных при изучении дифференциальных уравнений.

Учебные: показать алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений, познакомить с математическими моделями в физике, биологии, экономике. Учащиеся должны понимать сущность приложения математики к решению технических задач, которая заключается в том, что задачу переводят на язык математики, решают ее, как принято в математике, и интерпретируют на языке исходных данных.

Воспитательные. Формировать научное мировоззрение. Продолжить знакомить учащихся с понятием математического моделирования, рассказать о том, что одними и теми же дифференциальными уравнениями можно описывать совершенно разные реальные процессы, например электротехнические, механические и другие, т.е. дифференциальные уравнения как математические модели обладают большой общностью и в этом их важное философское и познавательное значение.

Межпредметные связи. Рассматриваемые на занятии математические модели в физике, биологии, экономике помогут увидеть силу межпредметных связей, важную роль математики, дающей мощный аппарат для решения многих задач, которые выдвигаются и успешно решаются в различных областях науки и практики.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Показать практическую значимость изучаемого материала, его широкое применение в общетехнических и специальных дисциплинах. Многие производственные процессы описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому важно не только уметь решать сами дифференциальные уравнения, но и уметь составлять эти уравнения исходя из практической потребности.

Основные знания и умения: иметь понятие о решении несложных задач на составление дифференциальных уравнений по физике, электротехнике, экономике.

Раздаточный материал: Опорный конспект с планом занятия и набором задач для решения.

Технические средства обучения: использование фрагментов из компьютерной программы обучения «Функции и графики», компьютерная презентация конструкторской задачи.

Литература: 1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов

2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике для техникумов

3. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и

4. Филимонова Е.В. Математика (среднее профессиональное образование).

Вопросы и упражнения для выполнения на занятии

Какое уравнение называется дифференциальным?

Назовите виды дифференциальных уравнений.

Решите уравнение: 2у dx = (1+ x ) dy . Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.

Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t . Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия М =М при t =0

Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t . Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R ₀ при t =0.

Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = А при t =0.

Решить уравнение: ху ‘ + у = х (х ≠ 0).

Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.

Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а также не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.

Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c

Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у » = — k 2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.

Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351

«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости ……»

Подведение итогов урока

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако, благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.

В 1917 году Эйнштейн сделал первую попытку применить общую теорию относительности для описания пространственно временной структуры Вселенной. А основные уравнения теории относительности – это дифференциальные уравнения, имеющие множество решений. Отсюда множество моделей Вселенной.

Дифференциальные уравнения показательного роста (убывания).

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений.

Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение вида:

где k – const , причем k может быть : k > 0 или k

Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться, что решением этого уравнения, является любая функция вида:

т.к. C – произвольная постоянная, то уравнение имеет бесконечно много решений.

Смысл дифференциального уравнения заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке .

Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному закону .

Если r ‘ ( t ) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то скорость уменьшения массы пропорциональна его количеству.

Значит, решением уравнения, является функция r ‘ ( t ) = С e — kt . Найдем из условия, что в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была равна:

Промежуток времени T , через который масса радиоактивного вещества уменьшится в 2 раза называют “периодом полураспада”, зная Т , можно найти k :

Логарифмируя по основанию е , получаем — k T = – ln 2 ,

Например, для радия период полураспада . Поэтому, , следовательно, через 1 млн. лет от начальной массы r _o останется.

Задача: Скорость размножения бактерий m ‘ (t) связана с массой m(t) бактерий в момент времени t уравнением:

где k > 0, зависящее от вида бактерий и внешних условий.

Решениями этого уравнения являются функции m ( t ) = C · e kt .

Постоянную C можно найти из условия, что в момент t = 0 масса m _o бактерий известна, тогда

Задача. Два тела имеют одинаковую температуру – 100 0 . Они вынесены на воздух, его температура 0 0 . Через 10 мин. температура одного тела стала 80 0 , а второго – 64 0 . Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 25 0 .

Значит, 80 0 = 100 0 · e -10 k , e -10 k = 0,8

-10 k = ln 0,8,

2) 64 0 = 100 0 · 100 0 · e -10 k , тогда e -10 k = 0,64, следовательно -10 k = ln 0,64,

Следовательно

Ответ: t = 31,06 мин .

Задача. Задача о гармонических колебаниях.

В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются например, колебательные движения маятника, струны, пружины, процессы связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т.д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциальных уравнений

где k – заданное положительное число

Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком. (Демонстрация презентации).

1.

2.

3.

4.

5.

Решаем квадратное уравнение относительно y’:

следовательно

Решим это уравнение, взяв + , заменяем на получаем

,умножаем обе части на dx , отсюда это однородное уравнение.

Сделаем замену y = z x и продифференцируем ее по x, получим dy = x dz + z dx , подставляем

Обе части делим на x получаем , раскрываем скобки и приводим подобные , разделяем переменные , интегрируем , решением будет функция далее , т.к , то раскрываем скобки в итоге получаем — это каноническое уравнение параболы с вершиной (; 0) и фокусом в точке (0;0).

Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.

Решение. А = А₀ e к t

А₀ = 3,6 · 10 9 , А = 40 · 10 9 , k = 0,017

40 · 10 9 = 3,6 · 10 9 · e 0,017t , t = (2 ln 10/3) /0,017 ≈ 142 г.

Ответ: В 2122 году наступит предел насыщения

Беседа о бережном отношении к природе и ее богатствам.

🌟 Видео

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения: задача 3Скачать

Составить дифференциальные уравнения семейств линийСкачать

ФП1. Решение текстовых задач на составление дифференциальных уравненийСкачать

Разностные уравнения | Решение задачСкачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 2Скачать

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравнений. Часть 2Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать