Решение показательных уравнений методом разложения

Продолжаем изучать, как проводится решение показательных уравнений. Одним из методов решения показательных уравнений является метод разложения на множители. В этой статье мы поговорим про решение показательных уравнений методом разложения на множители. Сначала кратко напомним теорию. После этого разберем решения нескольких характерных показательных уравнений.

Видео:Как решать Показательные Уравнения? (часть 2)Скачать

Теория

Метод разложения на множители применяется для решения уравнений, в левой части которых находится произведение нескольких выражений с переменной, а в правой – нуль. Например, с его помощью могут быть решены показательные уравнения (2 x −8)·(9 x +2·3 x −3)·(3 x +2)=0 , и др.

Решение уравнений f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 методом разложения на множители, в том числе и показательных, предполагает переход к совокупности уравнений f₁(x)=0 , f₂(x)=0 , …, f_n(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) переменной x для исходного уравнения.

За более детальной информацией обращайтесь к материалу метод разложения на множители при решении уравнений.

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Примеры с решениями

Рассмотрим пример решения показательного уравнения методом разложения на множители. Возьмем показательное уравнение, в левой части которого находится произведение трех выражений с переменной в показателе степени, а в правой – нуль. Его решение по методу разложения на множители заменится решением совокупности трех показательных уравнений на ОДЗ для исходного уравнения.

Решите уравнение

Решенное показательное уравнение можно назвать «подготовленным» к решению методом разложения на множители, так как в его левой части находится произведение нескольких выражений, а в правой — нуль. Но часто решаемые уравнения изначально имеют другую структуру, однако они путем проведения некоторых преобразований могут быть приведены к нужному для использования метода разложения на множители виду. Приведем пример.

Решите показательное уравнение

При решении последнего примера нам пришлось преобразовывать показательное уравнение к виду, позволяющему действовать по методу разложения на множители. Да и вообще решение показательных уравнений, как, впрочем, и любых других, редко обходится без преобразований. Так что есть смысл более основательно поговорить о преобразованиях, наиболее часто используемых при решении показательных уравнений. Сделаем это в статье решение показательных уравнений через преобразования.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести (5) в правую сторону.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь .

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение (x^3+4x^2-4x-16=0).
Решение:

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем (x^2), а из второй – минус четверку.

Видео:ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

Лекция: «Методы решения показательных уравнений».
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

1. Показательные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение а x = b, где а > 0, а ≠ 1.

1) При b 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = a с , а x = b с ó x = c или x = log_ab.

Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:

1) метод приведения к одному основанию ;

3) графический метод;

4) метод введения новых переменных;

5) метод разложения на множители;

6) показательно – степенные уравнения;

7) показательные с параметром.

Видео:Показательные уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Скачать:

Видео:Решение показательного уравнения методом разложения на множители (пример 4)Скачать

Предварительный просмотр:

Лекция: «Методы решения показательных уравнений».

1 . Показательные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение а x = b, где а > 0, а ≠ 1.

2) При b > 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = a с , а x = b с ⬄ x = c или x = log a b.

Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:

1. метод приведения к одному основанию ;
2. метод оценки;
3. графический метод;
4. метод введения новых переменных;
5. метод разложения на множители;
6. показательно – степенные уравнения;
7. показательные с параметром.

2 . Метод приведения к одному основанию.

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнение надо попытаться свести к виду

Примеры. Решить уравнение:

Представим правую часть уравнения в виде 81 = 3 4 и запишем уравнение, равносильное исходному 3 x = 3 4 ; x = 4. Ответ: 4.

Представим правую часть уравнения в виде и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Ответ: 0,5.

Представим правую часть данного уравнения в виде 1 = 5 0 и перейдем к уравнению для показателей степеней x 2 -3x+2 = 0, откуда легко получить решения x = 1 и x=2.

Заметим, что числа 0,2 , 0,04 , √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:

, откуда 5 -x-1 = 5 -2x-2 ⬄ — x – 1 = — 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1.

1. 3 x = 5. По определению логарифма x = log 3 5. Ответ: log 3 5.
2. 6 2x+4 = 3 3x . 2 x+8 .

Перепишем уравнение в виде 3 2x+4 .2 2x+4 = 3 2x .2 x+8 , т.е. далее

2 2x+4-x-8 = 3 3x-2x-4 , т.е. 2 x-4 = 3 x-4 . (Уже ясно, что x = 4). Перепишем уравнение, разделив на 3 x-4 ≠ 0. Отсюда x – 4 =0, x = 4. Ответ: 4.

7 . 2∙3 x+1 — 6∙3 x-2 — 3 x = 9. Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3 x — 2∙3 x – 3 x = 9 далее 3∙3 x = 9, 3 x+1 = 3 2 , т.е. x+1 = 2, x =1. Ответ: 1.

Тест №1. с выбором ответа. Минимальный уровень.

1) 0 2) 4 3) -2 4) -4

1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4

1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) корней нет

1) 7;1 2) корней нет 3) -7;1 4) -1;-7

1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0

1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Тест №2 с выбором ответа. Общий уровень.

1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1

1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11

1) 2;-1 2) корней нет 3) 0 4) -2;1

1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2

1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

Теорема о корне : если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, число а –любое значение принимаемое f на этом промежутке, тогда уравнение f(x) = а имеет единственный корень на промежутке I.

При решении уравнений методом оценки используется эта теорема и свойства монотонности функции.

Примеры. Решить уравнения: 1. 4 x = 5 – x.

Решение. Перепишем уравнение в виде 4 x +x = 5.

1. если x = 1, то 4 1 +1 = 5 , 5 = 5 верно, значит 1 – корень уравнения.

2. докажем, что он единственный.

Функция f(x) = 4 x – возрастает на R, и g(x) = x –возрастает на R => h(x)= f(x)+g(x) возрастает на R, как сумма возрастающих функций, значит x = 1 – единственный корень уравнения 4 x = 5 – x. Ответ: 1.

Решение. Перепишем уравнение в виде .

1. если x = -1, то , 3 = 3-верно, значит x = -1 – корень уравнения.
2. докажем, что он единственный.
3. Функция f(x) = — убывает на R, и g(x) = -x – убывает на R=> h(x) = f(x)+g(x) – убывает на R, как сумма убывающих функций. Значит по теореме о корне, x = -1 – единственный корень уравнения. Ответ: -1.

Банк задач №2. Решить уравнение

4. Метод введения новых переменных.

Метод описан в п. 2.1. Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения. Рассмотрим примеры.

Примеры. Р ешить уравнение: 1. .

Перепишем уравнение иначе:

Обозначим 5 x = t > 0, тогда т.е. 3t 2 – 2t – 1 =0, отсюда t 1 = 1, -не удовлетворяет условию t > 0. Итак, 5 x = 1 = 5 0 x = 0. Ответ: 0.

Решение. Перепишем уравнение иначе:

Обозначим тогда — не подходит.

t = 4 => Отсюда — иррациональное уравнение. Отмечаем, что

Решением уравнения является x = 2,5 ≤ 4, значит 2,5 – корень уравнения. Ответ: 2,5.

Решение. Перепишем уравнение в виде и разделим его обе части на 5 6x+6 ≠ 0. Получим уравнение

2x 2 -6x-7 = 2x 2 -6x-8 +1 = 2(x 2 -3x-4)+1, т.е

Корни квадратного уравнения – t 1 = 1 и t 2 ,

x 1 = -1, x 2 = 4. Ответ: -1, 4.

Решение . Перепишем уравнение в виде

и заметим, что оно является однородным уравнением второй степени.

Разделим уравнение на 4 2x , получим

Заменим 2t 2 – 5t +3 = 0 , где t 1 = 1, t 2 = .

Банк задач № 3. Решить уравнение

Тест № 3 с выбором ответа. Минимальный уровень.

1) -0,2;2 2) log 5 2 3) –log 5 2 4) 2

А 2 0,5 2x – 3 0,5 x +2 = 0.

1) 2;1 2) -1;0 3) корней нет 4) 0

1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5

А 4 5 2x -5 x — 600 = 0.

1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2

1) корней нет 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Тест № 4 с выбором ответа. Общий уровень.

1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0

А 2 2 x – (0,5) 2x – (0,5) x + 1 = 0

1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1

1) 64 2) -14 3) 3 4) 8

1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0

1) 0 2) 1 3) 0;1 4) корней нет

5. Метод разложения на множители.

1. Решите уравнение: 5 x+1 — 5 x-1 = 24.

Решение. Перепишем уравнение в виде

Теперь в левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель 5 x .

2. 6 x + 6 x+1 = 2 x + 2 x+1 + 2 x+2 .

Решение. Вынесем за скобки в левой части уравнения 6 x , а в правой части – 2 x . Получим уравнение 6 x (1+6) = 2 x (1+2+4) ⬄ 6 x = 2 x .

Так как 2 x >0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2 x , не опасаясь при этом потери решений. Получим 3 x = 1 ⬄ x = 0.

Решение. Решим уравнение методом разложения на множители.

Выделим квадрат двучлена

Решение. Преобразуем члены уравнения и перегруппируем слагаемые

x = -2 – корень уравнения.

Уравнение x + 1 = можно решить либо методом оценки, либо графически.

x = 1 – второй корень исходного уравнения.

Банк задач №4. Решить уравнение

а) 48 x – 4 2x+1 – 3 x+1 + 12 = 0.

б) 5 2x-1 + 2 2x – 5 2x +2 2x+2 = 0.

в) 3 x – 2 x+2 = 3 x-1 – 2 x-1 – 2 x-3 .

г) 4 x – 5 2 x + 4 = 0.

Тест №5 Минимальный уровень.

А 1 5 x-1 +5 x -5 x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

А 2 3 x+1 +3 x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

А 3 3 2x + 3 2x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

А 5 2 x -2 x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Тест № 6 Общий уровень.

А 1 (2 2x -1)(2 4x +2 2x +1)=7.

1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2

1) 2,5 2) 3;4 3) log 4 3/2 4) 0

А 3 2 x-1 -3 x =3 x-1 -2 x+2 .

1) 2 2) -1 3) 3 4) -3

А 4

1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4

1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Показательно – степенные уравнения.

К показательным уравнениям примыкают так называемые показательно – степенные уравнения, т.е. уравнения вида (f(x)) g(x) = (f(x)) h(x) .

Если известно, что f(x)>0 и f(x) ≠ 1, то уравнение, как и показательное, решается приравниванием показателей g(x) = f(x).

Если условием не исключается возможность f(x)=0 и f(x)=1, то приходится рассматривать и эти случаи при решении показательно – степенного уравнения.

1. Решить уравнение

Решение. Для нахождения корней уравнения следует рассмотреть четыре случая:

1. x + 1=x 2 – 1 ( показатели равны);
2. x = 1(основание равно единице);
3. x = 0 (основание равно нулю);
4. x = -1(основание равно -1).

Решим первое уравнение: x 2 – x – 2 = 0, x = 2, x = -1.

x 1 = 2 => 2 3 = 2 3 – верно;

x 2 = -1 => (-1) 0 =(-1) 0 – верно;

x 3 = 1 => 1 2 = 1 0 – верно;

x 4 = 0 => 0 1 = 0 (-1) – не имеет смысла.

Уравнение вида f(x) g(x) = 1 равносильно совокупности двух систем

Решение. x 2 +2x-8 – имеет смысл при любых x , т.к. многочлен, значит уравнение равносильно совокупности

Банк задач №5. Решить уравнение

Видео:Решение показательного уравнения методом разложения на множители (пример 3)Скачать

7. Показательные уравнения с параметрами.

1. При каких значениях параметра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p 2 –3p = 0 (1) имеет единственное решение?

Решение. Введем замену 2 x = t, t > 0, тогда уравнение (1) примет вид t 2 – (5p – 3)t + 4p 2 – 3p = 0. (2)

Дискриминант уравнения (2) D = (5p – 3) 2 – 4(4p 2 – 3p) = 9(p – 1) 2 .

Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях.

1. Если D = 0, то есть p = 1, тогда уравнение (2) примет вид t 2 – 2t + 1 = 0, отсюда t = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.

2. Если p1, то 9(p – 1) 2 > 0, тогда уравнение (2) имеет два различных корня t 1 = p, t 2 = 4p – 3. Условию задачи удовлетворяет совокупность систем

Подставляя t 1 и t 2 в системы, имеем

Рассмотрим более общую задачу.

Задача 2. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a ?

Решение. Пусть тогда уравнение (3) примет вид t 2 – 6t – a = 0. (4)

Найдем значения параметра a, при которых хотя бы один корень уравнения (4) удовлетворяет условию t > 0.

Введем функцию f(t) = t 2 – 6t – a . Возможны следующие случаи.

Случай 1. Уравнение (4) имеет два различных положительных корня, если выполнятся условия

где t 0 — абсцисса вершины параболы и D — дискриминант квадратного трехчлена f(t);

Случай 2. Уравнение (4) имеет единственное положительное решение, если

D = 0, если a = – 9, тогда уравнение (4) примет вид (t – 3) 2 = 0, t = 3, x = – 1.

Случай 3. Уравнение (4) имеет два корня, но один из них не удовлетворяет неравенству t > 0. Это возможно, если

Таким образом, при a 0 уравнение (4) имеет единственный положительный корень . Тогда уравнение (3) имеет единственное решение

если a a a = – 9, то x = – 1;

Сравним способы решения уравнений (1) и (3). Отметим, что при решении уравнение (1) было сведено к квадратному уравнению, дискриминант которого — полный квадрат; тем самым корни уравнения (2) сразу были вычислены по формуле корней квадратного уравнения, а далее относительно этих корней были сделаны выводы. Уравнение (3) было сведено к квадратному уравнению (4), дискриминант которого не является полным квадратом, поэтому при решении уравнения (3) целесообразно использовать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и графическую модель. Заметим, что уравнение (4) можно решить, используя теорему Виета.

Решим более сложные уравнения.

Задача 3. Решите уравнение

Решение. ОДЗ: x1, x2.

Введем замену. Пусть 2 x = t, t > 0, тогда в результате преобразований уравнение примет вид t 2 + 2t – 13 – a = 0. (*)Найдем значения a , при которых хотя бы один корень уравнения (*) удовлетворяет условию t > 0.

Рассмотрим функцию f(t) = t 2 + 2t – 13 – a . Возможны случаи.

Случай 1. Для того чтобы оба корня уравнения (*) удовлетворяли неравенству t > 0, должны выполняться условия

где t 0 — абсцисса вершины f(t) = t 2 + 2t – 13 – a , D — дискриминант квадратного трехчлена f(t).

Система решений не имеет.

Случай 2. Для того чтобы только один корень уравнения (*) удовлетворял неравенству t > 0, должно быть выполнено условие f(0) a > – 13.

Случай 3. Найдем значения a, когда t 2, t 4.

откуда a 11, a – 5.

Ответ: если a > – 13, a 11, a 5, то если a – 13,

a = 11, a = 5, то корней нет.

Список используемой литературы.

1. Гузеев В.В. Системные основания образовательной технологии.

2. Гузеев В.В. Образовательная технология: от приема до философии.

М. «Директор школы»№4, 1996 г.

3. Гузеев В.В. Методы и организационные формы обучения.

М. «Народное образование», 2001 г.

4. Гузеев В.В. Теория и практика интегральной образовательной технологии.

М. «Народное образование», 2001 г.

5. Гузеев В.В. Одна из форм урока – семинара.

Математика в школе №2, 1987 г. с .9 – 11.

6. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии.

М. «Народное образование», 1998 г.

7. Епишева О.Б. Крупич В.И. Учить школьников учиться математике.

М. «Просвещение», 1990 г.

8. Иванова Т.А. Как подготовить уроки – практикумы.

Математика в школе №6, 1990 г. с. 37 – 40.

9. Смирнова Н.М. Профильная модель обучения математике.

Математика в школе №1, 1997 г. с. 32 – 36.

10. Тарасенко Н.А. Некоторые способы организации практической работы.

Математика в школе №1, 1993 г. с. 27 – 28.

11. Утеева Р.А. Об одном из видов индивидуальной работы.

Математика в школе №2, 1994 г. с .63 – 64.

12. Хазанкин Р.Г. Развивать творческие способности школьников.

Математика в школе №2, 1989 г. с. 10.

13. Сканави М.И. Математика. Издатель В.М.Скакун, 1997 г.

14. Шабунин М.И. и др. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для

10 – 11 классов. М. Мнемозина, 2000 г.

15. Кривоногов В.В. Нестандартные задания по математике.

М. «Первое сентября», 2002 г.

16. Черкасов О.Ю. Якушев А.Г. Математика. Справочник для старшеклассников и

поступающих в вузы. «А С Т -пресс школа», 2002 г.

17. Жевняк Р.М. Карпук А.А. Математика для поступающих в вузы.

Минск И РФ «Обозрение», 1996 г.

18. Письменный Д. Готовимся к экзамену по математике. М. Рольф, 1999 г.

19. Денищева Л.О. и др. Учимся решать уравнения и неравенства.

М. «Интеллект – Центр», 2003 г.

20. Денищева Л.О. и др. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к Е Г Э.

М. «Интеллект – центр», 2003 г. и 2004 г.

21 Денищева Л.О. и др. Варианты КИМ. Центр тестирования МО РФ, 2002 г., 2003г.

22. Гольдберг В.В. Показательные уравнения. «Квант» №3, 1971 г.

23. Волович М. Как успешно обучать математике.

Математика, 1997 г. №3.

24 Окунев А.А. Спасибо за урок, дети! М. Просвещение, 1988 г.

25. Якиманская И.С. Личностно – ориентированное обучение в школе.

«Директор школы», 1996 г. сентябрь.

26. Лийметс Х. Й. Групповая работа на уроке. М. Знание, 1975 г.

Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методы решения показательных уравнений.

Урок повторения и закрепления знаний с применением ИКТ. На уроке осуществляется индивидуальный подход к учащимся, включающий каждого в осознанную учебную деятельность и групповая форма работы. В течен.

Методы решения показательных уравнений

Изучению методов решения показательных уравнений должно быть уделено значительное внимание. Показательные уравнения, изучаемые на 1 курсе в колледже, осваиваются обучающимися хуже, та.

Основные методы решения показательных уравнений

Основные методы решения показательных уравнений.

разработка урока «Методы решения показательных уравнений» в 11 классе

конспект открытого урока по математике в 11 классе.

Метод.разработка по теме: «Методы решения показательных уравнений»

В школьном курсе математики важное место отводится решению показательных уравнений и неравенств и системам, содержащие показательные уравнения. Впервые ученики встречаются с показательными уравнениями.

алгебраические методы решения показательных уравнений

метод уравнивания оснований, разложение на множители, введение новой переменной, свойство монотонности.

Методическая разработка открытого урока «Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений»

Методическая разработка открытого урока «Показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений&quot.

🎦 Видео

Решение показательных уравнений способом вынесения за скобки общего множителяСкачать

Методы решения показательных уравнений. Урок №25.Скачать

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

Решение показательных уравнений методами разложения на множители и введением новой переменнойСкачать

Решение показательных уравнений | Математика ЕГЭСкачать

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ😩 #математика #shorts #егэ #огэ #уравнение #показательныеуравненияСкачать

Подготовка к ЕГЭ #69. Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобкиСкачать

Графический метод решения показательных уравнений и неравенств Алгебра 10 (база)Скачать

Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки. ГВЭ11 + ЕГЭ 2021 #69Скачать

Решение показательных неравенств методами разложения на множители и введения новой переменнойСкачать