3.1. Пример использования метода наименьших квадратов (МНК)
Приведем простой пример получения переопределенной системы линейных уравнений. Такого рода задачи часто встречаются, например, при обработке результатов экспериментов.
Пусть f — линейная (или близкая к линейной) функция аргумента x : f(x) = u1x + u0 . В точках xk известны значения функции f(xk) . Тогда u0, u1 — коэффициенты , которые необходимо подобрать так, чтобы выполнялись условия u1xk + u0 = fk , k = 0,1,2,3,4, fk = f(xk) .
Получим систему пяти уравнений относительно двух неизвестных. Это — переопределенная система . Она не имеет классического решения, так как в общем случае не существует прямой , проходящей через все 5 точек (это возможно только тогда, когда какие — либо три уравнения полученной системы линейными преобразованиями сводятся к двум другим — система линейно зависима).
Рассмотрим общий случай. Пусть коэффициенты <u0, u1> необходимо определить по результатам n + 1 измерения. Введем функцию, равную сумме квадратов невязок rk = u1xk + u0 — fk
( 3.1) |
Примем за обобщенное решение переопределенной СЛАУ такие <u0, u1> для которых принимает наименьшие значение . Для определения обобщенного решения из условия минимума суммы квадратов невязки получаем систему двух уравнений, имеющую классическое решение:
Выбор функции имеет некоторый произвол. Например, возможно каждому измерению придать некоторый вес bk . От набора таких весовых множителей зависело бы решение системы. В этом случае функция
будет
Если в качестве невязки выбрать rk = | u1xk + u0 — fk | , то получим задачу линейного программирования на отыскании минимума функции
Получившийся таким образом функционал, вообще говоря, не дифференцируем. Для решения задачи нельзя использовать метод наименьших квадратов .
Произвол имеется и в выборе базисных функций. Вообще говоря, можно было бы записать невязку rk в виде
где — некоторые функции, образующие базис , например, тригонометрические:
Выражение
называется обобщенным полиномом. В приведенном выше примере в качестве базисных функций были выбраны степенные функции
Обобщенный полином превратился в алгебраический.
В случае выбора произвольной системы базисных функций переопределенная СЛАУ и функционал будут
Отыщем обобщенное решение методом наименьших квадратов . Приравнивая все частные производные по компонентам обобщенного решения к нулю
Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Решение переопределенной системы линейных уравнений
Система линейных уравнений у которой к-во уравнений ( n ) больше, чем к-во неизвестных ( m ) называется переопределённой. В этом случае чаще всего решения не существует, поэтому под решением подразумевают такие значения неизвестных, которые минимизируют некоторую норму вектора невязок.
При использовании p-норм условие задачи можно записать в виде: где A — это матрица коэффициентов ( n * m ), x — вектор решения ( m ), b — вектор свободных членов ( n ).
Обычно используется 2-норма, что приводит к методу наименьших квадратов. Эта норма обладает многими хорошими свойствами ( простота реализации, единственность и непрерывность решения ), но в некоторых случаях предпочтительнее другие нормы. Например, при использовании 1-нормы решение менее подвержено влиянию шумов ( неточные исходные данные ). Решение этой задачи ( которое может быть не единственным ) заключается в выборе из этой системы m уравнений, решение которых будет минимизировать вектор невязок исходной системы. Назовём эти уравнения главными.
Следующие функции находят решение с минимальной 1-нормой: Здесь data — это двухмерный массив ( n * (m+1) ) с исходными данными, в последнем столбце которого записан вектор b, x — ссылка на массив решения, index — ссылка на массив в который запишутся индексы главных уравнений. В этих функциях вначале определяются главные уравнения, а затем, если нужно, по ним методом исключений ( или Гаусса ) находится решение х.
Следующая функция находит решение с минимальной 2-нормой: Здесь вначале строится система нормальных уравнений, а затем она решается методом Гаусса.
При использовании бесконечной нормы минимизируется максимальное значение невязок. Следующие функции находят решение с минимальной ∞-нормой: Эти функции определяют m + 1 главных уравнений, для которых невязки будут равны максимальному значению, а для остальных уранений невязки будут меньше или равны максимальному значению.
Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
Решение систем линейных уравнений
Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.
Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).
💡 Видео
15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать
Неоднородная система линейных уравненийСкачать
Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать
Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать
ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать
Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать
Видеоурок "Однородные системы линейных уравнений"Скачать
Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать
Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать
Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.Скачать
Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать
Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать
Базисные решения систем линейных уравнений (01)Скачать