Решение однородных уравнений с подробным решением

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Решение однородных уравнений с подробным решением

Видео:4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)

Определение

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.

Как определить однородное дифференциальное уравнение

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx : y → ty , x → tx . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется.
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение однородным

Делаем замену y → ty , x → tx .

Делим на t 2 .

.
Уравнение не содержит t . Следовательно, это однородное уравнение.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Метод решения однородного дифференциального уравнения

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux . Покажем это. Рассмотрим уравнение:
(i)
Делаем подстановку:
y = ux ,
где u — функция от x . Дифференцируем по x :
y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение (i).
,
,
(ii) .
Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f ( u ) – u ) .

При f ( u ) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:

Интегрируем:

Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:

Заменим постоянную интегрирования C на ln C , тогда

Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C . Тогда общий интеграл примет вид:

Далее следует рассмотреть случай f ( u ) – u = 0 .
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).

Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое-либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g ( x, y ) , то дальнейшие преобразования справедливы при g ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g ( x, y ) = 0 .

Видео:Видеоурок "Однородные системы линейных уравнений"Скачать

Видеоурок "Однородные системы линейных уравнений"

Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка

Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty , x → tx . При этом y′ → y′ .
,
,
.
Сокращаем на t .

Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.

Делаем подстановку y = ux , где u – функция от x .
y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0 , |x| = x . При x ≤ 0 , |x| = – x . Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0 , а нижний – к значениям x ≤ 0 .
,
Умножаем на ± dx и делим на .

При u 2 – 1 ≠ 0 имеем:

Интегрируем:

Интегралы табличные,
.

Применим формулу:
( a + b )( a – b ) = a 2 – b 2 .
Положим a = u , .
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.

Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C .

Умножаем на x и подставляем ux = y .
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.

Теперь рассмотрим случай, u 2 – 1 = 0 .
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-07-2012 Изменено: 24-02-2015

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.

Однородные уравнения и неравенства

Однородные уравнения – это уравнения, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.

Однородные неравенства – это неравенства, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.

Пример. Решить уравнение (sin⁡x=sqrtcos⁡x).

Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cos⁡x, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли (cos⁡x=0) решением уравнения. Если (cos⁡x=0), то (sin⁡x=±1). Очевидно, что (±1≠0).

Теперь с чистой совестью поделим уравнение на (cos⁡x)

Заметьте, что в этом примере перед тем, как делить на (cos⁡x), была сделана проверка — является ли (cos⁡x=0) решением уравнения. Нужно каждый раз проверять, является ли выражение, на которое вы хотите поделить, решением. Иначе вы рискуете потерять корни уравнения .

Пример. Решить уравнение (7cdot 9^+5cdot 6^-48cdot 4^=0).

Показатели степеней в уравнении похожи – в каждом есть (x^2-3x). Давайте сделаем их одинаковыми.
Представим (48cdot 4^) как (12cdot 4^1cdot 4^).

Получился классический вид однородного уравнения.
Поделим уравнение на (4^) .
Положительное число в степени никогда не будет равно нулю, поэтому проверку можно не делать.

Обратите внимание: ((frac)^2) (=) (frac) . С учетом этого сделаем замену.

Положительное число в любой степени всегда больше нуля, поэтому (t>0). Отметим это в решении, чтобы не забыть.

Видео:Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравнения

Однородные уравнения

Решение однородных уравнений с подробным решением

Однородные уравнения

Алгебраический многочлен f(x,y) с двумя переменными x и у называется однородным многочленом n -й степени относительно этих переменных Решение однородных уравнений с подробным решением, если при любом Решение однородных уравнений с подробным решениемимеет место тождество

Решение однородных уравнений с подробным решением

Это означает, что однородный многочлен n-й степени f (х, у) можно представить в виде

Решение однородных уравнений с подробным решением

где Решение однородных уравнений с подробным решением— коэффициенты многочлена, одновременно не обращающиеся в нуль.

Уравнение f(x,y) = 0 называется однородным алгебраическим уравнением n -й степени с двумя неизвестными x,у, если f(x,y) — однородный многочлен n-й степени относительно этих переменных.

Например, уравнение вида Решение однородных уравнений с подробным решениемявляется однородным уравнением 2-й степени относительно неизвестных x и у . Действительно, достаточно проверить выполнение условия (1). При одновременной замене Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением, получим

Решение однородных уравнений с подробным решением

т.е. условие (1) из определения выполняется (n = 2).

Аналогично, уравнение Решение однородных уравнений с подробным решениеместь однородное уравнение 2-й степени по отношению к неизвестным x,y,z , поскольку при замене Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решениемполучаем

Решение однородных уравнений с подробным решением

Итак, однородное алгебраическое уравнение — это уравнение, не меняющее своего вида при одновременном умножении всех его неизвестных на одно и то же число, отличное от нуля. Можно распространить понятие однородности на случай неалгебраических уравнений.

Пусть р(х) и q(x) — две произвольные функции, определённые на одном и том же множестве, Решение однородных уравнений с подробным решением.

Однородным уравнением n -й степени относительно функций р(х), q(x) называется уравнение вида

Решение однородных уравнений с подробным решением

В частности, если функции р(х) и q(x) являются целыми алгебраическими многочленами, то и уравнение (2) будет относиться к аналогичному классу. В качестве другого примера рассмотрим уравнение вида

Решение однородных уравнений с подробным решением

Оно является однородным тригонометрическим уравнением 2-й степени относительно функций Решение однородных уравнений с подробным решением

Перейдём к процедуре решения уравнения (2).

Если хотя бы один из коэффициентов Решение однородных уравнений с подробным решениемили Решение однородных уравнений с подробным решениемобращается в нуль, то левая часть уравнения легко раскладывается на множители. В результате уравнение оказывается равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений. Например, если Решение однородных уравнений с подробным решением, Решение однородных уравнений с подробным решениемто получим совокупность

Решение однородных уравнений с подробным решением

Если же Решение однородных уравнений с подробным решениеми Решение однородных уравнений с подробным решением, то для решения однородного уравнения (2) необходимо рассмотреть два возможных случая.

1) Если Решение однородных уравнений с подробным решениемто, поделив обе части уравнения на Решение однородных уравнений с подробным решениеми обозначив после этого отношение p(x)/q(x) через t , получим алгебраическое уравнение n -й степени относительно t:

Решение однородных уравнений с подробным решением

решив которое и сделав обратную подстановку, найдём часть решений однородного уравнения.

2) Если q(х) = 0. то, подставив в уравнение вместо q(x) нуль, получим, что тогда и р(х) должно обращаться в нуль. Таким образом, этот случай сводится к решению системы уравнений Решение однородных уравнений с подробным решением

Осталось объединить все найденные решения. Уравнение (2) решено. Обратимся к примерам.

Пример №185.

Решить уравнение Решение однородных уравнений с подробным решением

Решение:

Перепишем уравнение: Решение однородных уравнений с подробным решениемВидно, что это однородное уравнение 2-й степени относительно функций Решение однородных уравнений с подробным решениемиРешение однородных уравнений с подробным решением1) Пусть х + 1 = 0 , но система Решение однородных уравнений с подробным решениемрешений не имеет.

2) Пусть теперь Решение однородных уравнений с подробным решением. Поделив на Решение однородных уравнений с подробным решениеми обозначив Решение однородных уравнений с подробным решением, придём к квадратному уравнению Решение однородных уравнений с подробным решением. Оно имеет два корня Решение однородных уравнений с подробным решением, Решение однородных уравнений с подробным решением. Возвращаясь к переменной x , приходим к совокупности двух уравнений

Решение однородных уравнений с подробным решением

Пример №186.

Решить в целых числах уравнение Решение однородных уравнений с подробным решением

Решение:

Заметим, что если у = 0, то x = 0, и, значит, пара (0;0) удовлетворяет уравнению. Пусть Решение однородных уравнений с подробным решением, тогда поделим обе части уравнения на Решение однородных уравнений с подробным решением:

Решение однородных уравнений с подробным решением

Обозначим t = x/у, тогда имеем кубическое уравнение Решение однородных уравнений с подробным решениемПодбором находим корень t = — 1. Делением многочлена Решение однородных уравнений с подробным решениемполучаем: Решение однородных уравнений с подробным решениемУбеждаемся в том, что данное кубическое уравнение имеет единственный корень t = — 1, что соответствует у = — x . Положим x = р, где р — произвольное целое число, не равное 0. Тогда у = — р , и имеем бесконечно много решений в виде пар чисел (р;- р), Решение однородных уравнений с подробным решением, Решение однородных уравнений с подробным решением. Объединяя все полученные решения, приходим к ответу.

Ответ: Решение однородных уравнений с подробным решениемгде Решение однородных уравнений с подробным решением.

Пример №187.

Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение

Решение однородных уравнений с подробным решением

Решение:

Заметим, что данное уравнение можно рассмотреть как однородное алгебраическое уравнение 4-й степени относительно x и а.

1) Если а = 0 , то х = 0 .

2) Если Решение однородных уравнений с подробным решением, то поделим на Решение однородных уравнений с подробным решением, и положим Решение однородных уравнений с подробным решением:

Решение однородных уравнений с подробным решением

Первый сомножитель в нуль не обращается, а второй имеет два корня

Решение однородных уравнений с подробным решением

Ответ: при а = 0 единственное решение x = 0 ;

при Решение однородных уравнений с подробным решениемдва решения Решение однородных уравнений с подробным решением

Пример №188.

Найти действительные корни уравнения

Решение однородных уравнений с подробным решением

Решение:

Данное уравнение в исходном виде не является однородным, но может быть сведено преобразованиями к однородному. Действительно, достаточно привести его к виду

Решение однородных уравнений с подробным решением

Получили однородное уравнение 2-й степени относительно x + 1 и у — 1.

1) Если Решение однородных уравнений с подробным решением, то, поделив на Решение однородных уравнений с подробным решениеми обозначив Решение однородных уравнений с подробным решением, получим Решение однородных уравнений с подробным решениемнет решений.

2) Если у = 1, то, подставляя в уравнение, находим x = — 1 .

Ответ: Решение однородных уравнений с подробным решением

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Решение однородных уравнений с подробным решением

Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением Решение однородных уравнений с подробным решением

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🎬 Видео

Однородное уравнение в системеСкачать

Однородное уравнение в системе

§41 Решение систем линейных однородных уравненийСкачать

§41 Решение систем линейных однородных уравнений

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка.Скачать

Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

Простая, но очень противная задача на окружности из ЕГЭ | Планиметрия 83 | mathus.ru #егэ2024Скачать

Простая, но очень противная задача на окружности из ЕГЭ | Планиметрия 83 | mathus.ru #егэ2024

9 класс, 12 урок, Однородные системы. Симметрические системыСкачать

9 класс, 12 урок, Однородные системы. Симметрические системы

Однородное дифференциальное уравнениеСкачать

Однородное дифференциальное уравнение

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однороднымСкачать

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Однородное уравнениеСкачать

Однородное уравнение

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения
Поделиться или сохранить к себе: