Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари
Решение неравенства с уравнением 4 степениСхема метода Феррари
Решение неравенства с уравнением 4 степениПриведение уравнений 4-ой степени
Решение неравенства с уравнением 4 степениРазложение на множители. Кубическая резольвента
Решение неравенства с уравнением 4 степениПример решения уравнения 4-ой степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Решение неравенства методом интервалов

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари , с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x 4 + a1x 3 + a2x 2 +
+ a3x + a4 = 0,
(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем Решение неравенства с уравнением 4 степени

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Видео:Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Решение квадратных неравенств | Математика

Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x 4 + ax 3 + bx 2 +
+ cx + d = 0,
(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

Решение неравенства с уравнением 4 степени(3)

где y – новая переменная.

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Если ввести обозначения

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

то уравнение (4) примет вид

y 4 + py 2 + qy + r = 0,(5)

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Как решать неравенства? Часть 1| Математика

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

то уравнение (6) примет вид

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

или, раскрыв скобки, — в виде

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

а также квадратное уравнение

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Вывод метода Феррари завершен.

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnline

Пример решения уравнения 4-ой степени

Пример . Решить уравнение

x 4 + 4x 3 – 4x 2 –
– 20x – 5 = 0.
(12)

Решение . В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

x = y – 1.(13)

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = 0.(14)

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10, q = – 4, r = 8.(15)

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s 3 + 5s 2 – 8s – 42 = 0.(16)
s = – 3.(17)

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Замечание . При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y 4 – 10y 2 – 4y + 8 =
= (y 2 – 2y – 4) (y 2 +
+ 2y – 2).
(20)

Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

Видео:Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnline

Решение неравенств

Решение неравенства с уравнением 4 степени

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnline

Шаг 1. Введите неравенство

Подробно решает любые неравенства онлайн с возможностью изобразить неравенство на рисунке.

Примеры

Неравенства с модулем

С кубом (неравество третьей степени)

С кубическим корнем

С натуральным логарифмом

Иррациональные с квадратным корнем

С четвёртой степенью

Решение с целыми числами

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Видео:Уравнение четвертой степениСкачать

Уравнение четвертой степени

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Видео:Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Видео:Как решать уравнения 4 степени Решите уравнение четвертой степени Разложить на множители Безу столбиСкачать

Как решать уравнения 4 степени Решите уравнение четвертой степени Разложить на множители Безу столби

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .

Видео:Как решать уравнения четвёртой степени. Формула Феррари | #БотайСоМной #026 | Борис ТрушинСкачать

Как решать уравнения четвёртой степени. Формула Феррари | #БотайСоМной #026 | Борис Трушин

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3

Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .

Решим первое уравнение:

x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4

Решим второе уравнение:

x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2

Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .

Видео:Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные фактыСкачать

Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные факты

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .

Решение

Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3

Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .

Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .

Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Решение

Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9

Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .

Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .

Видео:Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примере

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .

Решение

Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0

Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .

Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0

Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .

Ответ: x 1 , 2 = — 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = — 2 .

🔍 Видео

Как решать возвратные уравнения?Скачать

Как решать возвратные уравнения?

Вспоминаем схему Горнера и уравнения высших степенейСкачать

Вспоминаем схему Горнера и уравнения высших степеней

9 класс. Алгебра. Решение уравнений четвертой степени. Возвратные уравнения.Скачать

9 класс. Алгебра. Решение уравнений четвертой степени. Возвратные уравнения.

Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Неравенства с модулем | Математика | TutorOnline

Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать

Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!

10 класс. Алгебра. Уравнение четвертой степени.Скачать

10 класс. Алгебра. Уравнение четвертой степени.

УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения 4-ой степениСкачать

УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения 4-ой степени
Поделиться или сохранить к себе: