Решение неоднородных уравнений в маткад (7 видео)

Решение неоднородных уравнений в маткад

Содержание

Mathcad для студентов
Mathcad для начинающих
Скачать программы бесплатно
Функции предназначенные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad
Метод конечных разностей в Mathcad
Задача Коши в Mathcad
Краевые задачи в Mathcad
Дифференциальное уравнение в Mathcad
Функции предназначенные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Решение задачи Коши
Краевые задачи
Метод конечных разностей
Тема 7. Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad
28. Тема 7. Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad. Краткие теоретические сведения
💥 Видео

Видео:Mathcad-09. Пример: уравненияСкачать

Mathcad для студентов

Видео:Работа с MathCad Prime. Решение дифференциальных уравнений.Скачать

Mathcad для начинающих

Видео:Пример решения уравнения в MathCAD 14 (33/34)Скачать

Скачать программы бесплатно

Видео:Mathcad Prime. Урок 5 - Способы решения уравненийСкачать

Функции предназначенные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad введен ряд функций. Рассмотрим их:

odesolve(x,b,step) — используется для решения обыкновенного дифференциального уравнения, заданного как в виде задачи Коши, так и в виде краевой задачи. Начальные условия и дифференциальное уравнение должны быть определены в блоке given. Параметры функции: х –переменная, по которой производится интегрирование; b — конечное значение промежутка решения; step – величина шага численного метода (параметр необязательный).
rkfixed(u,a,b,N,D) – реализует в Mathcad численное решение задачи Коши по методу Рунге – Кутта с фиксированным шагом. Имеет следующие преимущества перед odesolve(x,b,step): может быть использована в программных модулях и позволяет оперативно пересчитывать результаты при изменении параметров. Параметры функции: u-вектор начальных условий; a и b – граничные значения отрезка решения задачи; N – число интервалов разбиения отрезка [a,b]; D(x,y) –вектор-функция, содержащая правые части первых производных, записанные в символьном виде.
Rkadapt(u, a,b, N, D) — возвращает матрицу в Mathcad, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от a до b для уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе u, D(x,y) –вектор функция, содержащая правые части первых производных, записанная в символьном виде, n — число шагов.
Функция Rkadapt() вследствие автоматического подбора шага, как правило, дает более точный результат по сравнению с другими функциями в Mathcad.

Видео:Решение систем линейных уравнений в MathCAD 14 (31/34)Скачать

Метод конечных разностей в Mathcad

В случае краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в Mathcad применяются формулы для аппроксимации производных соответствующими конечно – разностными отношениями. Это позволяет свести решение дифференциальных уравнений к решению системы линейных уравнений. Результаты получают в дискретных i – ых точках интервала решения задачи. При этом отрезок [a,b] разбивается на n частей с шагом h =(b-a)/n. Для аппроксимации соответствующих производных в Mathcad используют следующие формулы:

Таким образом, сделав соответствующую замену, получаем систему линейных уравнений, решение которой средствами Mathcad не представляет сложностей. Решение задачи методом конечных разностей приведено на листинге

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Задача Коши в Mathcad

Задача Коши в Mathcad для дифференциальных уравнений n-го порядка с одной неизвестной (обыкновенное дифференциальное уравнение — ОДУ) формулируется следующим образом. Найти решение дифференциального уравнения

в виде функции y=y(x), которая удовлетворяет заданным начальным условиям

где — заданные значение. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков можно свести к системе уравнений. Решение задачи Коши для ОДУ первого порядка в Mathcad с использованием различных функций приведено на листинге.

Наибольшее распространение для решения задачи Коши в Mathcad получил метод Рунге – Кутта. Суть метода состоит в последовательном отыскании искомого значения функции yi+1 по формуле

За h принимается достаточно малый шаг, с помощью которого весь интервал задачи Коши разбивается на дискретные точки, в которых и ищется решение. Погрешность результатов пропорциональна пятой степени шага (h5).

Геометрический смысл метода Рунге – Кутта состоит в следующем. Из очередной точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого tg()=f(xi,yi). На этом направлении вычисляется точка с координатами Затем из точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого

tg()=f

На этом направлении вычисляется точка с координатами Далее из точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого

На этом направлении в Mathcad вычисляется точка с координатами После чего из точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого . Все четыре полученных направления усредняются в соответствии с формулой для расчета . На этом результирующем направлении и строится расчетная точка с координатами

Метод Рунге – Кутта благодаря высокой точности широко используется при численном решении дифференциальных уравнений и в частности в Mathcad. Существует несколько разновидностей данного метода, которые нашли свое отражение в рассмотренных выше функциях. На листинге можно не только сравнить результаты, полученные на основе различных функций, но и оценить эти результаты с позиций точности расчетов.

Путем сравнения результатов решения задачи, можно сделать вывод о точности решения задачи. Наиболее точный результат позволяет получить функция Rkadapt.

Видео:Mathcad-10. Пример: дифференциальные уравненияСкачать

Краевые задачи в Mathcad

Краевые задачи в Mathcad отличаются от задачи Коши состоит тем, что в краевой задаче начальные условия задаются на концах интервала поиска решения. Для решения подобных задач в системе Mathcad используется метод пристрелки, который начальное условие в правой точке интервала преобразует в дополнительное начальное условие для левой точки интервала. После чего краевая задача трансформируется в задачу Коши, методы решения которой были рассмотрены в предыдущем разделе. Для реализации метода пристрелки в Mathcad существует функция sbval. Данная функция определяет недостающие условия в начальной точке для двухточечных краевых задач. Функция имеет следующий синтаксис sbval(z,a,b,D,load,score), где z – вектор приближений недостающих начальных условий на левой границе; a,b – левая и правая граница интервала решений; D(x,y) – вектор-функция, содержащая правые части первых производных, записанная в символьном виде; load(a,z) – вектор-функция, описывающая начальные условия на левой границе интервала; score(b,y) – вектор-функция для задания правых граничных условий. Пример решения краевой задачи приведен на листинге.

Видео:Средство для решения систем уравнений в MathCAD 14 (29/34)Скачать

Дифференциальное уравнение в Mathcad

Функции предназначенные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в Mathсad введен ряд функций.

Решение задачи Коши

Задача Коши для дифференциальных уравнений n-го порядка с одной неизвестной.

Краевые задачи

Разница краевой задачи и задачи Коши состоит в том, где задается интервала поиска решения.

Метод конечных разностей

В Mathcad в краевых задачах для уравнений применяются формулы для аппроксимации производных соответствующими отношениями.

Видео:Решение СЛАУ в пакете MathCadСкачать

Тема 7. Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad

Краткие теоретические сведения

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система Mathcad имеет ряд встроенных функций:

rkfixed – функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;

Odesolve – функция, решающая ОДУ блочным методом.

Ниже приведено описание стандартной функции rkfixed с указанием параметров функции.

y – вектор начальных условий из k элементов ( k – количество уравнений в системе);

x1 и x2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

p – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D – вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

Результатом работы функции является матрица из p +1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – сами решения.

На рисунке 2.7.1 приведены конкретные примеры решения различных дифференциальных уравнений и систем ОДУ в MathCAD .

Рисунок 2.7.1 – Примеры решения дифференциальных уравнений и систем

При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y 1 , который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора Y , границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 2), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D . В результате получается матрица z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец – как функция.

При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор v , который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора v , и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 5), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D . В результате получается матрица s , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах – значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами – как функциями.

На рисунке 2.7.2 приведен пример решения дифференциального уравнения второго порядка с использованием функции rkfixed . Необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка с заданными начальными условиями вида:

Рисунок 2.7.2 – Пример решения дифференциальных уравнений второго порядка с помощью rkfixed

Для решения уравнения с помощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. Вид этих уравнений приведен ниже.

Документ формируется точно так же, как и при решении системы ОДУ.

На рисунке 2.7.2 показана возможность вычисления вектора второй производной найденной функции – вектора а, построены графики исходной функции, функций первой и второй производных.

Практическая часть темы 7

7.1 Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Последовательность действий для р ешения дифференциального уравнения первого порядка такова:

q сформировать вектор начальных условий из одного элемента, присвоив начальное значение искомой функции переменной с индексом, например: или (в зависимости от значения переменной ORIGIN );

q определить вектор-функцию из одного элемента, которая содержит первую производную неизвестной функции:

· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомой функции (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомую функцию (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D ( x , Y );

· набрать оператор «:=» и выражение для первой производной (выразить из дифференциального уравнения), в котором вместо имени искомой функции подставлен первый элемент вектора-параметра, например, для уравнения вектор-функция будет определятся следующим образом: ( если ORIGIN = 0 , подставлять );

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed , указав в скобках следующие параметры:

· первый – имя вектора начальных условий,

· второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· четвертый – количество точек, в которых ищется решение,

· пятый – имя вектора-функции, описывающего первую производную, без параметров;

например: ,

(в результате получится матрица Z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой функции);

q вывести матрицу, содержащую решение ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;

q построить график найденной функции ( см. тему 5 ), указав в качестве аргумента по оси абсцисс столбец , а в качестве значения функции по оси ординат – столбец ( если ORIGIN = 0 , набирать соответственно и ).

Пример 7.1 Найти численное решение дифференциального уравнения первого порядка на интервале от 0.2 до 5 в 1000 точках, при начальном условии y (0)=0.1.

Выполнить графическую интерпретацию результатов.

7.2 Решение систем дифференциальных уравнений

Последовательность действий для р ешения системы дифференциальных уравнений первого порядка такова (описана для значения ORIGIN =0 ):

q перейти в исходной системе уравнений к однотипным обозначениям функций и выразить первые производные,

например, систему можно преобразовать в ;

q в документе MathCad сформировать вектор начальных условий, количество элементов которого равно количеству уравнений системы, присвоив его некоторой переменной (см. тему 2);

например, ;

q определить вектор-функцию, которая содержит первые производные искомых функций:

· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомых функций (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомые функции (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D ( t , V );

(Замечание: если независимая переменная явно не присутствует в системе, то в качестве ее имени можно выбрать любую переменную)

· набрать оператор «:=» и вставить шаблон вектора, количество элементов которого равно количеству уравнений системы (см. тему 2)

· набрать в качестве элементов вектора правые части системы уравнений, в которых искомые функции представлены соответствующими элементами вектора-параметра, например,

;

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed , указав в скобках следующие параметры:

· первый – имя вектора начальных условий,

· второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· четвертый – количество точек, в которых ищется решение,

· пятый – имя вектора-функции, описывающего первые производные, без параметров;

например: ,

(в результате получится матрица Z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором – значения первой функции, в третьем – значения второй функции и т. д.);

q вывести матрицу, содержащую решение системы ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;

q построить графики найденных функций ( см. тему 5 ), указав в качестве аргумента по оси абсцисс первый столбец матрицы решений, например, , а в качестве значений функций по оси ординат – остальные столбцы матрицы через запятую, например, , и т. д.

Пример 7.2 Найти решение системы дифференциальных уравнений

на интервале от 0 до 0.5 в 1000 точках, при следующих начальных условиях: x (0)=0.1 и y (0)=1.

Выполнить графическую интерпретацию результатов.

Видео:Пример решения системы уравнений в MathCAD 14 (34/34)Скачать

28. Тема 7. Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad. Краткие теоретические сведения

Rkfixed – функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;

Odesolve – функция, решающая ОДУ блочным методом.

Ниже приведено описание стандартной функции Rkfixed с указанием параметров функции.

Y – вектор начальных условий из K элементов (k – количество уравнений в системе);

X1 и X2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

P – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D – вектор, состоящий из K-Элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

Результатом работы функции является матрица из p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – сами решения.

При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y1, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции Rkfixed Указывается имя вектора Y, границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 2), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D. В результате получается матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец – как функция.

При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор V, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции Rkfixed Указывается имя вектора V, и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 5), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D. В результате получается матрица S, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах – значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами – как функциями.

На рисунке 2.7.2 приведен пример решения дифференциального уравнения второго порядка с использованием функции Rkfixed. Необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка с заданными начальными условиями вида:

Рисунок 2.7.2 – Пример решения дифференциальных уравнений второго порядка с помощью Rkfixed

Для решения уравнения с помощью функции Rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. Вид этих уравнений приведен ниже.

Документ формируется точно так же, как и при решении системы ОДУ.

На рисунке 2.7.2 показана возможность вычисления вектора второй производной найденной функции – вектора А, построены графики исходной функции, функций первой и второй производных.