Решение нелинейных уравнений си шарп

Видео:После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

Решение уравнений методом касательных (алгоритм Ньютона) на C#

Привет! Сегодня посмотрим, как приближённо решать уравнения с помощью метода касательных (алгоритма Ньютона).

И напишем программу на языке программирования C#.

Пусть дано нелинейное уравнение: f(x) = 0 (Если уравнение будет линейное, то невозможно будет провести касательную). Метод касательных поможет приближённо найти корень уравнения на отрезке [a, b], при условии, что функция непрерывна на замкнутом интервале [a, b], и корень на этом отрезке только один! А так же функция не меняет свою вогнутость или выпуклость (постоянный знак второй производной) и не имеет экстремумов (первая производная не равна нулю) на отрезке [a, b].

Графически функция может выглядеть следующим образом:

Т.е. самая стандартная функция.

Графическая интерпретация метода Ньютона:

От x₀ узнаём значение функции. В этой точке проводим касательную. Касательная пересекает ось X, и мы получаем новую точку x₁. И начинаем всё сначала. Числа x₀, x₁, x₂ и т.д. приближаются к корню уравнения.

Выведем формулу для x_n.

Приравняем к нулю (пересечение с осью X) и выразим x.

Погрешность данного метода ε > |x_n+1 — x_n|. Причём самая первая точка x₀ не берётся во внимание при определении погрешности. Т.е. если |x_n+1 — x_n| меньше, чем заданное значение ε, то можно прекращать вычисления.

За саму первую точку x₀ берут либо начало отрезка a, либо конец отрезка b. Это зависит от возрастания или убывания функции, а так же, в какую сторону выпукла функция.

Удобно пользоваться правилом:

Для примера, найдём положительный корень уравнения: x 2 = 2

Определим отрезок [1, 2], где будем искать корень.

Функция f(x) = x 2 — 2

f′′(x) = 2
f(2) = 4 — 2 = 2

Определим корень уравнения с точностью до ε=0.001 на языке программирования C#.

Т.к. x₀ — не участвует при вычислении погрешности, то мы в начале до цикла while вычисляем x_n и x_n+1 (xnp1). Т.к. тип данных double, то чтобы возвести число в степень, используем специальную функцию Math.Pow(). В условии цикла while мы используем разницу без модуля, потому что мы идём от правого конца отрезка, и xn всегда больше, чем xnp1.

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Программирование на C, C# и Java

Видео:Решение уравнений (метод дихотомии) на C#Скачать

Уроки программирования, алгоритмы, статьи, исходники, примеры программ и полезные советы

ОСТОРОЖНО МОШЕННИКИ! В последнее время в социальных сетях участились случаи предложения помощи в написании программ от лиц, прикрывающихся сайтом vscode.ru. Мы никогда не пишем первыми и не размещаем никакие материалы в посторонних группах ВК. Для связи с нами используйте исключительно эти контакты: vscoderu@yandex.ru, https://vk.com/vscode

Видео:C# ФУНКЦИИ И МЕТОДЫ | МЕТОД C# ЧТО ЭТО | ФУНКЦИИ C# ПРИМЕР | C# ОТ НОВИЧКА К ПРОФЕССИОНАЛУ | # 35Скачать

Метод хорд

Метод хорд используется для численного нахождения приближенного значения корня нелинейного уравнения. В данной статье будет показан алгоритм метода, а также будет приведена его программная реализация на языках: Си, C# и Java.

Метод хорд (то же, что метод секущих) — итерационный метод решения нелинейного уравнения.

Нелинейное уравнение — это уравнение в котором есть хотя бы один член, включающий неизвестное, НЕ в первой степени. Обозначается, как: f(x) = 0.

Метод хорд. Алгоритм

Метод хорд является итерационным алгоритмом, таким образом решение уравнения заключается в многократном повторении этого алгоритма. Полученное в результате вычислений решение является приближенным, но его точность можно сделать такой, какой требуется, задав нужное значение погрешности ε. В начале вычислений методом хорд требуется указать границы области поиска корня; в общем случае эта граница может быть произвольной.

Итерационная формула для вычислений методом хорд следующая:

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не станет истинным выражение:

Геометрическая модель одного шага итераций метода хорд представлена на рисунке:

Метод хорд, в отличие от метода Ньютона, имеет плюс в том, что для расчета не требуется вычисление производных. Но при этом метод хорд медленнее, его сходимость равна золотому сечению:

Метод хорд. Программная реализация

Ниже мы приводим реализацию алгоритма метода хорд на языках программирования Си, C# и Java. Кроме того, исходники программ доступны для скачивания.

В качестве примера ищется корень уравнения x 3 — 18x — 83 = 0 в области x0 = 2, x1 = 10, с погрешностью e = 0.001. (Корень равен: 5.7051).

x_prev — это x_k-1, x_curr — это x_k, x_next — это x_k+1.

Видео:1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать

Поиск по сайту

В прошлой статье мы говорили о решении специальных типов уравнений с помощью точных методов. Сегодня же поговорим о приближенных (численных) методах решения уравнений вида f(x)=0.

В листингах программ есть записи вида:

которые соответствуют процедуре получения значения функции, записанной в виде математического выражения в точке x. Фактически, функция Function реализует парсер функций.

Видео:ОПЕРАТОРЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ЧИСЛАМИ В C# | C# ОТ НОВИЧКА К ПРОФЕССИОНАЛУ | Урок # 8Скачать

Метод половинного деления

Другие названия: метод бисекции (bisection method), метод дихотомии.

Метод половинного деления – простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0, где функция f(x) должна быть непрерывной на искомом отрезке [x_L; x_R], причем функция должна принимать значения разных знаков, т.е. должно выполняться условие:

С непрерывности функции f(x) следует, что на интервале [x_L; x_R] существует, по крайней мере, один корень уравнения (если их несколько, то метод находит один из них).

Выберем точку – середину интервала:

Если f(x_M) = 0, то корень найден. Если f(x)≠0, то разобьем этот интервал на два: [x_L; x_M] и [x_M; x_R].

Теперь найдем новый интервал, на котором функция изменяет знак. Повторим описанную процедуру до тех пор, пока не получим требуемую точность или превысим максимально допустимое количество итераций.

Геометрическая интерпретация метода:

Реализация метода на C#:

Видео:Решение слау методом итераций. Метод простых итераций c++.Скачать

Метод секущих

Другие названия: метод хорд (secant method);

Метод хорд – еще один численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0, где функция f(x) должна быть непрерывной на искомом отрезке [x₀; x₁], причем функция должна принимать значения разных знаков, т.е. должно выполняться условие:

Последующие приближения находят по формуле:

Геометрическая интерпретация метода:

Реализация метода на C#:

Видео:Метод касательных (алгоритм Ньютона) на C#Скачать

Метод простых итераций

Уравнение f(x)=0 с помощью некоторых преобразований необходимо переписать в виде x=φ(x).

Уравнение f(x)=0 эквивалентно уравнению x=x+λ(x)f(x) для любой функции λ(x)≠0. Возьмем φ(x)=x-λ(x)f(x) и выберем функцию (или переменную) λ(x)≠0 так, чтобы функция φ(x) удовлетворяла необходимым условиям.

Для нахождения корня уравнения x=φ(x) выберем некоторое начальное значение x₀, которое должно находиться как можно ближе к корню уравнения. Дальше с помощью итерационной формулы x_n+1=φ(x_n) будем находить каждое следующее приближение корня уравнения.

Пример: x 2 -5x+6=0

Преобразования в вид x=φ(x):

Реализация метода на C#:

Видео:FreeDy010 Решение Системы нелинейных уравнений scipy sympyСкачать

Метод Вегштейна

Метод Вегштейна является модификацией метода секущих, однако его можно назвать и улучшенным методом простой итерации, преобразовав вычислительную формулу к виду:

Это двухшаговый метод, и для начала вычислений необходимо задать 2 приближения x_a и x_b.

Реализация метода на C#:

public static double Wegstein(string expression, double xa, double xb, double epsilon = 0.00001) < double x = 0.0;

Видео:Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

Метод Ньютона

Если — начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле:

Если f’ и f» непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке , а f(a)f(b)

🔍 Видео

10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

Уроки C++. Простые линейные уравненияСкачать

6 Метод половинного деления C++ Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать

ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ МАССИВА | СПОСОБЫ | СИ ШАРП | C# ПРИМЕРЫ | C# ОТ НОВИЧКА К ПРОФЕССИОНАЛУ | # 25Скачать

C# уроки для начинающих # Язык си шарп - Переменные, алгебра, литералы, методыСкачать

10 Метод Ньютона (Метод касательных) C++ Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравненийСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать