Решение нелинейных уравнений методом дихотомии python

Видео:Численные методы (1 урок)(Решение нелинейных уравнений. Метод дихотомии. Python)Скачать

Как решить пару нелинейных уравнений с использованием Python?

Каков наилучший способ решения пары нелинейных уравнений с использованием Python. (Numpy, Scipy или Sympy)

Фрагмент кода, который решает вышеупомянутую пару, будет отличным

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

ОТВЕТЫ

Ответ 1

для численного решения, вы можете использовать fsolve:

Ответ 2

Если вы предпочитаете sympy, вы можете использовать nsolve.

Первый аргумент — это список уравнений, второй — список переменных, а третий — исходное предположение.

Ответ 3

Попробуйте это, я заверяю вас, что он будет работать отлично.

FYI. как упоминалось выше, вы также можете использовать «приближение Бройдена», заменив «fsolve» на «broyden1». Оно работает. Я сделал это.

Я точно не знаю, как работает приближение Бройдена, но это заняло 0,02 с.

И я рекомендую вам не использовать функции Sympy

Ответ 4

Ответ 5

Вы можете использовать пакет openopt и его метод NLP. Он имеет множество алгоритмов динамического программирования для решения нелинейных алгебраических уравнений, состоящих из:
goldenSection, scipy_fminbound, scipy_bfgs, scipy_cg, scipy_ncg, amsg2p, scipy_lbfgsb, scipy_tnc, bobyqa, ralg, ipopt, scipy_slsqp, scipy_cobyla, lincher, algencan,, которые вы можете выбрать.
Некоторые из последних алгоритмов могут решить проблему ограниченного нелинейного программирования. Итак, вы можете ввести свою систему уравнений в openopt.NLP() с такой функцией:

lambda x: x[0] + x[1]**2 — 4, np.exp(x[0]) + x[0]*x[1]

Ответ 6

Я получил метод Бройдена для работы с связанными нелинейными уравнениями (как правило, с участием многочленов и экспонент) в IDL, но я не пробовал его в Python:

Найти корень функции, используя первое приближение Я. Я. Брайденса.

Этот метод также известен как «хороший метод Бройденса».

Ответ 7

Альтернативой fsolve является root :

Если вы затем проверите

подтверждая правильность решения.

Ответ 8

Видео:Решение нелинейного уравнения методом половинного деления (программа)Скачать

Краткий ответ: используйте fsolve

Как упоминалось в других ответах, самое простое решение конкретной поставленной вами проблемы — использовать что-то вроде fsolve :

Видео:Решение n го нелинейных алгебраических уравнений в PythonСкачать

Аналитические решения?

Вы говорите, как «решить», но есть разные варианты решения. Поскольку вы упоминаете SymPy, я должен указать на самое большое различие между тем, что это может означать, а именно между аналитическими и числовыми решениями. Конкретный пример, который вы привели, не имеет (простого) аналитического решения, как другие системы нелинейных уравнений. Когда есть доступные аналитические решения, SymPY часто может найти их для вас:

Обратите внимание, что в этом примере SymPy находит все решения и не требует предварительной оценки.

Видео:Алгоритмы. Нахождение корней уравнения методом хордСкачать

Точность числовых решений

Однако большинство систем нелинейных уравнений не будет иметь подходящего аналитического решения, поэтому использование SymPy, как описано выше, прекрасно, когда оно работает, но не всегда применимо. Вот почему мы в конечном итоге ищем числовые решения, хотя и с числовыми решениями: 1) У нас нет гарантии, что мы нашли все решения или «правильное» решение, когда их много. 2) Мы должны предоставить первоначальное предположение, которое не всегда легко.

Приняв, что нам нужны числовые решения, что-то вроде fsolve , как правило, сделает все, что вам нужно. Для такого рода проблем SymPy, вероятно, будет намного медленнее, но он может предложить что-то еще, что более точно находит (числовые) решения:

Видео:Решение 1 го нелинейного алгебраического уравнения в PythonСкачать

Решение нелинейных уравнений в Python

у меня 4 нелинейных уравнения с тремя неизвестными X , Y и Z что я хочу решить для. Уравнения имеют вид:

. где a , b и c — константы, которые зависят от каждого значения F в четырех уравнений.

каков наилучший способ решить эту проблему?

Видео:14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

2 ответов

есть два способа сделать это.

1. используйте нелинейный решатель
2. Линеаризовать задачу и решать ее в наименьших квадратов смысла

Видео:Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

настройка

Итак, как я понимаю ваш вопрос, вы знаете F, a, b и c в 4 разных точках, и вы хотите инвертировать для параметров модели X, Y и Z. У нас есть 3 неизвестных и 4 наблюдаемых точки данных, поэтому проблема переопределена. Поэтому мы будем решать в метода наименьших квадратов.

в этом случае чаще используется противоположная терминология,поэтому давайте перевернем ваше уравнение. Вместо:

откуда мы знаем!—10—>, X , Y и Z в 4 разных точках (например, F_0, F_1, . F_i ).

мы просто меняем имена переменных, а не само уравнение. (Это больше для моего удобства, чем ничего еще.)

Видео:Решение нелинейных уравненийСкачать

Линейный Решением

это на самом деле можно линеаризовать это уравнение. Вы можете легко решить для a^2 , b^2 , a b cos(c) и a b sin(c) . Чтобы сделать это немного проще, давайте еще раз перечислим вещи:

теперь уравнение намного проще: F_i = d + e X_i + f Y_i + g Z_i . Легко сделать линейную инверсию наименьших квадратов для d , e , f и g . Тогда мы сможем получить a , b и c от:

Хорошо, давайте запишем это в матричной форме. Мы собираемся перевести 4 наблюдения (код, который мы напишем, будет принимать любое количество наблюдений, но давайте сохраним его конкретным на данный момент):

или: F = G * m (я geophysist, поэтому мы используем G для «функций Грина» и m для «параметры модели». Обычно мы использовали d для «данных» вместо F , так же.)

In python, это переводится на:

Видео:Решение нелинейного уравнения методом Ньютона (касательных) (программа)Скачать

нелинейное решение

вы также можете решить эту проблему с помощью scipy.optimize , как предложил @Joe. Самая доступная функция в scipy.optimize is scipy.optimize.curve_fit который использует метод Levenberg-Marquardt по умолчанию.

Levenberg-Marquardt-это алгоритм «восхождения на холм» (ну, в этом случае он идет вниз, но термин все равно используется). В некотором смысле вы делаете первоначальное предположение о параметрах модели (все они, по умолчанию в scipy.optimize ) и следуйте по склону observed — predicted в пространстве параметров вниз до дна.

предостережение: выбор правильного метода нелинейной инверсии, начальная догадка и настройка параметров метода-это очень «темное искусство». Вы только узнаете это, делая это, и есть много ситуаций, когда вещи не будут работать должным образом. Levenberg-Marquardt-хороший общий метод, если ваше пространство параметров довольно гладкое (это должно быть). Есть много другие (включая генетические алгоритмы, нейронные сети и т. д. В дополнение к более распространенным методам, таким как имитационный отжиг), которые лучше в других ситуациях. Я не собираюсь углубляться в эту часть.

есть один общий gotcha, что некоторые инструменты оптимизации пытаются исправить для этого scipy.optimize не пытается справиться. Если параметры модели имеют разные значения (например, a=1, b=1000, c=1e-8 ), вам нужно будет масштабировать вещи так, чтобы они были похожи по величине. В противном случае scipy.optimize ‘ы алгоритмы «восхождения на холм» (например, LM) не будут точно вычислять оценку локального градиента и дадут дико неточные результаты. На данный момент, я предполагаю, что a , b и c относительно аналогичных величин. Кроме того, имейте в виду, что по существу все нелинейные методы требуют от вас сделать первоначальное предположение и чувствительны к этому предположению. Я оставляю его ниже (просто передайте его как p0 kwarg к curve_fit ) потому что по умолчанию a, b, c = 1, 1, 1 — это довольно точный думаю для a, b, c = 3, 2, 1 .

с оговорками в сторону, curve_fit ожидает, что будет передана функция, набор точек, где были сделаны наблюдения (как один ndim x npoints array) и наблюдаемые значения.

Итак, если мы напишем функцию следующим образом:

нам нужно обернуть его, чтобы принять немного разные аргументы, прежде чем передавать его curve_fit .

Видео:Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

автономный пример двух методы:

даст вам полную реализацию, вот пример

1. генерирует случайно распределенные точки для оценки функции on,
2. оценивает функцию на этих точках (используя параметры модели set),
3. добавляет шума к результатам,
4. а затем инвертирует параметры модели, используя как линейные, так и нелинейные методы, описанные выше.

Видео:Численные методы решения нелинейного уравнени Теория Шаговый Метод половинного деления Метод НьютонаСкачать

Метод половинного деления (метод дихотомии или метод бисекции)

Теорема 2. Итерационный процесс половинного деления сходится к искомому корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Доказательство: Рассмотрим последовательность чисел ξ_i являющихся приближением корня на i -ом шаге.
ξ_i=½(b_i+a_i), i=0,1.
где a₀=a; b₀=b; a_i;b_i — границы подынтервалов, в которых f(a_i)f(b_i) 0 мы ни задали, всегда можно найти такое n , что ч.т.д.
Графически метод дихотомии выглядит следующим образом

|f(c)|≤δ f(a)f(c) 10 = 1024 ≈ 10 3 раз. За 20 итераций (n=2) уменьшается в 2 20 ≈ 10 6 раз.

Пример №1 . Найти экстремум функции: y=5x 2 -4x+1 методом дихотомии, если ε=0.1, а исходный интервал [0,10].

• Решение
• Видео решение

Пример №3 . Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке [a,b] с точностью ε = 10 -2 . Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε = 10 -4 . Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.
sqrt(t)+x 2 = 10, a = 2.6, b = 3

Найдем корни уравнения:
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b) 1 /₂(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| 1 /₂ n (b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1 /₂(a_n+b_n). Тогда погрешность определения корня будет равна (b_n – a_n)/2. Если выполняется условие:
(b_n – a_n)/2 1 /₂(a_n+b_n).
Решение.
Поскольку F(2.6)*F(3) 0, то a=2.8
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (2.8 + 3)/2 = 2.9
F(x) = 0.113
F(c) = -0.487
Поскольку F(c)•F(x) 0, то a=2.825
Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ: x = 2.8438; F(x) = -0.2267
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса Метод Ньютона онлайн

Пример №2 . Локализовать корень нелинейного уравнения f(x) = 0 и найти его методом бисекции с точностью ε₁ = 0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε₂ = 0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε₂ число итераций.

📸 Видео

Метод дихотомииСкачать

Решение уравнений (метод дихотомии) на C#Скачать

ЧМ-2. Решение нелинейных уравнений. Часть 2/2Скачать

Методы уточнения корней. Метод дихотомииСкачать

FreeDy010 Решение Системы нелинейных уравнений scipy sympyСкачать

1,2 Решение нелинейных уравнений методом хордСкачать

Метод половинного деления - ВизуализацияСкачать

Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать