Решение матрицы система уравнений ранг

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение Решение матрицы система уравнений ранг

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы Решение матрицы система уравнений ранг

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на Решение матрицы система уравнений рангдля этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную: Решение матрицы система уравнений ранг

Второй столбец умножим на Решение матрицы система уравнений рангтретий столбец — на Решение матрицы система уравнений ранг-ый столбец — на Решение матрицы система уравнений ранги все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение Решение матрицы система уравнений рангне изменится:

Решение матрицы система уравнений ранг

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е. Решение матрицы система уравнений ранг

Определение: Определитель Решение матрицы система уравнений рангназывается первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ: Решение матрицы система уравнений ранг

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Решение матрицы система уравнений рангПроанализируем полученные формулы:

  • если главный определитель системы отличен от нуля (Решение матрицы система уравнений ранг), то система имеет единственное решение;
  • если главный определитель системы равен нулю (Решение матрицы система уравнений ранг), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( Решение матрицы система уравнений рангили Решение матрицы система уравнений ранг, или, . или Решение матрицы система уравнений ранг), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
  • если все определители системы равны нулю (Решение матрицы система уравнений ранг), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера Решение матрицы система уравнений ранг

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Решение матрицы система уравнений ранг

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке) Решение матрицы система уравнений ранг

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя Решение матрицы система уравнений ранг

Воспользуемся формулами Крамера

Решение матрицы система уравнений ранг

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Решение матрицы система уравнений рангОтсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных Решение матрицы система уравнений рангматpицы-столбцы неизвестных Решение матрицы система уравнений ранги свободных коэффициентов Решение матрицы система уравнений ранг

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Решение матрицы система уравнений рангМатричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу Решение матрицы система уравнений рангк матрице А, получим Решение матрицы система уравнений рангв силу того, что произведение Решение матрицы система уравнений рангнайдем Решение матрицы система уравнений рангТаким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу Решение матрицы система уравнений ранг после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом Решение матрицы система уравнений ранг

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы Решение матрицы система уравнений ранг

Найдем матрицу Решение матрицы система уравнений ранг(см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение матрицы система уравнений ранг

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Решение матрицы система уравнений ранг Решение матрицы система уравнений рангЗапишем обратную матрицу Решение матрицы система уравнений ранг(в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:Решение матрицы система уравнений ранг

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид: Решение матрицы система уравнений ранг

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Решение матрицы система уравнений рангПриведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Решение матрицы система уравнений рангРазделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу Решение матрицы система уравнений ранг

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Решение матрицы система уравнений рангРазделим все элементы третьей строки на (-3), получим Решение матрицы система уравнений рангТаким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Решение матрицы система уравнений ранг

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы Решение матрицы система уравнений рангназывается наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если Решение матрицы система уравнений рангто среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы Решение матрицы система уравнений ранг

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, Решение матрицы система уравнений рангсреди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Решение матрицы система уравнений рангОчевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство Решение матрицы система уравнений рангдля определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Видео:Ранг матрицыСкачать

Ранг матрицы

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • Преобразования декартовой системы координат
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Критерий совместности Кронекера-Капелли
  • Формулы Крамера
  • Матричный метод
  • Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:11. Ранг матрицыСкачать

11. Ранг матрицы

Исследование СЛАУ. Общие сведения

В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

  • единственное решение;
  • бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
  • ни одного решения (несовместные СЛАУ).

Пример 1

Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.

Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .

Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .

Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:

  • Совместна ли система?
  • Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
  • Как найти все решения?

Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:

  • если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
  • если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
  • если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.

Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

Ранг матрицы и его свойства

Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда

В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:

  • при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
  • при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
  • при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.

Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .

Свойства ранга матрицы:

  1. квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
  2. если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
  3. если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
  4. при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
  5. ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
  6. при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
  7. ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
  8. когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .

Пример 2

А 1 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , B 1 = 1 0 0 0 0 0

r ( A 1 ) = 1 , r ( B 1 ) = 1

А 2 = 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 0 ; В 2 = 1 1 3 1 2 1 4 3 1 2 5 0 5 4 13 6

Видео:Ранг матрицыСкачать

Ранг матрицы

20. Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы

Пусть дана система линейных уравнений Решение матрицы система уравнений ранг(25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р.

Пусть А = Решение матрицы система уравнений ранг(26) матрица этой системы и А1 = Решение матрицы система уравнений ранг(27) расширенная матрица. Если система (25) имеет хотя бы одно решение, то её называют Совместной, в противном случае система Несовместная. Если все слагаемые, содержащие неизвестные, стоят в левых частях уравнений, а свободные члены – в правых частях, то система называется Приведённой. Если в системе (25) хотя бы один свободный член отличен от нуля, то эта система называется Неоднородной. Если же все свободные члены равны нулю, то имеем систему Линейных однородных уравнений.

Теорема 26 (теорема Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Þ Пусть система (25) совместна. Следовательно, существуют такие элементы A1, A2, … , AN , что

Решение матрицы система уравнений ранг

Записав эти равенства в векторной форме, получим, что В = A1×А1 + A2×А2 + … + AN×АN , где А1, а2, … , АN –векторы-столбцы матрицы А, В – вектор-столбец свободных членов. Из последнего равенства следует, что системы векторов А1, а2, … , АN и А1, а2, … , АN , В эквивалентны, поэтому их ранги равны. Итак, rang A = rang A1.

Ü Пусть rang A = rang A1 = К. Не нарушая общности, можно считать, что отличный от нуля минор К-го порядка в матрице А Стоит в левом верхнем углу. Векторы-столбцы обозначим А1, а2, … , Ак, ак+1, … , АN, В (*). Система А1, а2, … , Ак Будет максимальной линейно независимой подсистемой в системе (*), следовательно, найдутся такие коэффициенты Х10, х20, … , хк0, Что В = Х10 А1 + Х20 А2 + … + Хк0 Ак. Это равенство равносильно равенству В = Х10 А1 + Х20 А2 + … + Хк0 Ак + … + 0×Ак+1 + … + 0×АN. Перейдя к координатам, получим:

Решение матрицы система уравнений ранг(28)

Отсюда следует, что (Х10, х20, … , хк0, 0,… ,0) – решение системы (25), т. е. эта система совместна.

Из теоремы Кронекера – Капелли следуют правила решения системы линейных уравнений.

Для решения системы линейных уравнений достаточно

1. Найти ранги основной и расширенной матриц ( А и А1 ). Если rang A ¹ rang A1, То система не имеет решения.

2. Если rang A = rang A1 = К, то для решения достаточно оставить К Уравнений, коэффициенты которых стоят на тех строчках матрицы А, На которых стоит базисный минор, и в этих уравнениях оставить в их левых частях те неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор. Остальные неизвестные нужно перенести в правые части уравнений. Они могут принимать все возможные значения из поля Р. Эти неизвестные называются Свободными. (Не нарушая общности, можно считать, что оставлены первые К уравнений и первые К неизвестных, система (29)).

Решение матрицы система уравнений ранг(29)

Определитель левой части системы (29) отличен от нуля, число уравнений равно числу неизвестных, поэтому (по теореме Крамера) эта система при всевозможных Хк+1, … , хN имеет единственное решение.

💡 Видео

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Теорема Кронекера-КапеллиСкачать

Теорема Кронекера-Капелли

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Как найти ранг матрицы (пример) - bezbotvyСкачать

Как найти ранг матрицы (пример) - bezbotvy

ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

ФСР.  Система однородных уравнений.  Общее решение

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Линейная алгебра, 6 урок, Ранг матрицыСкачать

Линейная алгебра, 6 урок, Ранг матрицы

Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математика

Найти ранг матрицы при всех значениях параметраСкачать

Найти ранг матрицы при всех значениях параметра

Системы линейных уравнений: Теорема Кронекера-КапеллиСкачать

Системы линейных уравнений: Теорема Кронекера-Капелли
Поделиться или сохранить к себе: