Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Решение матричных уравнений

Финальная глава саги.

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.

Краткое содержание прошлых частей:

  • Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
  • Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
  • Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
  • Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
  • Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
  • Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Видео:Решите уравнение ➜ Определитель третьего порядка равен нулюСкачать

Решите уравнение ➜ Определитель третьего порядка равен нулю

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Шаг 1. Упрощаем уравнение

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Решение матричных уравнений если определитель равен нулюПриводим матричное уравнение к упрощённому виду

Видео:Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений

Шаг 2. Вводим единичную матрицу

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.

Вот такое, только в мире матриц.

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:

А -1 × А × Х = А -1 × В

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:

А -1 × А = E — единичная матрица

E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А -1 × В — новая запись уравнения

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.

Видео:§28 Матричные уравненияСкачать

§28 Матричные уравнения

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:

  1. Делим единицу на определитель матрицы A.
  2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
  3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Решение матричных уравнений если определитель равен нулюТретье действие: получаем обратную матрицу

Видео:Матричные уравнения Полный разбор трех типов матричных уравненийСкачать

Матричные уравнения Полный разбор трех типов матричных уравнений

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Решение матричных уравнений если определитель равен нулюРешаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Видео:Лекция 8. Решение матричных уравненийСкачать

Лекция 8. Решение матричных уравнений

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Решение матричных уравнений если определитель равен нулюПроверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Видео:Обратная матрица. Решение матричных уравненийСкачать

Обратная матрица.  Решение матричных уравнений

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Видео:5 способов вычисления определителя ★ Какой способ лучше?Скачать

5 способов вычисления определителя ★ Какой способ лучше?

Матричные уравнения

Рассмотрим матричное уравнение вида

где и — данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица квадратная. Требуется найти матрицу , удовлетворяющую уравнению (4.5).

Теорема 4.2 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.5). Если определитель матрицы отличен от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет единственное решение .

В самом деле, подставляя в левую часть равенства (4.5), получаем , т.е. правую часть этого равенства.

Заметим, что решением матричного уравнения служит обратная матрица .

Рассмотрим также матричное уравнение вида

где и — данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица квадратная. Требуется найти матрицу , удовлетворяющую уравнению (4.6).

Теорема 4.3 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.6). Если определитель матрицы отличен от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное решение .

Заметим, что матрица является как бы «левым» частным от «деления» матрицы на матрицу , поскольку матрица в (4.5) умножается на слева, а матрица — «правым» частным, так как матрица в (4.6) умножается на справа.

Пример 4.5. Даны матрицы

Решить уравнения: а) ; б) ; в) .

Решение. Обратная матрица была найдена в примере 4.2.

а) Решение уравнения находим, умножая обе его части слева на

б) Уравнение не имеет решений, так как матрицы и имеют разное количество столбцов .

в) Решение уравнения находим, умножая обе его части справа на

Пример 4.6. Решить уравнение: , где .

Решение. Преобразуя левую часть уравнения:

Следовательно, . Обратная матрица найдена в примере 4.2:

Пример 4.7. Решить уравнение , где

Решение. Обратные матрицы

были найдены в примерах 4.2, 4.3 соответственно. Решение уравнения находим по формуле

Пример 4.8. Решить уравнение , где

Решение. Определитель матрицы равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Поэтому нельзя использовать формулу . Будем искать элементы матрицы . Подставляя в уравнение, получаем

Находим произведение, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц в левой и правой частях уравнения:

Здесь, учитывая пропорциональность уравнений, в системе оставлены только два уравнения из четырех. Выразим неизвестные и

Следовательно, решение матричного уравнения имеет вид

Видео:§11 Свойства определителейСкачать

§11 Свойства определителей

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Видео:§29 Решение матричного уравненияСкачать

§29 Решение матричного уравнения

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на Решение матричных уравнений если определитель равен нулюдля этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную: Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Второй столбец умножим на Решение матричных уравнений если определитель равен нулютретий столбец — на Решение матричных уравнений если определитель равен нулю-ый столбец — на Решение матричных уравнений если определитель равен нулюи все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение Решение матричных уравнений если определитель равен нулюне изменится:

Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е. Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Определение: Определитель Решение матричных уравнений если определитель равен нулюназывается первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ: Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Решение матричных уравнений если определитель равен нулюПроанализируем полученные формулы:

  • если главный определитель системы отличен от нуля (Решение матричных уравнений если определитель равен нулю), то система имеет единственное решение;
  • если главный определитель системы равен нулю (Решение матричных уравнений если определитель равен нулю), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( Решение матричных уравнений если определитель равен нулюили Решение матричных уравнений если определитель равен нулю, или, . или Решение матричных уравнений если определитель равен нулю), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
  • если все определители системы равны нулю (Решение матричных уравнений если определитель равен нулю), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке) Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Воспользуемся формулами Крамера

Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Решение матричных уравнений если определитель равен нулюОтсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных Решение матричных уравнений если определитель равен нулюматpицы-столбцы неизвестных Решение матричных уравнений если определитель равен нулюи свободных коэффициентов Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Решение матричных уравнений если определитель равен нулюМатричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу Решение матричных уравнений если определитель равен нулюк матрице А, получим Решение матричных уравнений если определитель равен нулюв силу того, что произведение Решение матричных уравнений если определитель равен нулюнайдем Решение матричных уравнений если определитель равен нулюТаким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу Решение матричных уравнений если определитель равен нулю после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Найдем матрицу Решение матричных уравнений если определитель равен нулю(см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Решение матричных уравнений если определитель равен нулю Решение матричных уравнений если определитель равен нулюЗапишем обратную матрицу Решение матричных уравнений если определитель равен нулю(в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид: Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Решение матричных уравнений если определитель равен нулюПриведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Решение матричных уравнений если определитель равен нулюРазделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Решение матричных уравнений если определитель равен нулюРазделим все элементы третьей строки на (-3), получим Решение матричных уравнений если определитель равен нулюТаким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы Решение матричных уравнений если определитель равен нулюназывается наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если Решение матричных уравнений если определитель равен нулюто среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы Решение матричных уравнений если определитель равен нулю

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, Решение матричных уравнений если определитель равен нулюсреди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Решение матричных уравнений если определитель равен нулюОчевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство Решение матричных уравнений если определитель равен нулюдля определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • Преобразования декартовой системы координат
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Критерий совместности Кронекера-Капелли
  • Формулы Крамера
  • Матричный метод
  • Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎥 Видео

Линейная алгебра, 4 урок, Свойства определителейСкачать

Линейная алгебра, 4 урок, Свойства определителей

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

Матричное уравнениеСкачать

Матричное уравнение

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математика

Свойства определителя - bezbotvyСкачать

Свойства определителя - bezbotvy

Вычислить определитель путём накопления нулей в строке или столбцеСкачать

Вычислить определитель путём накопления нулей в строке или столбце

Обратная матрицаСкачать

Обратная матрица

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.
Поделиться или сохранить к себе: