Решение логарифмических уравнений с параметром (6 видео)

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Содержание

Показательные уравнения c параметром
Логарифмические уравнения с параметром
Методическая разработка для учащихся 11-го класса «Решение логарифмических уравнений с параметром»
Логарифмические уравнения, неравенства и системы с параметром
п.1. Примеры
📽️ Видео

Видео:№18. Логарифмическое уравнение с ПАРАМЕТРОМ (профильный ЕГЭ)Скачать

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене (t=a^x), новая переменная (t) всегда положительна.

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение ((a+1)(4^x+4^)=5) имеет единственное решение.

Заметим, что (a+1 > 0), так как (4^x+4^ > 0). Сделаем замену (t=4^x); (t > 0) $$ (a+1)(t+frac)=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $$_=frac<5±sqrt> .$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±frac$$ (a=-3.5 -) не подходит;
(a=1.5;)

Видео:Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Решите уравнение (log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2) для каждого (a).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

При условии, что (1-4a≥0 ⇔ 0 0).

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=frac-frac<sqrt>$$ не подходит, так как ( x>0.)

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение (log_4 (16^x+a)=x) имеет два действительных и различных корня.

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

Сделаем замену: (t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни (0 0, \D≥0, \D>0, \ _>0; end $$ $$ begin a>0, \1-4a>0, \ 1/2>0; end $$ $$ begin a>0, \a

Видео:Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать

Методическая разработка для учащихся 11-го класса «Решение логарифмических уравнений с параметром»

Разделы: Математика

Ученик проходит в несколько лет
дорогу, на которую человечество
употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели
не с завязанными глазами, а
зрячим: он должен воспринимать
истину, не как готовый результат,
а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой
экспедицией открытий, следовательно,
также присутствовать не только в качестве простого зрителя.
Но ученик должен напрягать свои силы; ему ничто не должно
доставаться даром. Даётся только тому, кто стремится.

Кто любит учиться, никогда
не проводит время в праздности.

Гений состоит из одного процента вдохновения и девяноста девяти процентов потения.

Данная методическая разработка «Решение логарифмических уравнений с параметрами» предназначена для учащихся 11 классов, желающих углубить и расширить свои знания по математике, готовящихся к поступлению в высшие учебные заведения, понимающих, что математику надо учить потому, что она ум в порядок приводит и без неё невозможно стать специалистом в любой отрасли знаний, невозможно стать профессиональным специалистом.
В структуре методической разработки рассматриваются три типа решения логарифмических уравнений с параметрами:

Уравнения, содержащие параметры в логарифмируемом выражении.
Уравнения, содержащие параметры в основании.
Уравнения, содержащие параметры и в основании, и в логарифмируемом выражении.

К сожалению, изучению этих трёх типов решения логарифмических уравнений с параметрами в программе общеобразовательной школы уделяется незаслуженно мало внимания. А подобные уравнения входят в сложную группу заданий, предлагаемых в рамках ЕГЭ, для решения которых необходима хорошая теоретическая подготовка учащихся и уверенное владение технологиями решения математических задач. Выпускник должен не только знать обязательные этапы решения логарифмических уравнений с параметрами, но и хорошо понимать их смысл и назначение, так как многие учащиеся понимают параметр, как «обычное число». Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной. В других задачах параметром бывает удобно объявить одну из неизвестных.
На вступительных экзаменах в высшие учебные заведения в виде ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.
Основная цель данной методической разработки: научить учащихся решать нестандартные логарифмические уравнения с параметром, показать разные методы их решений, сделать использование этих методов глубоко осмысленными.
Предлагаемые в этой методической разработке методы решения уравнений не сказочный ключ к решению любой задачи. Но они направляют мысль, сокращают время поиска, формируют навыки решения. Все предлагаемые уравнения снабжены подробными решениями. Показано решение 18 уравнений. Но чтобы получить ощутимую пользу от знакомства с готовым решением, необходимо, уловив новую идею, удержаться и не читать дальше, и попробовать затем решать самостоятельно.

При решении логарифмических уравнений с параметрами необходимо придерживаться следующей схемы:

1. Найти область допустимых значений.
2. Решить уравнение (чаще всего выразить х через а).
3. Сделать перебор параметра а с учетом ОДЗ.
4. Проверить, удовлетворяют ли найденные корни уравнения условиям ОДЗ.
5. Записать ответ.

Видео:Решение логарифмических уравнений с параметромСкачать

Логарифмические уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) ( lg 2x+lg(2-x)=lglg a )
ОДЗ: ( begin 2xgt 0\ 2-xgt 0\ xgt 0\ lg agt 0 end Rightarrow begin xgt 0\ xlt 2\ agt 0\ agt 1 end Rightarrow begin 0lt xlt 2\ agt 1 end )
(lgleft(2xcdot(2-x)right)=lglg aRightarrow 2xcdot(2-x)=lg aRightarrow 2x^2-4x+lg a=0 |: 2)
(x^2-2x+frac12lg a=0)
Решаем квадратное уравнение. Исследуем дискриминант:
(D=(-2)^2-4cdotfrac=4-2lg a)
(Dlt 0) при (4-2lg alt 0Rightarrow lg agt 2Rightarrow agt 100) — решений нет
(D=0) при (a=100, x=1) — одно решение
(Dgt 0) при (alt 100) (учитывая ОДЗ, (1lt alt 100))
(x_=frac<2pmsqrt>=1pmsqrt<1-frac>)
Т.к. (sqrt<1-frac>lt 1) требование (0lt x_lt 2) выполняется.

Ответ:
При (aleq 1cup agt 100) решений нет, (xinvarnothing)
При (a=100) один корень (x=1)
При (1lt alt 100) два корня (x_=1pmsqrt<1-frac>)

б) ( x^=a^2 x )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ agt 0\ ane 1 end )
Замена: (t=log_a xRightarrow x=a^t.) Подставляем: begin (a^t)^t=a^2cdot a^tRightarrow a^=a^Rightarrow\ Rightarrow t^2=2+tRightarrow t^2-t-2=0Rightarrow (t+1)(t-2)=0Rightarrow left[ begin t_1=-1\ t_2=2 end right. end Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin log_a x=-1\ log_a x=2 end right. Rightarrow left[ begin x_1=a^=frac1a\ x_2=a^2 end right. end Ответ:
При (0lt alt 1cup agt 1) два корня (x_1=frac1a, x_2=a^2)
При (alt 0cup a=1) решений нет.

в) ( 2-log_(1+x)=3log_asqrt-log_(x^2-1)^2 )
ОДЗ: ( begin 1+xgt 0\ x-1gt 0\ xne pm 1\ agt 0, ane 1 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt 1\ xne pm 1\ agt 0, ane 1 end Rightarrow begin xgt 1\ agt 0, ane 1 end )
Приведем к одному основанию: (log_asqrt=log_(x-1))
begin 2-log_(1+x)=3log_(x-1)-log_(x^2-1)^2\ log_a^4-log_(1+x)=log_(x-1)^3-log_(x^2-1)^2\ log_frac =log_frac\ frac =fracRightarrow frac =fracRightarrow a^4=frac end Т.к. (xgt 1) все скобки можно сократить. $$ a^4(x+1)=x-1Rightarrow x(a^4-1)=-a^4-1Rightarrow x=frac $$ Проверим требование (xgt 1): begin fracgt 1Rightarrow fracgt 0 Rightarrow fracgt 0Rightarrow\ Rightarrow 1-a^4gt 0Rightarrow a^4lt 1Rightarrow |a|lt 1Rightarrow -1lt alt 1 end Учитывая, что (agt 0), получаем (0lt alt 1).
Ответ:
При (0lt 1lt 1) один корень (x=frac)
При (aleq 0cup ageq 1) решений нет.