- Решение систем уравнений в MathCad
- Использование метода Given — Find:
- Использование метода Solve:
- Решение линейных уравнений в mathcad
- Решение линейных уравнений в mathcad
- 5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
- 5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и граничные задачи).
- 5.3 Задание.
- 5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
- Линейные алгебраические уравнения.
- Квадратные уравнения и алгебраические уравнения высших порядков.
- Иррациональное уравнения (уравнения с радикалами).
- 📺 Видео
Видео:Решение систем линейных уравнений в MathCAD 14 (31/34)Скачать
Решение систем уравнений в MathCad
Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами. Эти способы были частично рассмотрены в разделе «Решение уравнений»:
Видео:Решение СЛАУ в пакете MathCadСкачать
Использование метода Given — Find:
В рабочем поле mathcad записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения системы уравнений численными методами.
Затем указывается начальное приближение для искомых переменных. Это нужно для увеличения скорости и точности решения системы. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю для всех переменных, при этом, если окажется, что система имеет несколько решений, то есть риск не определить все корни. Поэтому лучше всегда задавать приближение
Рис. 1. Ввод исходных данных в поле mathcad
Далее вводятся уравнения. Их можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа «ровно». На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)
Рис. 2. Панели Boolean и Calculator
Когда уравнения записаны вводится функция Find(x, y, z. ) (где х, y, z. — переменные). Это функция, которая возвращает результат решения системы. Значение функции Find() можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа «:=» и использовать ее далее в расчетах (см. рис. 3). При решении систем уравнений в mathcad результатом всегда будет являтся матрица значений
Рис. 3. Ввод функции Find()
Для того чтобы увидеть результат решения системы уравнений, после Find(x, y, z. ) следует поставить символ «→» либо «=» из панели Evaluation (см. рис. 4).
Рис. 4. Панель «Evaluation»
В зависимости от сложности системы через определенное время MathCad выведет результат. На рис. 5 можно рассмотреть синтаксис и результат решения системы уравнений. Обратите внимание, что можно присваивать результат решения системы матричной переменной и можно работать с отдельными ее элементами
Рис. 5. Результат численного решения системы уравнений
Mathcad позволяет решать системы уравний в символьном виде. Обычно это полезно, когда требуется получить не точное значение переменных, а их выражения через константы. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, y и z, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 6). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ «→» для вывода результата. Как правило, символьное решение получается громоздким, поэтому не всегда рекомендуется использовать этот метод
Рис. 6. Результат символьного решения системы уравнений
Видео:8. MathCad. Решение систем линейных алгебраических уравненийСкачать
Использование метода Solve:
Как показывает практика, методом solve иногда удается решить системы уравнений, которые не поддаются решению с помощью функции Find()
Синтаксис следующий: на панели matrix нажимаем иконку Matrix or Vector и в появившемся окне указываем количество уравнений входящих в систему. В нашем примере их будет три (см. рис. 7)
Рис. 7. Создание матрицы для метода SOLVE
Заполняем систему, вводя последовательно все уравнения используя логический символ «ровно» из панели Boolean. Каждый элемент матрицы-столбца содержит одно уравнение (см. рис. 8)
Рис. 8. Ввод системы уравнений для метода SOLVE
Когда все уравнения введены, убедитесь, что курсор ввода находится в вашей матрице и затем нажмите кнопку «solve» из панели Symbolic. Появится служебное слово (функция) solve. Далее поставте запятую и введите последовательно все переменные, относительно которых необходимо решить систему уравнений (см. рис. 9)
Рис. 9. Синтаксис метода SOLVE для решения систем
Уведите курсор в свободное поле mathcad и дождитесь окончания решения системы. Обратите внимание, что мы не вводили начальные приближения. Даный метод их назначает автоматически. Обратите так же внимание, что для решения системы в символьном виде синтаксис аналогичен (см. рис. 10)
Рис. 10. Синтаксис метода SOLVE для решения систем
Как показывает моя инженерная практика, решение систем в символьном виде сопряжено с большими вычислительными трудностями. То есть иногда решение системы занимает массу времени, и в итоге mathcad выдает выражение для одной переменной непомерной длины, которое нельзя использовать. Поэтому рекомендуется прменять эту возможность лишь в крайних случаях и по возможности «помогать» mathcad, заменяя константы известными числовыми значениями
Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.
Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.
Видео:4 Метод простой итерации Mathcad Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать
Решение линейных уравнений в mathcad
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
4 Решение уравнений и систем средствами Mathcad
Система Mathcad обладает широкими возможностями численного решения уравнений и систем уравнений.
Функция root, блоки Given…Find, Given…Minerr
В ходе численного решения обычно выделяют два этапа:
- отделение корней – определение интервала нахождения каждого корня или определение приблизительного значения корня. В системе Mathcad наиболее наглядным будет отделение корней уравнения графическим способом;
- уточнение корней – нахождение численного значения корня с указанной точностью.
Точность нахождения корня устанавливается с помощью системной переменной TOL (Convergence Tolerance – Допуск сходимости), которая по умолчанию равна 10 -3 . Чем меньше значение TOL, тем точнее, вообще говоря, находится корень уравнения. Однако оптимальным является TOL = 10 -5 . Переопределить значение TOL можно в окне математических свойств документа Math Options на вкладке Build-In Variables (Встроенные переменные) или присваиванием, например, TOL:=0.0001.
Для решения одного уравнения с одной неизвестной предназначена встроенная функция root, которая в общем виде задается
root(f(x), x, [a, b])
и возвращает значение переменной x, при котором функция f(x) обращается в ноль. Аргументы функции root:
- f(x) – функция левой части уравнения f(x) = 0;
- x – переменная, относительно которой требуется решить уравнение;
- a, b (необязательные) – действительные числа, такие что a -1 слева: A -1 Ax=A -1 b. Учитывая, что A -1 A, вектор-столбец решений системы можно искать в виде
Этот прием используется в Mathcad так:
- задается матрица коэффициентов при неизвестных системы A;
- задается столбец свободных членов b;
- вводится формула для нахождения решения системы X:=A -1 b;
- выводится вектор решений системы X=.
Кроме того, пакет Mathcad имеет встроенную функцию
lsolve(A, b),
возвращающую вектор-столбец решений системы линейных алгебраических уравнений. Аргументами функции lsolve являются матрица коэффициентов при неизвестных системы и столбец свободных членов. Порядок решения аналогичен рассмотренному, но вместо формулы X:=A -1 b используется X:=lsolve(A, b).
Реализовать широко известный метод Гаусса решения систем линейных уравнений позволяет встроенная функция rref(M), возвращающая ступенчатый вид матрицы M. Если в качестве аргумента взять расширенную матрицу системы, то в результате применения rref получится матрица, на диагонали которой – единицы, а последний столбец представляет собой столбец решений системы.
Решение системы линейных уравнений можно осуществить с помощью блоков Given…Find, Given…Minerr. При этом неизвестным системы задается произвольное начальное приближение, а проверка необязательна.
Порядок выполнения лабораторной работы
- Загрузить Mathcad Start / All Programs / Mathsoft Apps / Mathcad (Пуск / Все программы / Mathsoft Apps / Mathcad).
- Сохранить в личной папке на диске z: новый документ с именем ФИО1, лучше использовать латинские буквы. Производить сохранение регулярно в процессе работы (Ctrl + S).
- Вставить текстовую область Insert / Text Region (Вставка / Область текста) и ввести в поле документа текст:
Лабораторная работа № 4
Решение уравнений и систем в Mathcad.
- В новой текстовой области ввести фамилию, имя, отчество, учебный шифр и номер варианта.
- Выполнить задание 1.
Задание 1. Решить уравнение 
.
Решение.
Решение данного уравнения будем проводить в два этапа: отделение корней уравнения графически, уточнение корней уравнения.
Определим функцию f(x), равную левой части данного уравнения, когда правая равна нулю:
Зададим ранжированную переменную x на некотором диапазоне с мелким шагом, например:
Вставим в документ графическую область. Для этого выберем дважды пиктограмму с изображением графика 
сначала на панели Math (Математика), затем на палитре графиков Graph или выполним из главного меню последовательность команд Insert / Graph / X-Y Plot (Вставка / График / X-Y Зависимость).
Снизу по оси абсцисс наберем x, а сбоку по оси ординат введем f(x).
Для появления графика щелкнем левой клавишей мыши вне графической области.
Отформатируем график функции f(x). Для этого щелкнем правой клавишей мыши в области графика и выберем в контекстном меню команду Format (Формат). Установим пересечение осей графика (Crossed – Только оси), добавим вспомогательные линии по координатным осям (Grid Lines – Вспомогательные линии). Отменим при этом автосетку (Autogrid – Автосетка) и установим количество линий сетки, равное 10.
Для подтверждения внесенных изменений нажмем последовательно кнопки Apply (Применить) и ОК.
После указанных преобразований график функции f(x) будет выглядеть следующим образом:
Из графика функции f(x) видно, что уравнение имеет три корня, которые приблизительно равны: x1 ≈ -1; x2 ≈ 1; x3 ≈ 2,5.
Этап отделения корней завершен.
Уточним теперь корни уравнения с помощью функции root.
Присвоим начальное приближение переменной x и укажем точность поиска корня:
Уточним заданное приближение к значению корня с помощью функции root:
Выполним проверку, подтверждающую, что первый корень найден с заявленной точностью:
Начальное приближение можно не задавать при использовании в качестве аргументов root границ отрезка нахождения корня, например, второй корень можно уточнить:
Задание 2. Решить уравнение 
.
Решение.
Напечатаем левую часть уравнения, не приравнивая выражение к 0, и выделим синим курсором переменную x:
Выберем из главного меню Symbolics / Polynomial Coefficients (Символика / Коэффициенты полинома). Появившийся вектор коэффициентов полинома выделим целиком синим курсором и вырежем в буфер обмена, используя кнопку Вырезать 
на панели инструментов Formatting (Форматирование) или комбинацию клавиш Ctrl + X.
Напечатаем v := и вставим вектор из буфера обмена, используя кнопку Вставить 
на панели инструментов или комбинацию клавиш Ctrl + V.
Для получения результата напечатаем polyroots(v) =:
Задание 3. Решить систему линейных уравнений 
Сделать проверку.
Решение.
1-й способ. Использование блока Given … Find.
Зададим всем неизвестным, входящим в систему уравнений, произвольные начальные приближения, например:
Напечатаем слово Given. Установим визир ниже и наберем уравнения системы, каждое в своем блоке. Используем при этом логический знак равенства (Ctrl + =).
После ввода уравнений системы напечатаем X := Find(x, y, z) и получим решение системы в виде вектора, состоящего из трех элементов:
Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных в уравнения системы, например, следующим образом
После набора знака «=» в каждой строке должен быть получен результат, равный или приблизительно равный правой части системы. В данном примере системная переменная ORIGIN = 1.
2-й способ. Использование блока Given…Minerr.
Порядок решения системы этим способом аналогичен порядку использования блока Given … Find и представлен ниже вместе с проверкой:
3-й способ. Решение системы линейных уравнений матричным способом.
Создадим матрицу А, состоящую из коэффициентов при неизвестных системы. Для этого напечатаем A := , вызовем окно создания массивов (Ctrl + M). Число строк (Rows) и столбцов (Columns) матрицы данной системы равно 3. Заполним пустые места шаблона матрицы коэффициентами при неизвестных системы, как показано ниже:
Зададим вектор b свободных членов системы. Сначала напечатаем b :=, затем вставим шаблон матрицы(Ctrl + M), где количество строк (Rows) равно 3, а количество столбцов (Columns) равно 1. Заполним его:
Решим систему матричным способом по формуле
Решим систему с помощью функции lsolve:
Для проверки правильности решения системы, полученного матричным способом, достаточно вычислить произведение A·X, которое должно совпасть с вектором-столбцом свободных членов b:
Видео:Средство для решения систем уравнений в MathCAD 14 (29/34)Скачать
Решение линейных уравнений в mathcad
Электронный курс по MathCAD
Лекция 5.
Решение уравнений и систем.
5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и граничные задачи).
5.3 Задание.
5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
Линейные алгебраические уравнения.
Определение: Уравнение вида ax+b=0 с заданным базовым множеством Gx, a из Ga , b из Gb называется линейным уравнением.
Этапы решения при помощи Mathcad:
- Ввести уравнение (знак «=» вводится при помощи комбинации [Ctrl++]).
- Выделить курсором переменную, относительно которой должно быть решено уравнение.
- Выбрать команду Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы).
При решении линейных уравнений (без параметров) или дробных уравнений, которые сводятся к линейным, MathCAD находит все существующие решения. Однако при этом следует правильно интерпретировать сообщения, выдаваемые системой.
Нормальный случай.
 |
 |
  |
Дробные уравнения
 |
 |  |
 |
 |
 |
  |
  |
 |
