Решение линейных уравнений на python

Решение линейного уравнения в python

Видео:Использование библиотеки SymPy для работы с системами уравнений в PythonСкачать

Использование библиотеки SymPy для работы с системами уравнений в Python

Решение линейного уравнения в Python

В данной статье мы разберем программу на python для решения линейного уравнения Программа решает уравнение вида ax = b. Коэффициенты a и b задаются пользователем с клавиатуры. Программа находит решение и выводит его на экран. Если решений бесконечное количество или их нет, то программа оповещает об этом.
Все возможные решения линейного уравнения можно описать так
Если a = 0 и b = 0, то решений бесконечное количество.
Если a = 0 и b ≠ 0, то решений нет.
Если a ≠ 0, то единственное решение будет равно b / a.
Для задания коэффициентов с клавиатуры в Python используется функция ввода вещественного числа float(input()). Подробно о вводе информации с клавиатуры в python
a = float(input(«Введите коэффициент a «))
b = float(input(«Введите коэффициент b «))
В Python, чтобы проверить равенство двух объектов, используется ==, для проверки неравенства объектов используется !=. Для проверки двух условий одновременно используется оператор and. Подробно об условиях в python

Программа на Python для решения линейного уравнения
a = float(input(«Введите коэффициент a «))
b = float(input(«Введите коэффициент b «))
if (a == 0 and b == 0):
print(«Бесконечное количество решений.»)
if (a == 0 and b != 0):
print(«Решений нет.»)
if (a != 0):
print(b/a))

Полезно почитать по теме условия в Python примеры
Пример анкеты, опроса на Python

Видео:СЛАУ в PythonСкачать

СЛАУ в Python

Решение систем линейных уравнений с помощью Python’s Numpy

Два или более линейных уравнения с одинаковым набором переменных называются системой линейных уравнений. Мы можем решить эти переменные в Python с помощью Numpy.

  • Автор записи

Автор: Guest Contributor
Дата записи

Библиотека Numpy может использоваться для выполнения различных математических/научных операций, таких как матричные кросс-и точечные произведения, поиск значений синуса и косинуса, преобразование Фурье и манипулирование формой и т. Д. Слово Numpy-это сокращенное обозначение “Числового питона”.

В этой статье вы увидите, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy Python.

Что такое Система линейных уравнений?

В математике система линейных уравнений (или линейная система) представляет собой совокупность двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.

Конечная цель решения системы линейных уравнений – найти значения неизвестных переменных. Вот пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными переменными, x и y :

Чтобы решить приведенную выше систему линейных уравнений, нам нужно найти значения переменных x и y . Существует множество способов решения такой системы, таких как Исключение переменных, Правило Крамера, Метод сокращения строк и Матричное решение. В этой статье мы рассмотрим матричное решение.

В матричном решении система решаемых линейных уравнений представляется в виде матрицы AX . Например, мы можем представить Уравнение 1 в виде матрицы следующим образом:

Чтобы найти значение переменных x и y в Уравнение 1 , нам нужно найти значения в матрице X . Для этого мы можем взять точечное произведение обратной матрицы A и матрицы B , как показано ниже:

Если вы не знакомы с тем, как найти обратную матрицу, взгляните на эту ссылку, чтобы понять, как вручную найти обратную матрицу. Чтобы понять матричный точечный продукт, ознакомьтесь с этой статьей .

Решение системы линейных уравнений с Numpy

Из предыдущего раздела мы знаем, что для решения системы линейных уравнений необходимо выполнить две операции: инверсию матрицы и матричное точечное произведение. Библиотека Numpy из Python поддерживает обе эти операции. Если вы еще не установили библиотеку Numpy, вы можете сделать это с помощью следующей команды pip :

Теперь давайте посмотрим, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy.

Использование методов inv() и dot()

Во-первых, мы найдем обратную матрицу A , которую мы определили в предыдущем разделе.

Давайте сначала создадим матрицу A в Python. Для создания матрицы можно использовать метод array модуля Numpy. Матрицу можно рассматривать как список списков, где каждый список представляет собой строку.

В следующем скрипте мы создаем список с именем m_list , который далее содержит два списка: [4,3] и [-5,9] . Эти списки являются двумя строками в матрице A . Чтобы создать матрицу A с помощью Numpy, m_list передается методу array , как показано ниже:

Чтобы найти обратную матрицу, матрица передается в метод linalg.inv() модуля Numpy:

Следующий шаг-найти точечное произведение между обратной матрицей A и матрицей B . Важно отметить, что матричное точечное произведение возможно только между матрицами , если внутренние размеры матриц равны , то есть количество столбцов левой матрицы должно соответствовать количеству строк в правой матрице.

Для поиска точечного продукта с помощью библиотеки Numpy используется функция linalg.dot () . Следующий скрипт находит точечное произведение между обратной матрицей A и матрицей B , которая является решением уравнения 1 .

Вот, 2 и 4 являются ли соответствующие значения для неизвестных x и y in Уравнение 1 . Для проверки, если вы подключаете 2 на месте неизвестного x и 4 на месте неизвестного y в уравнении 4x + 3y вы увидите , что результат будет равен 20.

Давайте теперь решим систему из трех линейных уравнений, как показано ниже:

Приведенное выше уравнение можно решить с помощью библиотеки Numpy следующим образом:

В приведенном выше скрипте методы linalg.inv() и linalg.dot() соединены вместе. Переменная X содержит решение для уравнения 2 и печатается следующим образом:

Значение для неизвестных x , y и z равно 5, 3 и -2 соответственно. Вы можете подключить эти значения в Уравнение 2 и проверить их правильность.

Использование метода solve()

В предыдущих двух примерах мы использовали методы linalg.inv() и linalg.dot() для нахождения решения системы уравнений. Однако библиотека Numpy содержит метод linalg.dsolve () , который может быть использован для непосредственного нахождения решения системы линейных уравнений:

Вы можете видеть, что выход такой же, как и раньше.

Реальный Пример

Давайте посмотрим, как система линейных уравнений может быть использована для решения реальных задач.

Предположим, продавец фруктов продал 20 манго и 10 апельсинов за один день на общую сумму 350 долларов. На следующий день он продал 17 манго и 22 апельсина за 500 долларов. Если цены на фрукты оставались неизменными в оба дня, то какова была цена одного манго и одного апельсина?

Эта задача легко решается с помощью системы двух линейных уравнений.

Допустим, цена одного манго равна x , а цена одного апельсина равна y . Вышеприведенная проблема может быть преобразована следующим образом:

Решение приведенной выше системы уравнений показано здесь:

Результат показывает, что цена одного манго составляет 10 долларов, а цена одного апельсина-15 долларов.

Видео:Python для самых маленьких. Линейные уравнения. Решение задачСкачать

Python для самых маленьких. Линейные уравнения. Решение задач

Библиотека Sympy: символьные вычисления в Python

Что такое SymPy ? Это библиотека символьной математики языка Python. Она является реальной альтернативой таким математическим пакетам как Mathematica или Maple и обладает очень простым и легко расширяемым кодом. SymPy написана исключительно на языке Python и не требует никаких сторонних библиотек.

Документацию и исходный код этой библиотеки можно найти на ее официальной странице.

Видео:#5. Математические функции и работа с модулем math | Python для начинающихСкачать

#5. Математические функции и работа с модулем math | Python для начинающих

Первые шаги с SymPy

Используем SymPy как обычный калькулятор

В библиотеке SymPy есть три встроенных численных типа данных: Real , Rational и Integer . С Real и Integer все понятно, а класс Rational представляет рациональное число как пару чисел: числитель и знаменатель рациональной дроби. Таким образом, Rational(1, 2) представляет собой 1/2 , а, например, Rational(5, 2) — соответственно 5/2 .

Библиотека SymPy использует библиотеку mpmath , что позволяет производить вычисления с произвольной точностью. Таким образом, ряд констант (например, пи, e), которые в данной библиотеке рассматриваются как символы, могут быть вычислены с любой точностью.

Как можно заметить, функция evalf() дает на выходе число с плавающей точкой.

В SymPy есть также класс, представляющий такое понятие в математике, как бесконечность. Он обозначается следующим образом: oo .

Символы

В отличие от ряда других систем компьютерной алгебры, в SymPy можно в явном виде задавать символьные переменные. Это происходит следующим образом:

После их задания, с ними можно производить различные манипуляции.

С символами можно производить преобразования с использованием некоторых операторов языка Python. А именно, арифметических ( + , -` , «* , ** ) и логических ( & , | ,

Библиотека SymPy позволяет задавать форму вывода результатов на экран. Обычно мы используем формат такого вида:

Видео:Решения системы линейных уравнений на Python (Sympy).Скачать

Решения системы линейных уравнений на Python (Sympy).

Алгебраические преобразования

SymPy способна на сложные алгебраические преобразования. Здесь мы рассмотрим наиболее востребованные из них, а именно раскрытие скобок и упрощение выражений.

Раскрытие скобок

Чтобы раскрыть скобки в алгебраических выражениях, используйте следующий синтаксис:

При помощи ключевого слова можно добавить поддержку работы с комплексными переменными, а также раскрытие скобок в тригонометрических функциях.

Упрощение выражений

Если вы хотите привести выражение к более простому виду (возможно, сократить какие-то члены), то используйте функцию simplify .

Также надо сказать, что для определенных видов математических функций существуют альтернативные, более конкретные функции для упрощения выражений. Так, для упрощения степенных функций есть функция powsimp , для тригонометрических — trigsimp , а для логарифмических — logcombine , radsimp .

Видео:Как решить линейное и квадратное уравнение в Python?Скачать

Как решить линейное и квадратное уравнение в Python?

Вычисления

Вычисления пределов

Для вычисления пределов в SymPy предусмотрен очень простой синтаксис, а именно limit(function, variable, point) . Например, если вы хотите вычислить предел функции f(x) , где x -> 0 , то надо написать limit(f(x), x, 0) .

Также можно вычислять пределы, которые стремятся к бесконечности.

Дифференцирование

Для дифференцирования выражений в SymPy есть функция diff(func, var) . Ниже даны примеры ее работы.

Проверим результат последней функции при помощи определения производной через предел.

tan 2 (?)+1 Результат тот же.

Также при помощи этой же функции могут быть вычислены производные более высоких порядков. Синтаксис функции будет следующим: diff(func, var, n) . Ниже приведено несколько примеров.

Разложение в ряд

Для разложения выражения в ряд Тейлора используется следующий синтаксис: series(expr, var) .

Интегрирование

В SymPy реализована поддержка определенных и неопределенных интегралов при помощи функции integrate() . Интегрировать можно элементарные, трансцендентные и специальные функции. Интегрирование осуществляется с помощью расширенного алгоритма Риша-Нормана. Также используются различные эвристики и шаблоны. Вот примеры интегрирования элементарных функций:

Также несложно посчитать интеграл и от специальных функций. Возьмем, например, функцию Гаусса:

Результат вычисления можете посмотреть сами. Вот примеры вычисления определенных интегралов.

Также можно вычислять определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы).

Решение уравнений

При помощи SymPy можно решать алгебраические уравнения с одной или несколькими переменными. Для этого используется функция solveset() .

Как можно заметить, первое выражение функции solveset() приравнивается к 0 и решается относительно х . Также возможно решать некоторые уравнения с трансцендентными функциями.

Системы линейных уравнений

SymPy способна решать широкий класс полиномиальных уравнений. Также при помощи данной библиотеки можно решать и системы уравнений. При этом переменные, относительно которых должна быть разрешена система, передаются в виде кортежа во втором аргументе функции solve() , которая используется для таких задач.

Факторизация

Другим мощным методом исследования полиномиальных уравнений является факторизация многочленов (то есть представление многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней). Для этого в SymPy предусмотрена функция factor() , которая способна производить факторизацию очень широкого класса полиномов.

Булевы уравнения

Также в SymPy реализована возможность решения булевых уравнений, что по сути означает проверку булевого выражения на истинность. Для этого используется функция satisfiable() .

Данный результат говорит нам о том, что выражение (x & y) будет истинным тогда и только тогда, когда x и y истинны. Если выражение не может быть истинным ни при каких значениях переменных, то функция вернет результат False .

Видео:34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи PythonСкачать

34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи Python

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы в SymPy создаются как экземпляры класса Matrix :

В отличие от NumPy , мы можем использовать в матрицах символьные переменные:

И производить с ними разные манипуляции:

Дифференциальные уравнения

При помощи библиотеки SymPy можно решать некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого используется функция dsolve() . Для начала нам надо задать неопределенную функцию. Это можно сделать, передав параметр cls=Function в функцию symbols() .

Теперь f и g заданы как неопределенные функции. мы можем в этом убедиться, просто вызвав f(x) .

Теперь решим следующее дифференциальное уравнение:

Чтобы улучшить решаемость и помочь этой функции в поиске решения, можно передавать в нее определенные ключевые аргументы. Например, если мы видим, что это уравнение с разделяемыми переменными, то мы можем передать в функцию аргумент hint=’separable’ .

Решение линейных уравнений на python

Английский для программистов

Наш телеграм канал с тестами по английскому языку для программистов. Английский это часть карьеры программиста. Поэтому полезно заняться им уже сейчас

🌟 Видео

Решение n го нелинейных алгебраических уравнений в PythonСкачать

Решение n го нелинейных алгебраических  уравнений в Python

Решение 1 го нелинейного алгебраического уравнения в PythonСкачать

Решение 1 го нелинейного алгебраического уравнения в Python

Решение систем линейных матричных уравнений через формулы Крамера в PythonСкачать

Решение систем линейных матричных уравнений через формулы Крамера в Python

Программа, определяющая корни квадратного уравнения. Язык программирования Python.Скачать

Программа, определяющая корни квадратного уравнения. Язык программирования Python.

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Решение простых задач на python | Решить квадратное уравнениеСкачать

Решение простых задач на python |  Решить квадратное уравнение

СМОЖЕШЬ РЕШИТЬ ЭТУ ЗАДАЧУ В ОДНУ СТРОКУ НА PYTHON?Скачать

СМОЖЕШЬ РЕШИТЬ ЭТУ ЗАДАЧУ В ОДНУ СТРОКУ НА PYTHON?

#11. Произведение матриц и векторов, элементы линейной алгебры | NumPy урокиСкачать

#11. Произведение матриц и векторов, элементы линейной алгебры | NumPy уроки

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Решение задач на Python #1Скачать

Решение задач на Python #1

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Python. Линейный алгоритмСкачать

Python. Линейный алгоритм
Поделиться или сохранить к себе: