Решение линейных уравнений и таких которые сводятся к линейным (2 видео)

Решение линейных уравнений с одной переменной

В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.

Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.

Содержание

Что такое линейное уравнение
Принцип решения линейных уравнений
Примеры решения линейных уравнений
Решение простых линейных уравнений
Понятие уравнения
Какие бывают виды уравнений
Как решать простые уравнения
Примеры линейных уравнений
Методика введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным
🔥 Видео

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Что такое линейное уравнение

Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
a · x = b , где x – переменная, a и b – некоторые числа.

Такая формулировка использована в учебнике алгебры ( 7 класс) Ю.Н.Макарычева.

Примерами линейных уравнений будут:

3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );

− 3 , 1 · y = 0 (линейное уравнение с переменной y, где а = — 3 , 1 и b = 0 );

x = − 4 и − x = 5 , 37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и — 1 соответственно. Для первого уравнения b = — 4 ; для второго — b = 5 , 37 ) и т.п.

В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.

А вот учебник алгебры ( 7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a · x + b = 0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:

3 · x − 7 = 0 ( a = 3 , b = − 7 ) ;

1 , 8 · y + 7 , 9 = 0 ( a = 1 , 8 , b = 7 , 9 ) .

Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a · x = b , например, 6 · x = 35 .

Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a · x + b = 0 , где x – переменная; a , b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a · x + b = 0 , определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.

При таком подходе уравнение 5 · x + 8 = 0 – линейное, а 5 · x = − 8 — уравнение, сводящееся к линейному.

Видео:Решение уравнений, сводящихся к линейным | Алгебра 7 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Принцип решения линейных уравнений

Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.

Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b . Запишем эти условия:

при a ≠ 0 линейное уравнение имеет единственный корень x = — b a ;
при a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение не имеет корней;
при a = 0 и b = 0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.

Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:

перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Таким образом, преобразуем линейное уравнение a · x + b = 0 , перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a · x = − b .

Далее мы разделим обе части равенства на число а , при этом условившись, что это число отлично от нуля, иначе деление станет невозможным. Случай, когда а = 0 , рассмотрим позже.

Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x = — b a . Т.е., когда a ≠ 0 , исходное уравнение a · x + b = 0 равносильно равенству x = — b a , в котором очевиден корень — b a .

Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня — b a как x 1 . Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x 2 . И конечно: x 2 ≠ x 1 , а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x 1 − x 2 ≠ 0 . С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a · x 1 + b = 0 и a · x 2 + b = 0 .
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:

a · x 1 + b − ( a · x 2 + b ) = 0 − 0 , отсюда: a · ( x 1 − x 2 ) + ( b − b ) = 0 и далее a · ( x 1 − x 2 ) = 0 . Равенство a · ( x 1 − x 2 ) = 0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a ≠ 0 и x 1 − x 2 ≠ 0 . Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 имеет лишь один корень.

Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a = 0 .

Когда a = 0 линейное уравнение a · x + b = 0 запишется как 0 · x + b = 0 . Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x, подставив его в равенство 0 · x + b = 0 , получим b = 0 . Равенство справедливо при b = 0 ; в прочих случаях, когда b ≠ 0 , равенство становится неверным.

Таким образом, когда a = 0 и b = 0 , любое число может стать корнем линейного уравнения a · x + b = 0 , поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0 = 0 . Когда же a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b = 0 .

Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:

по виду записи определяем значения коэффициентов a и b и анализируем их;
при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
при a = 0 и b ≠ 0 заданное уравнение не будет иметь корней;
при a , отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:

перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a · x = − b ;
обе части полученного равенства делим на число a , что даст нам искомый корень заданного уравнения: x = — b a .

Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.

Напоследок уточним, что уравнения вида a · x = b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a ≠ 0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a .

Таким образом, чтобы найти решение уравнения a · x = b , используем такой алгоритм:

при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
при a = 0 и b ≠ 0 заданное уравнение не будет иметь корней;
при a , не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a , что дает возможность найти единственный корень, который равен b a .

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№43 - Решение линейных уравнений с одним неизвестным.)Скачать

Примеры решения линейных уравнений

Необходимо решить линейное уравнение 0 · x − 0 = 0 .

Решение

По записи заданного уравнения мы видим, что a = 0 и b = − 0 (или b = 0 , что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.

Ответ: x – любое число.

Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Видео:Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:

если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

если а = 0 — уравнение корней не имеет;

если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Видео:Алгебра 7 Линейное уравнение с одной переменнойСкачать

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12

-4x = 12 | : (-4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Алгоритм решения простого линейного уравнения

Раскрываем скобки, если они есть.
Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

Видео:Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным. Алгебра. 7 класс.Скачать

Методика введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным

Разделы: Математика

Изучение уравнений в среднем звене начинается с введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным.

Равенство двух функций, рассматриваемых в общей области определения, называется уравнением. Переменные, входящие в уравнение, обозначаются латинскими буквами x, y,z, t … Уравнение с одной переменной х в общем, виде записывается так f(x)= g(x).

Всякое значение переменной, при котором выражения f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.

Решить уравнение – это, значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Например, уравнение 3+x=7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной 3+x=7 верное равенство.

Уравнение (x-1)(x-2)=0 имеет 2 корня 1 и 2.

Уравнение x 2 +1=0 не имеет действительных корней, так как сумма двух положительных чисел не равняется 0.

Для того, чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать: во-первых, правила, формулы или алгоритмы решения уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

преобразования данного уравнения к простейшим;
решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Если вторая часть является алгоритмической, то первая часть — в значительной степени — эвристической, что и представляет наибольшую трудность для учащихся. В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, поэтому важно знать с помощью каких преобразований это возможно. Здесь необходимо в доступной для ребенка форме дать понятие равносильности.

Уравнения, имеющие одни и теже корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения x+2=5 и x+5=8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3.Равносильны и уравнения x 2 +1=0 и 2x 2 +5=0 — ни одно из них не имеет корней.

Уравнения х-5=1 и х 2 =36 не равносильны, так как первое имеет только один корень х=6, тогда как второе имеет два корня 6 и –6.

К равносильным преобразованиям относятся:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число или одно и тоже целое алгебраическое выражение, содержащее неизвестное, то новое уравнение будет равносильно данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению x 2 – 1 = 6x

3) Если в уравнении произвести раскрытие скобок и привести подобные слагаемые, то получится уравнения, равносильно данному.

Обучение решения уравнений начинается с простейших линейных уравнений и уравнений сводящихся к ним. Дается определение линейного уравнения и рассматриваются случаи, когда оно имеет одно решение; не имеет решений и имеет бесконечное множество решений.

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах = b, где а и b — действительные числа, а — называют коэффициентом при переменной, b — свободным членом.

Для линейного уравнения ах = b могут представиться при случае:

а 0, в этом случае корень уравнения равен b/a
а = 0; b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0х = b, что верно при любом х, т.е. корнем уравнения служит любое действительное число;
а = 0; b 0; в том случае уравнение принимает вид 0х = b, оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Так в 7 классе можно применить следующие уравнения:

Это уравнение сводиться к линейному уравнению.

Умножением обеих частей на 12 (наименьшее общее краткое знаменателей 3, 4, 6, 12), получим:

8 + 3x + 2 – 2x = 5x –12,

8 + 2 + 12 = 5x – 3x + 2x,

2) Покажем, что уравнение 2 (х + 1) – 1 = 3 — (1 — 2х) не имеет корней.

Упростим обе части уравнения:

2х + 2 – 1 = 3 – 1 + 2х,

Это уравнение не имеет корней, т.к. левая часть 0 х равна 0 при любом х, а значит не равна 1.

3) Покажем, что уравнение 3(1 – x) + 2 = 5 – 3x имеет бесконечное множество корней.

При прохождении темы “линейные уравнения с двумя переменными” можно предложить учащимся графический способ решения уравнения. Данный метод основан на пользовании графиков функций, входящих в уравнение. Суть метода: найти абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Основывается на выполнение следующих действий:

1) Преобразовать исходное уравнение к виду f(x) = g(x), где f(x) и g(x) функции, графики, которых можно построить.
2) Построить графики функций f(x) и g(x)
3) Определить точки пересечения построенных графиков.
4) Определить абсциссы найденных точек. Они и дадут множество решений исходного уравнения.
5) Записать ответ.

Преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет легко определить число корней уравнения. Недостаток в том, что корни в общем случае определяются приближенно.

Следующим этапом в изучении линейных уравнений, являются уравнения с модулями, причем некоторые решения выполняются несколькими способами.

Решение уравнений, содержащих знак модуля и уравнений с параметрами можно назвать деятельностью, близкой к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Особой интерес представляют уравнения, содержащие знак модуля.

По определению модуля числа a, имеем:

Число –a может быть отрицательным при a>0; -a положительным при a -1, тогда

Видим, что число 0 принадлежит промежутку. Значит, является корнем. Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и -4.

На простых примерах рассмотрим алгоритм решения уравнений с параметрами: область допустимых значений, область определения, общие решения, контрольные значения параметров, типы частных уравнений. Способы их нахождения будут устанавливаться в каждом виде уравнений отдельно.

На базе введенных понятий определим общую схему решения всякого уравнения F(a;x)=0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):

устанавливаются область допустимых значений параметра и область определения;
определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
находятся общие решения x=f₁ (a),…, f_k (a) уравнения F(a;x)=0 на соответствующих множествах А_f1,…, А_fk значений параметра;
составляется модель общих решений, контрольных значений параметра;
на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми общими решениями (области однотипности);
для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений
Особое место в алгебре отводится линейным уравнениям с параметрами.

Рассмотрим несколько примеров.

1.	2х – 3 = m+1,

2х – 3 = + 4 m + 1,где m – неизвестный параметр.

Умножим обе части уравнения на 3, получим6х – 9 = m•х + 12m +3,

6х — m•х + 12m + 12,Вынесем общий множитель за скобки, получимх•(6-m) = 12(m+1),

, 6 – m ? 0, m ? 6.так как стоит в знаменателе дроби.Ответ: , при m 6.

Уравнение 2х – 3 + m (х/3 + 4) + 1 имеет множество решений, заданных формулой при всех значениях m, кроме 6.

2. , при m 2, x 1, n 0.

mx – n = 2x – 2 + 2n + 3xn,

mx – 2x – 3xn = — 2 + 2n +n,

mx – 2x – 3xn = 3n – 2,

x (m – 2 – 3n) = 3n – 2, при m 2, x 1, n 0.

Рассмотрим случай, где a = 0, тогда

m = 3n +2, при n 0

n = .

m = 3 • + 2,

x(4 – 2 – 3 ) = 3 • — 2,

x – любое число, кроме x = 1.

б) 3n – 2 0

0 • x = b. В этом случае уравнение не имеет решений.

2) a 0

m – 2 – 3n 0

m 2 + 3n.

x = , при x ? 1,

3n – 2 m – 2 – 3n,

3n + 3n 2 – 2 + m,

6n m (n )

В этом случае уравнение решений не имеет.

Значит, при n = и m = 4, x – любое число, кроме 1; при n = 0, m = 6n

(n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 уравнение решений не имеет. Для всех остальных значения параметров x = .

Ответ: 1. n = , m = 4 – x ? R.

2. n = 0, m = 6n (n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 – решений нет.

3. n 0, m 6n, m 3n + 2, m 2 – x = .

В дальнейшем предлагается рассмотреть решение задач методом составления линейных уравнений. Это сложный процесс, где надо уметь думать, догадываться, хорошо знать фактически материал.

В процессе решения каждой задачи надо четко размечать четыре этапа:

изучение условия задачи;
поиск плана решения и его составление;
оформление найденного решения;
критический анализ результата решения.

Теперь рассмотрим задачи, при решении которых применяются линейные уравнения.

1. Сплав меди и цинка содержит меди на 640 г. Больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6/7 содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Какова была масса сплава первоначально?

Пусть в сплаве было х г. цинка, тогда меди (640 + х) г. после того, как выделили 6/7 меди и 60% цинка, осталось 1/7 меди и 40% цинка, т.е. 0,4 части. Зная, что масса сплава оказалась равной 200 г., составим уравнение.

1/7 (х + 640) + 0,4•х = 200,

х + 640 + 2,8•х =1400,

Значит, цинка было 200 г., а меди 840 г.

(200 + 640 = 840). 1) 200 + 840 = 1040 (г.) – масса сплава. Ответ: первоначальная масса сплава 1040 г.

2. Сколько литров 60% серной кислоты нужно прибавить к 10 л 30% кислоты, чтобы получить 40% раствор?

Пусть число литров 60% кислоты, которое прибавим х л, тогда раствора чистой кислоты будет л. А в 10 л 30% раствора чистой кислоты будет л. Зная, что в полученных (10 + х) смеси будет чистой кислоты л, составим уравнение.

+=,

60х + 300 = 40х + 400,

60х – 40х = 400 – 300,

Значит, нужно прибавить 5 л 60% кислоты.

При изучении темы “Решение линейных уравнений” рекомендуется некоторая историческая справка.

Задачи на решение уравнений первой степени встречаются еще в вавилонских клинописных текстах. В них же есть некоторые задачи, приводящие к квадратным и даже кубическим уравнениям (последние, по-видимому, решались с помощью подбора корней). Древнегреческие математики нашли геометрическую форму решения квадратного уравнения. В геометрической же форме арабский математик Омар Хайям (конец XI – начало XII века н. э.) исследовал кубическое уравнение, хотя и не нашел общей формулы для его решения. Решение кубического уравнения было найдено в начале XVI века в Италии. После того, как Сципиан дель Ферро решил один частный вид таких уравнений в 1535 году, итальянец Тарталья нашел общую формулу. Он доказал, что корни уравнения x 3 + px + q = 0 имеют вид x =.

Это выражение обычно называют формулой Кардано, по имени ученого, узнавшего ее от Тартальи и опубликовавшего в 1545 году в своей книге “Великое искусство алгебраических правил”. Ученик Кардано – молодой математик Феррари решил общее уравнение четвертой степени. После этого на протяжении двух с половиной столетий продолжались поиски формулы для решения уравнений пятой степени. В 1823 году замечательный норвежский математик Нильс Хендрик Абель (1802-1829) доказал, что такой формулы не существует. Точнее говоря, он доказал, что корни общего уравнения пятой степени нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действий и операций извлечения корня. Глубокое исследование вопроса об условиях разрешимости уравнений в радикалах провел французский математик Эварист Галуа (1811-1832), погибший на дуэли в возрасте 21 года. Некоторые проблемы теории Галуа решил советский алгебраист И.Т.Шафаревич.

Наряду с поисками формулы для решения уравнения пятой степени велись и другие исследования в области теории алгебраических уравнений. Виета установил связь между коэффициентами уравнений и его корнями. Он доказал, что если x₁,…,x_n – корни уравнения x n + a₁x n-1 +…+a_n=0, то имеют место формулы:

Литература: