Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом

примеры к данной теме

Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом

1. Метод решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами п -го порядка состоит в том, что, используя свойства линейности преобразования Лапласа, теорему единственности и теорему дифференцирования оригинала, от дифференциального уравнения переходим к алгебраическому уравнению относительно соответствующих изображений, которое называется операторным (операционным). Находя решение операторного уравнения, а затем его оригинал, тем самым находим решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения п -го порядка.

Таким образом, решение задачи Коши осуществляется по следующей схеме:

Для восстановления оригинала по его изображению могут быть использованы свойства преобразования Лапласа ( L -преобразования) и таблицы изображений.

Применение метода операционного исчисления к решению задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами проиллюстрированно на примере №32.

2. Применение формулы Дюамеля . При решении дифференциальных уравнений иногда удобно применять формулу Дюамеля (см. пример 29, п. 2).

Пусть требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение п -го порядка с постоянными коэффициентами.

,

при нулевых начальных условиях

,

где f ( t ) – оригинал.

(Заметим, что простой заменой искомой функции задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями.)

Рассмотрим вспомогательное линейное дифференциальное уравнение

при тех же нулевых начальных условиях.

Предположим, что известно решение этого дифференциального уравнения – , которое является оригиналом. Допустим, что искомое решение уравнения (1) – также является оригиналом.

Для изображения введенных нами оригиналов используем обозначения:

, , .

Применяя к левой и правой частям уравнений D(y)=f(t) и D(y)=1 преобразование Лапласа с учетом нулевых начальных условий, придем к операторным уравнениям

,

.

Разделив первое из этих уравнений на второе, получим соотношение

.

Применив интеграл Дюамеля и используя свойства свертки, получим искомое решение y ( t ) в виде

.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Применения операционного исчисления

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Решение задачи Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами

Пример 1.

Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin &x»’+2x»+5x’=0,\ &x(0)=-1, ,, x'(0)=2, ,, x»(0)=0. end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: begin &x(t) risingdotseq X(p),\ &x'(t) risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p)+1,\ &x»(t) risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p)+p-2,\ &x»'(t) risingdotseq p^3X(p)-p^2x(0)-px'(0)-x»(0)=p^3X(p)+p^2-2p-0. end Справа стоит $0$, изображение для него тоже $0$.

Запишем уравнение с изображениями (операторное уравнение). Оно уже будет алгебраическим, а не дифференциальным: begin p^3X(p)+p^2-2p+2(p^2X(p)+p-2)+5(pX(p)+1)=0. end И найдем из него неизвестное $X(p)$: begin X(p)=-frac

. end Используя теоремы, приемы, таблицы операционного исчисления получим оригинал: begin X(p) risingdotseq x(t)=-displaystylefrac15-displaystylefrac45 e^mbox,2t+displaystylefrac35e^mbox,2t. end

Пример 2.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin x»-2x’-3x=e^,\ x(0)=x'(0)=0. end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: begin &x(t) risingdotseq X(p),\ &x'(t) risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p),\ &x»(t) risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p), end Справа стоит $e^$, изображение равно $displaystylefrac$.

Запишем операторное уравнение: begin (p^2-2p-3)X(p)=frac. end Находим $X(p)$: begin X(p)=frac. end Используя, например, вторую теорему разложения, получим оригинал: begin X(p) risingdotseq displaystylefrac14,te^-displaystylefrac,e^+displaystylefrac,e^. end

Пример 3.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin x»+3x’=mbox,2t,\ x(0)=2, ,, x'(0)=0. end

Пример 4.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin x»+x’=e^t,\ x(1)=1, ,, x'(1)=2. end Так как начальные условия даны не при $t=0$, сразу применить теорему о дифференцировании оригинала мы не можем. Поставим вспомогательную задачу для функции $y(t)=x(t+1)$: begin y»+y’=e^,\ y(0)=1, ,, y'(0)=2. end Записываем операторное уравнение begin (p^2Y(p)-p-2)+(pY(p)-1)=displaystylefrac. end

Решаем полученное уравение: begin Y(p)=displaystylefrac+displaystylefrac

. end begin y(t)=displaystylefrac12e^+left(displaystylefrac-2right)e^+(3-e). end Со сдвигом на $1$ находим решение исходной задачи: begin x(t)=y(t-1)=displaystylefrac12e^+left(displaystylefrac-2right)e^+(3-e). end

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Решение задачи Коши для систем линейных ДУ

Пример 5.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. begin left < begin&x’ = 2x+8, \ &y’ = x+4y+1, \ &x(0)=1,, y(0)=0. \ end right. end

Запишем изображения: begin begin x(t) risingdotseq X(p), & x'(t) risingdotseq p,X(p)-1, \ y(t) risingdotseq Y(p), & y'(t) risingdotseq p,Y(p). end end begin 8 risingdotseq displaystylefrac

, ,, 1 risingdotseq displaystylefrac

. end

Операторная система уравнений принимает вид: begin left < beginpX(p)-1 &= 2X(p)+displaystylefrac

, \ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+displaystylefrac

.\ end right. end

Решаем систему, находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: begin X(p)=displaystylefrac

risingdotseq x(t)=-4+5e^. end begin Y(p)=displaystylefrac

risingdotseq y(t)=displaystylefrac34-displaystylefrac52,e^+displaystylefrac74,e^. end

Пример 6.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. begin left < begin&x’ = 2x+8y, \ &y’ = x+4y+1, \ &x(0)=1,, y(0)=0.\ end right. end

begin begin x(t) risingdotseq X(p), & x'(t) risingdotseq p,X(p)-1, \ y(t) risingdotseq Y(p), & y'(t) risingdotseq p,Y(p),\ 1 risingdotseq displaystylefrac

. &\ end end

Операторная система уравнений принимает вид: begin left < beginpX(p)-1 &= 2X(p)+8Y(p), \ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+displaystylefrac

.\ end right. end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: begin X(p)=displaystylefrac

risingdotseq x(t)=frac49-frac43,t+frac59,e^. end begin Y(p)=displaystylefrac

risingdotseq y(t)=-displaystylefrac+displaystylefrac13,t+displaystylefrac,e^. end

Пример 7.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. begin left < begin&x’-2x-4y = mbox, t, \ &y’+x+2y = mbox,t, \ &x(0)=0,, y(0)=0.\ end right. end

Операторная система уравнений принимает вид: begin left < begin(p-2)X(p)-4Y(p) &= frac

, \ X(p)+(p+2)Y(p) &= frac

.\ end right. end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: begin X(p)=displaystylefrac

+displaystylefrac

-displaystylefrac

risingdotseq x(t)=2+4t-2,mbox,t-3,mbox,t. end begin Y(p)=-displaystylefrac

+displaystylefrac

risingdotseq y(t)=-2t+2,mbox,t. end

Видео:15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Решение ОДУ с помощью интеграла Дюамеля

Введем обозначения:
Уравнение: $x^(t)+a_1,x^(t)+ldots+a_n,x(t)=f(t)$.
Начальные условия: $x(0)=x'(0)=ldots=x^=0$.
Неизвестная функция $x(t)$, имеющая изображение $X(p)$.
Сложная функция в правой части $f(t)$, имеющая изображение $F(p)$.

Запишем алгоритм решения.
1. Решается вспомогательное уравнение $$ y^(t)+a_1,y^(t)+ldots+a_n,y(t)=1.$$ С учетом начальных условий левая и правые части уравнений будут иметь изображения: begin begin y(t) & risingdotseq Y(p),\ y'(t) & risingdotseq p,Y(p),\ y»(t)& risingdotseq p^2Y(p),\ &cdots\ y^(t)& risingdotseq p^nY(p). end end Вспомогательное операторное уравнение запишем в виде: begin Y(p)cdot h(p) = frac

,\ h(p)=p^n+a_1p^+ldots+a_n. end $$Y(p) risingdotseq y(t).$$

2. Решается исходное уравнение. Левая часть уравнения совпадает с левой частью вспомогательного, поэтому операторное уравнение записывается так: $$ X(p)cdot h(p) = F(p),$$ при этом $h(p)$, используя решение вспомогательного уравнения, можно записать в виде begin h(p)=frac. end Тогда $$ X(p) = F(p),pY(p).$$ Для нахождения $x(t)$ необходимо найти оригинал для $pY(p)F(p)$, то есть вычислить интеграл из формулы Дюамеля: $$ p F(p) Y(p) risingdotseq y(0)cdot f(t)+intlimits_0^t f(tau),y'(t-tau),dtau,$$ где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения.

Пример 8.

Решить задачу Коши с помощью интеграла Дюамеля. begin x»+2x’=frac<1+e^>, ,, x(0)=0, ,, x'(0)=0. end Решаем через интеграл Дюамеля в два этапа, как было описано выше.

2. Исходное уравнение в операторном виде: begin (p^2+2p)X(p)=F(p). end Правая часть этого уравнения такая же, как и для вспомогательного. Левую часть $frac<1+e^>$ обозначим $f(t)$, ее изображение $F(p)$. Тогда begin X(p)=frac

. end Решая вспомогательное уравнение, мы находили: begin (p^2+2p)Y(p)=frac

,, Rightarrow ,, p^2+2p=frac. end Тогда begin X(p)=frac<frac>=pF(p)Y(p). end

Теперь по формуле Дюамеля получаем: begin X(p)=p F(p) Y(p) risingdotseq x(t)=y(0)cdot f(t)+intlimits_0^t f(tau),y'(t-tau),dtau, end где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения: begin begin & y(t)=-frac14+frac12t+frac14 e^,\ & y(0)=0,\ & y'(t-tau)=frac12-frac12e^. end end

Видео:Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методомСкачать

Решение задачи Коши с правой частью, содержащей функцию Хэвисайда

Пример 9

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения содержит составную функцию (выражаемую через функцию Хэвисайда). begin left < begin&x»+x=eta(t)-eta(t-2), \ &x(0)=0,\ &x'(0)=0. end right. end

Запишем изображения для левой и правой частей уравнения: begin &x»+x risingdotseq p^2,X(p)+X(p),\ &eta(t)-eta(t-2) risingdotseq frac

-frac<e^>

. end Для правой части, содержащей функцию Хэвисайда, воспользовались теоремой запаздывания.

Находим изображение для $displaystylefrac

$ с помощью теоремы об интегрировании оригинала: begin &frac

risingdotseq mbox,t ,, Rightarrow\ &frac

risingdotseq intlimits_0^t,mbox,tau,dtau=-mbox,t+1. end Тогда изображение для $displaystylefrac<e^>

$ по теореме запаздывания будет равно: begin frac<e^>

risingdotseq (-mbox,(t-2)+1)eta(t-2). end

Решение заданного уравнения: begin x(t)= (1-mbox,t)eta(t)-(1-mbox,(t-2))eta(t-2). end

Пример 10

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения задана графически (и выражается через функцию Хэвисайда). begin left < begin&x»+4x=f(t). \ &x(0)=0,\ &x'(0)=0. end right. end

Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ с помощью функции Хэвисайда и найдем ее изображение: begin &f(t)=2teta(t)-4(t-1)eta(t-1)+2(t-2)eta(t-2),\ &F(p)=frac

(1-2e^+e^). end Операторное уравнение имеет вид: begin &X(p)(p^2+4)=frac

(1-2e^+e^),, Rightarrow\ &X(p)=frac

(1-2e^+e^). end

Для первого слагаемого найдем оригинал, разложив дробь на сумму простейших: begin frac

=frac-frac risingdotseq frac12t-frac14,mbox,2t. end Для остальных слагаемых воспользуемся теоремой запаздывания: begin X(p)risingdotseq x(t)= frac12left(t-frac12,mbox,2tright)eta(t)-\ -left((t-1)-frac12,mbox,2(t-1)right)eta(t-1)+\ +frac12left((t-2)-frac12,mbox,2(t-2)right)eta(t-2). end

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

Решение задачи Коши с периодической правой частью

Периодическую правую часть тоже очень удобно записывать с помощью функции Хэвисайда.

Пусть $f(t)$ — периодическая с периодом $T$ функция-оригинал. Обозначим через $f_0(t)$ функцию: begin f_0(t)=begin f(t),& 0 oplaplace/seminar5_2.txt · Последние изменения: 2022/03/11 15:11 — nvr

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Статья на тему: «Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Операционный метод приобрел большое значение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Эффективность применения операционного исчисления при решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в удобстве и простоте вычислений. Прежде всего это относится к решению систем таких уравнений [4, с. 131].

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

(1)

где коэффициенты -постоянные величины, при начальных условиях

x(0)= , (0) , . , (0)= (2)

где — заданные числа [3, с. 126].

Операционный метод решения состоит в том, что мы считаем как искомую функцию x(t), так и правую часть f(t) оригиналами и переходим от уравнения (1) , связывающего оригиналы, к уравнению, связывающему их изображения X(p) и F(p), тогда x(t) ≑ X(p) , а f(t) ≑ F(p) . Воспользуемся теоремой о дифференцировании оригинала:

,

,

Применяя свойство линейности получаем вместо уравнения (1) алгебраическое соотношение, которое назовем изображением, или операторным уравнением:

+ +. + ( )+ [2, с. 127—128]

В результате мы получили уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения X(p).

где ,

-алгебраические многочлены от p степени n и n-1 соответственно [1, с. 264].

Из последнего уравнения находим

(3)

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (1). Остается по полученному изображению X(p) найти оригинал x(t) , применяя для этого соответствующие правила операционного исчисления. Найденный оригинал x(t) будет являться частным решением дифференциального уравнения (1) [3, с. 128].

Пример: найдем решение дифференциального уравнения операционным методом при условиях

=

Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение, получим операторное уравнение: . Отсюда X(p)=

Для нахождения оригинала разложим дробь на простейшие

A(p+1)+B(p-3)(p+1)+C =1

Ap+A+B -2Bp-3B+C -6Cp+9 С =1

Составим систему уравнений:

Решив ее, получаем

Итак X(p)= , откуда

x(t)= — решение данного дифференциального уравнения.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно решать операционными методами совершенно так же, как и отдельные уравнения; все отличие заключается лишь в том, что вместо одного изображающего уравнения приходим к системе таких уравнений, причем система эта в отношении изображений искомых функций будет линейно алгебраической. При этом никаких предварительных преобразований исходной системы дифференциальных уравнений производить не требуется [3, с. 134].

Метод решения таких систем покажем на примере.

Пример: решить систему дифференциальных уравнений

при начальных условиях x(0)=2 , y(0)=0.

Подставим эти выражения в систему дифференциальных уравнений, система операторных уравнений принимает вид:

Решая эту систему уже алгебраических уравнений , находим:

X(p)= ,

Y(p)=

Раскладывая найденные изображения на простые дроби находим:

X(p)= ,

Y(p)= .

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

x(t)=

y(t)= .

Таким образом операционный метод позволяет в ряде случаев значительно упростить процедуру нахождения решения линейных дифференциальных уравнений и их систем.

1.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. -М., Главная редакция физико-математической литературы, 1968 г., — стр. 416. — Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов. — 263—268 с.

2.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. — 127—132 с.

3.Шостак Р.Я. Операционное исчисление. Краткий курс. Изд. второе, доп.Учебное пособие для вузов М. «Высшая школа», 1972 — 126—139 с.

4.Штокало И.3. Операционное исчисление (обобщения и приложения) Киев, Издательство «Наукова Думка», 1972 —131—144 с.

🎬 Видео

Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами МЕТОДОМ ЛАПЛАСАСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

Математика без Ху!ни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

ДУ Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиСкачать

18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. часть 3Скачать