Понятие уравнения с параметром и его решения
Часто на практике создаётся такая математическая модель, в которой приходится решать не одно, а целое «семейство» похожих уравнений.
Рассмотрим несложный пример.
Пусть нам дан прямоугольный участок площадью a. С точки зрения практической, мы хотим обнести участок забором, т.е. нас интересует зависимость периметра от длины x при некоторой площади a (ширина будет равна $frac$):
Допустим, у нас есть материалы, чтобы соорудить забор длиной 100 м.
Это – простейшее уравнение с параметром, в котором один из коэффициентов не задан конкретным числом.
Уравнение относительно переменной x с параметром a – это уравнение F(x,a), в котором значение a не определено и также является переменной величиной.
Решить уравнение с параметром – это найти множество корней $$ для любого значения параметра a .
Решим наше уравнение. Найдём дискриминант:
$$ D = 50^2-4a = 2500-4a = 4(625-a) $$
Чтобы решения существовали, потребуем:
$$ D ge 0 Rightarrow 625-a ge 0 Rightarrow a le 625 $$
При $a lt 625$ два корня $x_ = 25 pm sqrt$
При a = 625 один корень $x_0 = 25$
При $a gt 625$ решений нет
Наша модель немного усложнится, если мы поставим условия, чтобы площадь и длина были строго положительными:
Исследуем решение. Полученный корень $x_2 = 25+ sqrt ge 25 gt 0$ — положительный. И $x_1 = 25- sqrt$ при $0 lt a lt 625$ меняется в пределах $0 lt x_1 lt 25$, т.е. также положительный.
Запишем ответ для модели с условиями:
При $0 lt a lt 625$ два корня $x_ = 25 pm sqrt$
При a = 625 один корень $x_0$ = 25
При $a gt 625$ решений нет
Ответ изменился незначительно, но чтобы его записать, нам пришлось провести дополнительное исследование.
Решить уравнение с параметром F(x,a) при дополнительных условиях на переменную x и параметр a – это найти допустимое множество корней $$ для любого допустимого значения параметра a .
Заметим, что согласно полученным результатам, максимальная площадь, которую мы можем огородить нашим забором длиной 100 м, равна a = 625 $м^2$. Участок при этом представляет собой квадрат с длиной $x_0 = 25$ м и шириной $ frac = 25$ м.
Примеры
Пример 1. При каких p квадрат разности корней уравнения $x^2-4x+p = 0$ равен 32?
Пусть $x_1, x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета и условию задачи:
$$ <left< begin x_1+x_2 = 4 \ x_1 x_2 = p \ x_1^2-x_2^2 = 32 end right.> Rightarrow <left< begin x_1+x_2 = 4 \ x_1 x_2 = p \ (x_1+x_2 )(x_1-x_2 ) = 32 end right.> Rightarrow <left< begin x_1+x_2 = 4 \ x_1-x_2 = 8 \ x_1 x_2 = p end right.> Rightarrow $$
$$ Rightarrow <left< begin 2x_1 = 4+8 = 12 \ 2x_2 = 4-8 = -4 \ x_1 x_2 = p end right.> Rightarrow <left< begin x_1 = 6 \ x_2 = -2 \ p = 6 cdot (-2) = -12 end right.> $$
Пример 2. При каких значениях a уравнение
имеет один корень? Найдите этот корень.
$$ D = (a+2)^2-4(a+5) = a^2+4a+4-4a-20 = a^2-16 $$
Уравнение имеет один корень, если D = 0:
$$ a^2-16 = 0 Rightarrow a = pm 4 $$
При a = -4 уравнение имеет вид $x^2+2x+1 = 0$, т.е. $(x+1)^2 = 0$, $x_0 = -1$
При a = 4 уравнение имеет вид $x^2-6x+9 = 0$, т.е. $(x-3)^2 = 0, x_0 = 3$
При a = -4, $x_0$ = -1
При a = 4, $x_0$ = 3
Пример 3. Найдите такое p, чтобы уравнения
$$ x^2+x+p = 0 и x^2+px+1 = 0 $$
имели общий корень. Найдите этот корень.
Общий корень означает, что параболы пересекаются в точке, лежащей на оси OX.
$$ x(1-p) = 1-p Rightarrow left[ begin <left< begin p = 1 \ x in Bbb R — любой end right.> \ <left< begin p neq 1 \ x = 1 end right.> end right. $$
При p = 1 уравнения совпадают $x^2+x+1 = 0$, но решений не имеют, т.к. $D lt 0$.
При x = 1 уравнения парабол имеют вид: $p+2 = 0 Rightarrow p = -2$.
При p = 2 уравнения имеют общий корень x = 1.
Пример 4. Найдите все целые значения a, при которых уравнение $frac = frac$ имеет решение.
Особая точка: a = 4. Уравнение $x^2-2x+4 = 0$ решений не имеет, т.к. $D lt 0$.
Решаем уравнение в общем виде:
Потребуем $D ge 0$
$$ -4(a-3)(a-1) ge 0 Rightarrow (a-3)(a-1) le 0 $$
Начертим график параболы
Значение $f(a) le 0$ не положительно, только на отрезке
Это значит, что $D ge 0$, и уравнение имеет решения, только при трёх целочисленных a $in$
При a = 1 и a = 3 D = 0, уравнение имеет вид $x^2-2x+1 = 0$ и одно решение $x_0 = 1$.
При a = 2 уравнение имеет вид: $x^2-2x = 0 Rightarrow x(x-2) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = 0 \ x_2 = 2 end right. $
При a = 1 и a = 3 один корень $x_0 = 1$
При a = 2 два корня $x_1 = 0, x_2 = 2$
При всех других целых a уравнение решений не имеет.
Пример 5. При каких b и c уравнение $x^2+bx+c = 0$ имеет корнями b и c?
По условию $x_1 = b, x_2 = c$
По теореме Виета:
$$ <left< begin x_1+x_2 = b+c = -b \ x_1 x_2 = bc = c end right.> Rightarrow <left< begin c = -2b = -2 \ b = 1end right.> $$
Уравнение $x^2+x-2 = 0$ имеет корнями 1 и -2.
Ответ: b = 1, c = -2
Пример 6. Найдите все значения параметра a, при которых уравнения
$$ x^2+(a^2+3a+7)x = 0 и x^2+(4a+19)x+(a^2+7a-44) = 0 $$
имеют один и те же решения.
Старшие коэффициенты парабол одинаковы и равны 1.
Параболы будут иметь одинаковые решения в том случае, если будут полностью совпадать, т.е.:
$$ <left< begin a^2+3a+7 = 4a+19 \ 0 = a^2+7a-44 end right.> Rightarrow <left< begin a^2-a-12 = 0 \ a^2+7a-44 = 0 end right.> Rightarrow <left< begin (a-4)(a+3) = 0 \ (a-4)(a+11) = 0 end right.> Rightarrow a = 4 $$
Кроме того, они могли бы совпадать, если бы все переменные коэффициенты одновременно стали равны 0:
$$ <left< begin a^2+3a+7 = 0 \ 4a+19 = 0 \ a^2+7a-44 = 0 end right.> Rightarrow <left< begin D lt 0, a in varnothing \ a = — frac \ a = end right.> Rightarrow a in varnothing $$
Пример 7. Решите уравнение:
При a = 1 уравнение имеет вид $x^2 = 0$ и один корень $x_0 = 0$
Видео:8 класс, 39 урок, Задачи с параметрамиСкачать
Конспект «Решение квадратных уравнений с параметрами» (8 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Тема урока: решение квадратных уравнений с параметрами.
Тип урока: комбинированный.
Планируемые результаты обучения:
— личностные: логичность мышления, умение работать в проблемной ситуации;
— предметные: формировать умение решать квадратные уравнения с параметром;
— метапредметные: формирование информационной, коммуникативной и учебной компетентности учащихся, умения работать с имеющейся информацией в новой ситуации.
Этапы урока (время)
1. Организационный момент.
Приветствует учащихся, организует рабочее место,
Учащиеся настраиваются на работу.
2. Актуали-зация теоретических знаний.
Проводится опрос по теории
— Какое уравнение называется квадратным?
— Квадратным или линейным является уравнение 
а) при b=6; б)0; в) b=0,5;
-Какое квадратное уравнение называется приведенным?
-Какое выражение называют дискриминантом?
-Сколько корней может иметь квадратное уравнение? (формулы).
-Теорема Виета и обратное утверждение.(записать)
Учащиеся предлагают различные варианты решения, говорят о трудностях, которые у них возникли.
Формировать личную мотивацию к учению.
Структурировать знания по данной теме
Учебное сотрудничество с учителем
3. Объяснение нового материа-ла.
При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при 
обращается в 0. Дело в том, что если этот коэффициент равен 0, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму. Дальнейшее решение зависит от D .
Учащиеся формулируют цель урока: «Научиться решать уравнения с параметром».
Взаимоконтроль и самоконтроль
Умение структурировать знания
Учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, управление поведением партнера
4. Приме-нение знаний и умений в новой ситуации
Решение: Здесь коэффициент перед отличен от , значит, данное уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем дискриминант:
D = 
D 
, значит, квадратное уравнение имеет два различных корня.
p +2 и 
p -1
Ответ: при любых значениях р p +2 ; 
p -1.
Пример 2. Решить уравнение p 
.
Решение: Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным. Рассмотрим контрольное значение р=0, имеем два случая.
Если р=0, то получается уравнение вида 0 + 
х=1.
Если р≠0. То уравнение является квадратным, можно применять формулу D = 
—
4р(-1)=1-2р+ 
+4р= 
; 
; 
.
Ответ: при р=0 х=1, при р≠0 ; .
Пример 3. Решить уравнение
Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х
Решим уравнение при а=1
0 × х 2 +2(2 × 1+1)х+4 × 1+3=0 Û 6х+7=0 Û 
.
Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения
4(5а+4)=0 Û 
.
Решим уравнение при , в этом случае уравнение будет иметь один действительный корень
Û 
Û
9х 2 +6х+1=0 Û (3х+1) 2 =0 Û 
.
Решим уравнение при а ¹ 1, 
. В этом случае D
Решим уравнение при а ¹ 1, 
. В этом случае уравнение имеет два действительных корня
Ответ: 1) при , ;
2) при а=1, ;
3) при , действительных корней нет;
4) при и а ¹ 1, 
.
Пример 4. При каких значениях m ровно один из корней уравнения 
Решение: Если нуль является корнем уравнения, значит квадратный трехчлен 
=0 обращается в нуль. 
=-3, 
=3.
Найдем второй корень при найденных значениях m .
Если m =3, то получаем 
=0, 
=-6.
Если m =-3, то получаем 
=0, которое имеет два кратных корня равных 0.
5. Закрепле-ние матери-ала
Работа в группах.
( а + 1 ) х 2 – 2 ( а + 9 ) х + 9 = 0;
С последующей проверкой.
Работа в группах. Проблемный диалог. Задают и отвечают на вопросы.
Контроль, коррекция, оценка
Учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, управление поведением партнера
6. Домаш-нее задание.
1. При каких значениях а уравнение (а+2) +2(а+2)х+2=0 имеет один корень?
2.Решить уравнение 
.
3. Решить уравнение 
4. Решить уравнение ( 2 
— b -6) 
= 4( b +1) x -2.
Объясняет какие номера обязательные и какие можно взять по выбору.
Учащиеся записывают домашнее задание и определяют для себя уровни заданий.
7. Итог урока. (1мин)
Какие цели стояли на уроке?
Достиг ли каждый из вас цели урока?
Фиксирую проблемы для следующего урока.
Самостоятельно определяют насколько достигнуты цели урока.
Формировать адекватную самооценку.
Формировать умения планировать свою работу.
Формулировать собственное мнение и аргументировать его.
Формулировать познавательную цель.
Учащимся предлагается по желанию продолжить предложение:
На уроке я научился (научилась) …
На уроке мне понравилось …
На уроке мне пригодились знания….
Для меня было сложно…
С урока я ухожу с … настроением!
Учащиеся продолжают предложения.
Смыслообразование, формирование положительного отношения к процессу познания
Оценка- выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Краткое описание документа:
Тема урока: решение квадратных уравнений с параметрами.
Тип урока: комбинированный.
Планируемые результаты обучения:
личностные: логичность мышления, умение работать в проблемной ситуации;
предметные: формировать умение решать квадратные уравнения с параметром;
метапредметные: формирование информационной, коммуникативной и учебной компетентности учащихся, умения работать с имеющейся информацией в новой ситуации.
1. Организационный момент.
Приветствует учащихся, организует рабочее место,
Учащиеся настраиваются на работу.
2. Актуали-зация теоретических знаний.
Проводится опрос по теории
— Какое уравнение называется квадратным?
— Квадратным или линейным является уравнение
а) при b=6; б)0; в) b=0,5;
-Какое квадратное уравнение называется приведенным?
-Какое выражение называют дискриминантом?
-Сколько корней может иметь квадратное уравнение? (формулы).
-Теорема Виета и обратное утверждение.(записать)
Учащиеся предлагают различные варианты решения, говорят о трудностях, которые у них возникли.
Формировать личную мотивацию к учению.
Структурировать знания по данной теме
Учебное сотрудничество с учителем
3. Объяснение нового материа-ла.
При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при 
обращается в 0. Дело в том, что если этот коэффициент равен 0, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму. Дальнейшее решение зависит от D .
Учащиеся формулируют цель урока: «Научиться решать уравнения с параметром».
Взаимоконтроль и самоконтроль
Умение структурировать знания
Учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, управление поведением партнера
4. Приме-нение знаний и умений в новой ситуации
Решение: Здесь коэффициент перед отличен от , значит, данное уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем дискриминант:
D =
D 
, значит, квадратное уравнение имеет два различных корня.
p +2 и 
p -1
Ответ: при любых значениях р p +2 ; 
p -1.
Пример 2. Решить уравнение p 
.
Решение: Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным. Рассмотрим контрольное значение р=0, имеем два случая.
Если р=0, то получается уравнение вида 0+ 
х=1.
Если р≠0. То уравнение является квадратным, можно применять формулу D =
—
4р(-1)=1-2р+
+4р=
; 
; 
.
Ответ: при р=0 х=1, при р≠0 ; .
Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х
Решим уравнение при а=1
0 х 2 +2(2 1+1)х+4 1+3=0 6х+7=0 
.
Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения
4(5а+4)=0 
.
Решим уравнение при , в этом случае уравнение будет иметь один действительный корень
9х 2 +6х+1=0 (3х+1) 2 =0 
.
Решим уравнение при а 1, 
. В этом случае D 1, 
. В этом случае уравнение имеет два действительных корня
Ответ: 1) при , ;
2) при а=1, ;
3) при , действительных корней нет;
4) при и а 1, 
.
Пример 4. При каких значениях m ровно один из корней уравнения
Решение: Если нуль является корнем уравнения, значит квадратный трехчлен 
=0 обращается в нуль. 
=-3, 
=3.
Найдем второй корень при найденных значениях m .
Если m =3, то получаем 
=0, 
=-6.
Если m =-3, то получаем 
=0, которое имеет два кратных корня равных 0.
5. Закрепле-ние матери-ала
Работа в группах.
( а + 1 ) х 2 – 2 ( а + 9 ) х + 9 = 0;
С последующей проверкой.
Работа в группах. Проблемный диалог. Задают и отвечают на вопросы.
Контроль, коррекция, оценка
Учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, управление поведением партнера
6. Домаш-нее задание.
1.При каких значениях а уравнение (а+2) +2(а+2)х+2=0 имеет один корень?
2.Решить уравнение 
.
3. Решить уравнение 
4. Решить уравнение ( 2
— b -6) 
= 4( b +1) x -2.
Объясняет какие номера обязательные и какие можно взять по выбору.
Учащиеся записывают домашнее задание и определяют для себя уровни заданий.
7. Итог урока. (1мин)
Какие цели стояли на уроке?
Достиг ли каждый из вас цели урока?
Фиксирую проблемы для следующего урока.
Самостоятельно определяют насколько достигнуты цели урока.
Формировать адекватную самооценку.
Формировать умения планировать свою работу.
Формулировать собственное мнение и аргументировать его.
Формулировать познавательную цель.
Учащимся предлагается по желанию продолжить предложение:
На уроке я научился (научилась) …
На уроке мне понравилось …
На уроке мне пригодились знания….
Для меня было сложно…
С урока я ухожу с … настроением!
Учащиеся продолжают предложения.
Смыслообразование, формирование положительного отношения к процессу познания
Оценка- выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Квадратные уравнения с параметром
Уравнение называется квадратным, если имеет вид (ax^2+bx+c=0,) где (a,b,c) — любые числа ((a≠0)). При этом надо быть внимательным, если (a=0), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при (x^2) и рассматривать 2 случая: (a=0) (линейное уравнение); (a≠0) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.
Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Исследование квадратного многочлена
Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:
- Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа (γ): (x_1≤x_2 0)); ветки параболы направлены вниз ((a 0). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)>0).
- (a 0). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа (γ).
В итоге получаем:
если (a*f(γ) 0), то (γ∉(x_1,x_2)).
Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа (γ). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы (x_0) относительно (γ). Заметим, что вершина лежит между точками (x_1) и (x_2). Если (x_0 0, \x_0 
При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?
1 случай: Если (a(a+3)=0), то уравнение будет линейным. При (a=0) исходное уравнение превращается в (6x-9=0), корень которого (x=1,5). Таким образом, при (a=0) уравнение имеет один корень.
При (a=-3) получаем (0*x^2+0*x-0=0), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.
2 случай: Если (a≠0; a≠-3), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-frac.$$ С учетом (a≠0;) (a≠-3), получим, что уравнение имеет два корня при (a∈(-frac;0)∪(0;+∞)). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):
Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку ([-2;2]).
1 случай: Если (a=-1), то (0*x^2-x+1-1=0) отсюда (x=0). Это решение принадлежит ([-2;2]).
2 случай: При (a≠-1), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат ([-2;2]). Для решения введем функцию (f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1) и запишем систему, которая задает требуемые условия:
Подставляем полученные выражения в систему:
🎬 Видео
Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
#119 Урок 44. Параметры. Квадратные уравнения с параметрами. Алгебра 8 класс. Математика.Скачать
Решаем квадратное уравнение с параметромСкачать
Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать
Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Как решить квадратное уравнение (Положительный дискриминант)Скачать
Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать
Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать
Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать
5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
Алгоритм решения квадратного уравнения | Алгебра 8 класс #35 | ИнфоурокСкачать
Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать
Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать
Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать
