Про уравнения - легко » Статьи

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом

Обновлено
Содержание
  1. Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом
  2. Дискриминант
  3. Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение (b^-4ac), где (a, b) и (c) – коэффициенты данного трехчлена.
  4. Дискриминант и корни квадратного уравнения
  5. Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения: — если (D) положителен – уравнение будет иметь два корня; — если (D) равен нулю – только один корень; — если (D) отрицателен – корней нет.
  6. Если дискриминант положителен
  7. Если дискриминант равен нулю
  8. Если дискриминант отрицателен
  9. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом
  10. Пример №42.4.
  11. 🌟 Видео

Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Комплексные корни квадратного уравнения

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI

§ 253. Извлечение корней квадратных из отрицательных чисел.
Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами

Таким образом, существуют по крайней мере два значения корня квадратного из — 1, а именно i и — i . Но, может быть, есть еще какие-нибудь комплексные числа, квадраты которых равны — 1?

Чтобы выяснить этот вопрос, предположим, что квадрат комплексного числа а + bi равен — 1. Тогда

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому

Согласно второму уравнению системы (1) хотя бы одно из чисел а и b должно равняться нулю. Если b = 0, то из первого уравнения получается а 2 = — 1. Число а действительное, и поэтому а 2 > 0. Неотрицательное число а 2 не может равняться отрицательному числу — 1. Поэтому равенство b = 0 в данном случае невозможно. Остается признать, что а = 0, но тогда из первого уравнения системы получаем: — b 2 = — 1, b = ± 1.

Следовательно, комплексными числами, квадраты которых равны —1, являются только числа i и —i, Условно это записывается в виде:

Аналогичными рассуждениями учащиеся могут убедиться в том, что существует ровно два числа, квадраты которых равны отрицательному числу —а. Такими числами являются √ a i и —√ a i . Условно это записывается так:

Под √ a здесь подразумевается арифметический, то есть положительный, корень. Например, √ 4 = 2, √ 9 =.3; поэтому

Если раньше при рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами мы говорили, что такие уравнения не имеют корней, то теперь так говорить уже нельзя. Квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами имеют комплексные корни. Эти корни получаются по известным нам формулам. Пусть, например, дано уравнение x 2 + 2х + 5 = 0; тогда

Итак, данное уравнение имеет два корня: х1 = — 1 +2i, х2 = — 1 — 2i. Эти корни являются взаимно сопряженными. Интересно отметить, что сумма их равна — 2, а произведение 5, так что выполняется теорема Виета.

2022. (У с т н о.) Решить уравнения:

2023. Найти все комплексные числа, квадраты которых равны:

2024. Решить квадратные уравнения:

Решить системы уравнений (№ 2025, 2026):

2027. Доказать, что корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом являются взаимно сопряженными.

2028. Доказать, что теорема Виета верна для любых квадратных уравнений, а не только для уравнений с неотрицательным дискриминантом.

2029. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнями которого являются:

2030. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, один из корней которого равен (3 — i) (2i — 4).

2031. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, один из корней которого равен 32 — i
1— 3i .

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение (b^-4ac), где (a, b) и (c) – коэффициенты данного трехчлена.

Например, для трехчлена (3x^2+2x-7), дискриминант будет равен (2^2-4cdot3cdot(-7)=4+84=88). А для трехчлена (x^2-5x+11), он будет равен ((-5)^2-4cdot1cdot11=25-44=-19).

Дискриминант обозначается буквой (D) и часто используется при решении квадратных уравнений . Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график квадратичной функции (см. ниже).

Видео:Отрицательный дискриминантСкачать

Отрицательный дискриминант

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
— если (D) положителен – уравнение будет иметь два корня;
— если (D) равен нулю – только один корень;
— если (D) отрицателен – корней нет.

Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что квадратный корень из дискриминанта (то есть, (sqrt) входит в формулу для вычисления корней квадратного уравнения: (x_=) (frac<-b+sqrt>) и (x_=) (frac<-b-sqrt>) . Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.

Видео:Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит (x_) и (x_) будут различны по значению, ведь в первой формуле (sqrt) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+2x-3=0)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Найдем корни уравнения

Получили два различных корня из-за разных знаков перед (sqrt)

На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения. И это логично. Вдумайтесь – если уравнение (x^2+2x-3=0) имеет корни (x_=1) и (x_=-3), значит при подстановке (1) и (-3) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию (y=x^2+2x-3) получим (y=0). То есть, функция (y=x^2+2x-3) проходит через точки ((1;0)) и ((-3;0)) (подробнее смотри статью Как построить график функции ).

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: (x_=) (frac<-b+sqrt>) и (x_=) (frac<-b-sqrt>) . И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль. Тогда получается:

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2-4x+4=0)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Находим корни уравнения

Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс. Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция (y=x^2-4x+4) будет выглядеть вот так:

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Если дискриминант отрицателен

В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+x+3=0)
Решение

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Находим корни уравнения

Оба корня содержат невычислимое выражение (sqrt), значит, и сами не вычислимы

То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение (x^2+x+3) получился ноль.

Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.

Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!

Видео:РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать

РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминант

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен:

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом

Пример №42.4.

Решить уравнение: Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Решение:

Найдем дискриминант: Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом

Тогда Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Ответ: Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение имеет решения на множестве комплексных чисел. В ответе получаются два сопряженных комплексных числа. Это очень важный результат: теперь мы знаем, что абсолютно любое квадратное уравнение имеет два корня на множестве комплексных чисел.

Подобное утверждение, известное под названием «основная теорема алгебры», было доказано Гауссом в конце XVIII века: любое алгебраическое уравнение Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом-й степени имеет Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантомкомплексных корней (при этом некоторые корни являются кратными). Эти результаты подчеркивают ту исключительную роль, которую играют комплексные числа в теории алгебраических уравнений.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🌟 Видео

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ДИСКРИМИНАНТ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ДИСКРИМИНАНТ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетитор

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 1ч. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 1ч. 8 класс.

Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. ПримерСкачать

Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. Пример

Квадратное уравнение. Как решить? | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Квадратное уравнение. Как решить? | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Быстрый способ решения квадратного уравнения

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ дискриминантСкачать

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ дискриминант

4.Квадратное уравнение. Дискриминант отрицательный.Скачать

4.Квадратное уравнение. Дискриминант отрицательный.

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | Математика

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 3ч. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 3ч. 8 класс.

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 4ч. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 4ч. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: