Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел (7 видео)

Квадратное уравнение с комплексными корнями и коэффициентами

Пусть задано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты $a$, $b$ и $c$ — в общем случае являются комплексными. Его решение находим с помощью дискриминанта

В общем случае и дискриминант, и корни уравнения являются комплексными числами.

Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни $z_=1-i$ и $z_=4-5i$. Решить его.

Решение. Известно, что если $z_1$, $z_2$ — корни квадратного уравнения $z^2+bz+c=0$, то указанное уравнение можно записать в виде $(z-z_1)(z-z_2)=0$. А тогда, учитывая этот факт, имеем, что искомое уравнение можно записать следующим образом:

Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:

$z^+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$ — искомое квадратное уравнение.

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D=(-5+6 i)^-4 cdot 1 cdot(-(1+9 i))=-11-60 i+4+36 i=$$ $$=-7-24 i$$

Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то корень из дискриминанта будем искать в виде $sqrt=a+b i$. То есть

$$sqrt=a+b i Rightarrow-7-24 i=(a+b i)^ Rightarrow$$ $$Rightarrow-7-24 i=a^+2 a b i-b^$$

Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений $a$ и $b$:

решив которую, имеем, что $a_1=3$, $b_1=-4$ или $a_2=-3$, $b_2=4$. Рассматривая любую из полученных пар, например, первую, получаем, что $sqrt=3-4 i$, а тогда

Ответ. $z^+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$

Содержание

Урок «Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел» (углубленный уровень)
Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
📸 Видео

Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Урок «Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел» (углубленный уровень)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока по теме: «Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел»

Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел

УМК Никольский С.М. «Алгебра и начала анализа»

Место урока в системе уроков по теме (всего уроков на тему/номер урока по теме): 1/2

Тип урока: урок открытия нового знания

Дидактические единицы учебного материала, которыми ученик должен владеть для успешной работы на уроке

Дидактические единицы учебного материала, которые ученик изучит на уроке

Понятия: квадратный корень из комплексного числа, корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Утверждения (теоремы, аксиомы): основная теорема алгебры, теорема о количестве корней многочлена, теорема о сопряженных комплексных корнях

Алгоритмы (правила): алгоритм нахождения квадратного корня из комплексного числа, алгоритм решения квадратных уравнений на множестве комплексных чисел

Методы (рассуждений, решения задач): дедуктивный

-развитие числовых множеств,

-взаимное расположение множества комплексных чисел в ряду множеств,

-множество решений квадратного уравнения на координатной плоскости

-определение квадратного корня из действительного числа,

-разницу между арифметическим квадратным корнем и квадратным корнем,

— определение корня уравнения,

-что такое квадратное уравнение,

-формулу нахождения действительных корней квадратного уравнения,

-алгебраическую форму комплексного числа,

— геометрический смысл комплексного числа на плоскости,

— определение и смысл мнимой единицы,

-определение корня из комплексного числа и его свойства,

— теорему о корнях степени n из комплексного числа

-находить корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел,

-выполнять операции над комплексными числами,

-находить корни степени n из комплексного числа

Планируемые предметные результаты урока

Ученик должен знать

Ученик должен уметь

Ученик научится представлять и понимать

-основную теорему алгебры,

-алгоритм нахождения квадратного корня из комплексного числа,

-алгоритм решения квадратных уравнений на множестве комплексных чисел

-определение квадратного корня из комплексного числа,

-основную теорему алгебры,

-алгоритм нахождения квадратного корня из комплексного числа,

-алгоритм решения квадратных уравнений на множестве комплексных чисел

-определение квадратного корня из комплексного числа,

-основную теорему алгебры,

-теорему о количестве корней многочлена,

-теорему о сопряженных комплексных корнях,

-алгоритм нахождения квадратного корня из комплексного числа,

-алгоритм решения квадратных уравнений на множестве комплексных чисел

-используя алгоритм находить значение квадратного корня из комплексного числа,

-решать квадратные уравнения на множестве комплексных чисел

-производить операции над комплексными числами,

-используя алгоритм находить значение квадратного корня из комплексного числа,

-решать квадратные уравнения на множестве комплексных чисел

-производить операции над комплексными числами,

-используя алгоритм находить значение квадратного корня из комплексного числа,

-решать квадратные уравнения на множестве комплексных чисел,

-решать квадратные уравнения с коэффициентами из множества комплексных чисел

Научится находить значение квадратного корня из комплексного числа, решать квадратные уравнения на множестве комплексных чисел

Метапредметная направленность урока заключается в возможности нахождения физических величин, характеризующих постоянный и переменный электрический ток

посредством решения задач в комплексных числах

Личностная направленность урока заключается в приобретении знаний через выявление заинтересованности обучающихся в изучаемом материале

посредством включения учащихся в активную работу, поиск информации

Дидактические средства обучения

компьютер, проектор, презентация Power Point

Методические пособия для учителей по теме урока, справочники

Учебное пособие, презентация, конспект в тетради, справочные материалы

(определяется планируемыми результатами и способами их достижения)

Овладение методами решения квадратные уравнения на множестве комплексных чисел

Сформировать систему новых понятий, ввести новые термины, алгоритмы, отработать формулы, применяемые для решения квадратного уравнения, научиться находить квадратные корни из комплексного числа

1. Мотивирование на учебную деятельность

Поприветствовать детей, создать благожелательную атмосферу урока, нацелить учащихся на работу

— сформированность позитивной моральной самооценки и моральных чувств.

— интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми,

— умение выражать свои мысли в соответствии с условиями коммуникации,

— планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

— предвосхищение результата и уровня усвоения знаний.

2. Актуализация знаний

Актуализировать ранее изученные понятия, алгоритмы и навыки

Применение формул дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения для решения квадратных уравнений, выполнение операций над комплексными числами

— умение задавать вопросы,

— формулирование собственного мнения,

— умение строить речевое высказывание,

— анализ объектов с целью выделения признаков,

— выбор оснований и критериев для сравнения,

— планирование своих действий

3. Целеполагание, постановка проблемы

Подведение детей к формулировке и постановке задач урока. Составление плана работы

Организовать анализ учащимися возникшей ситуации и на этой основе выявить места и причины затруднения, осознать то, в чем именно состоит недостаточность их знаний, умений или способностей.

— умение выражать свои мысли в соответствии с условиями коммуникации,

— планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

— установление причинно-следственных связей,

— построение рассуждения в форме связи простых суждений об объекте,

— создание способов решения проблемы.

4. Решение проблемы

Предложить сформулировать цель урока.

Научить учащихся извлекать квадратный корень из комплексного числа

Предложить учащимся новый способ действий при решении квадратных уравнения, сформировать умение его применять как при решении задачи, вызвавшей затруднение, так и при решении других задач такого типа.

Находить значение квадратного корня из отрицательного числа, решать квадратные уравнения, находить его корни при отрицательном значении дискриминанта

-учёт разных мнений и стремление к координации различных позиций в сотрудничестве,

— принятие и сохранение учебной задачи,

— планирование своих действий в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации,

— выделение существенной информации,

— поиск разнообразных способов решения задачи

5. Систематизация знаний

Усвоение учащимися нового способа действия при решении типовых задач.

Этап первичного закрепления и самостоятельного решения несколько типовых заданий на новый способ действия при этом проговаривали вслух выполненные шаги и их обоснование – определения, алгоритмы, свойства и т.д.

— формирование мотивов достижения целей,

Формирование границ «знания» и «незнания».

— принятие и сохранение учебной задачи,

— учёт правила в планировании и контроле способа решения,

— различение способа и результата действия.

— построение речевого высказывания в письменной форме,

— установление причинно-следственных связей

6. Подведение итогов

Соотнесение поставленных задач с достигнутым результатом, фиксация нового знания, постановка дальнейших целей

— формирование самоидентификации, адекватной позитивной самооценки, самоуважения и самопринятия.

— восприятие оценки учителя,

— построение речевого высказывания в устной и письменной форме.

(с указанием конкретных методов и приемов, техник обучения, средств и форм контроля, учебно-познавательных и учебно-практических задач, решаемых на данном этапе)

Продукт деятельности учащихся

1. Мотивирование на учебную деятельность

Организационный момент, приветствие, пожелание.

Приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку

Приветствуют учителя, проверяют свою готовность к уроку

2. Актуализация знаний

Задает учащимся вопросы по пройденным темам, актуализируя знания, необходимые для формулирования темы урока, представляет вниманию учащихся задания для отработки освоенных ранее навыков

Отвечают на вопросы учителя, решают квадратные уравнения на множестве действительных чисел, вспоминают такие понятия, как дискриминант, корни квадратного уравнения, а также мнимая единица и операции над комплексными числами

Конспект учащихся в тетради

Выявление места и причины затруднения

Организует диалог с учащимися, в ходе которого конкретизирует понятия, формулирует некоторые задачи урока, помогает учащимся сформулировать возникшую проблему нахождения корней квадратного уравнения при отрицательном значении дискриминанта, составляет совместно с обучающимися план решения проблемы

На основе наводящих вопросов учителя самостоятельно формулируют проблему, с которой столкнулись

Конспект учащихся в тетради

Дает определение квадратного корня из комплексного числа, формулирует необходимые теоремы, фиксирует алгоритм нахождения корня из комплексного числа и алгоритм решения квадратных уравнений на множестве комплексных чисел.

Выписывают выводы, доказательства. Учатся извлекать корни из комплексных чисел, применяют этот навык при решении квадратных уравнений на множестве комплексных чисел

Конспект в тетради

5. Систематизация знаний

Возвращает учащихся к исходному уравнению, вызвавшему трудность в нахождении корней, показывает, что теперь они могут самостоятельно справиться с данной проблемой.

Предлагает учащимся выполнить самостоятельно ряд заданий на закрепление приобретенных навыков

Применяют полученные знания в решении поставленной в ходе урока проблемы, выполняют самостоятельно ряд заданий на закрепление изученной темы

Выполненные в тетради самостоятельные задания

6. Подведение итогов

Задает вопросы о задачах урока.

Проговаривают по плану новые знания, высказывают свои впечатления от урока

Этап 1. Мотивирование на учебную деятельность (1-2 мин)

Добрый день, дорогие ученики! Рада приветствовать вас на уроке алгебры. Как ваше настроение? Сегодня нас ждёт новая, но интересная тема. Я уверена, что к концу урока каждый из вас научится применять новые знания на практике. Запишите, пожалуйста в ваших тетрадях сегодняшнее число и «Классная работа». Начнём!

Этап 2. Актуализация знаний (5-7 мин)

До введения отрицательных чисел можно было говорить, что уравнение х+3=2 не имеет корней, так как не существовало неотрицательного числа, которое обращало бы это уравнение в верное равенство. Однако после введения отрицательных чисел это уравнение стало разрешимым.

Но уж про существование отрицательных чисел мы давно с вами знаем, так же, как и умеем решать простые линейные уравнения.

Вопрос. Поработаем с вами устно. Для начала попробуем вспомнить, что такое квадратное уравнение и какой оно имеет вид? (Квадратное уравнение – это уравнение вида ax 2 + bx + c =0 при a ≠0)

На доске записывается квадратное уравнение 5x 2 −2x−3=0

Вопрос. Является ли это уравнение квадратным? (Да, является)

Вопрос. Исходя из чего вы сделали такой вывод? (Потому что коэффициент при х 2 отличен от нуля, значит перед нами многочлен второй степени)

Вопрос. Хорошо! А как называются коэффициенты квадратного уравнения и чему они равны в рассматриваемом нами уравнении? (Старший коэффициент – а, второй коэффициент – b и свободный член – c . В нашем уравнении они равны 5, -2 и -3 соответственно)

Вопрос. Молодцы! Значит, перед нами квадратное уравнение с коэффициентами 5, -2 и -3. Нам необходимо решить уравнение, что это значит? (Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет)

Вопрос. Получается, нам необходимо найти корни квадратного уравнения. Каков алгоритм нахождения корней квадратного уравнения? С чего начинаем? (Сначала находим дискриминант по формуле D = b 2 -4ас)

Вопрос. На доске записывается формула дискриминанта и предлагается ученикам устно проговорить, какие коэффициенты мы подставляем в эту формулу и какое значение получаем (Дискриминант данного квадратного уравнения равен 64)

Вопрос. Что же позволяет узнать нам значение дискриминанта? (Если дискриминант больше 0, то уравнение имеет два корня, равен нулю – один корень, меньше нуля – уравнение не имеет корней. В нашем случае уравнение имеет два корня, так как дискриминант положителен)

Вопрос. В чем разница между арифметическим квадратным корнем из числа a и просто квадратным корнем из числа a ? (Арифметический квадратный корень может быть только положительным. Просто квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным.)

Вопрос. С количеством корней определились, теперь осталось найти их. Как же нам это сделать? (Диктуют формулу нахождения корней квадратного уравнения)

Подставляем в формулу наши коэффициенты и получаем корни уравнения (-0,6; 1)

Вопрос. Замечательно! С задачей мы справились. Теперь давайте с вами приблизимся к более обозримому прошлому и вспомним темы, которые изучили совсем недавно. Скажите, пожалуйста, что такое мнимая единица? (Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1.)

Вопрос. А для чего мы с вами вводили понятие мнимой единицы? (Чтобы научиться работать с комплексными числами, которые состоят как из действительной, так и из мнимой части)

Вопрос. Расскажите, какие операции мы научились производить над комплексными числами (Рассказывают изученный материал)

Этап 3. Выявление места и причины затруднения (2-5 мин)

Хорошо! Запишите в тетради такое уравнение . И давайте попробуем его решить.

Учащиеся сталкиваются с тем, что дискриминант приобретает отрицательное значение и говорят, что корней данное уравнение не имеет.

Да, решая квадратные уравнения на множестве действительных чисел мы с вами отмечали, что далеко не все квадратные уравнения имеют корни на данном множестве. Но как же хочется, чтобы все задачи были разрешимы, не так ли?

Получив отрицательный дискриминант, вы зашли в тупик, найти корни этого уравнения не представляется возможным. Как же нам быть?

Для решения такой непростой задачи нам с вами как раз и потребуются знания о множестве комплексных чисел и об операциях над этими числами. Вместе с учащимися пытаемся сформулировать цель на сегодняшний урок: овладение методами решения квадратные уравнения на множестве комплексных чисел

Этап 4. Решение проблемы (15 мин)

Вопрос. Что мы знаем об извлечении корня из отрицательных чисел? (что корень из отрицательных чисел не извлекается).

А что, если я докажу вам сегодня на уроке, что не так уж этот корень и нереален? А помогут мне в этом числа, с которыми мы познакомились на предыдущем занятии — комплексные числа!

Верно, что во множестве действительных чисел корней из отрицательных чисел быть не может. Но введение понятия «комплексное число» продвинуло вперед современную математику, а с ней и другие естественные науки.

Исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

Обозначим этот корень через . Таким образом, по определению

, или

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это приводит к необходимости расширять множество действительных чисел до множества, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Такое множество называется множеством комплексных чисел и обозначается С.

Рассматривать будем на таком примере:

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Как же извлечь корень из комплексного числа? Так вот, квадратные корни из комплексного числа определяются точно так же, как и квадратные корни из действительного неотрицательного числа.

Сформулируем с вами в тетрадях такое определение

Определение. Квадратным корнем из комплексного числа w называется комплексное число z такое, что .

Например, числа i и – i являются значениями квадратного корня из числа –1, потому что по определению числа i , и .

Квадратные корни из числа w обозначаются как . Позже будет показано, что если , то w имеет только два различных значения, которые противоположны друг другу. С учетом этого для квадратного корня из числа –1 можем записать равенство

Получается, из любого числа мы умеем извлекать квадратный корень: как из действительного, так и из комплексного. Давайте сформулируем и запишем с вами основную теорему алгебры и следствия из нее.

Вопрос. Как показать, что значением квадратного корня из числа 0 является единственное число?

(По определению . Возведя в квадрат получим, что и . Следовательно a = 0 и b = 0, т.е. z = 0.)

Рассмотрим на примере, как можно находить значения квадратных корней из комплексного числа.

Решение . Пусть комплексное число z = x + yi , где x и y – действительные числа, удовлетворяет равенству . Так как , то выполняется равенство , откуда

по определению равенства двух комплексных чисел. Из последнего равенства следует, что и y = 3 x . Подставляя данное выражение для y в равенство , приходим к уравнению

Обозначим x 2 = m . Тогда , откуда . Решая это квадратное уравнение, находим m ₁ = –9, m ₂ = 1.

При m = –9 для x получаем уравнение , которое действительных корней не имеет.

При m = 1 для x получаем уравнение x 2 = 1, откуда

Таким образом, значениями квадратного корня из числа w = –8+6 i являются два числа . Кратко это можно записать в виде

Совместно с учащимися формулируется алгоритм нахождения квадратного корня из комплексного числа и записывается в тетради

Теорема (формула вычисления корня из комплексного числа) Пусть z = a + ib — отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z, а иных квадратных корней из z не существует.

Возможность извлечения квадратного корня из любого комплексного числа, в том числе и из любого действительного числа, приводит к тому, что каждое квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет корни.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Для нахождения корней сначала выделим полный квадрат в левой части:

В результате уравнение можно записать в виде

Так как , то далее возможны два случая.

Пример 3 . Решить уравнение .

Решение . Сначала разделим все коэффициенты на 1+ i :

В результате приходим к уравнению . Затем, как и в предыдущем примере, выделим в левой части полный квадрат:

В итоге получим уравнение .

Для нахождения его корней сначала вычислим , как это было показано. Пусть . Тогда , откуда . Из последнего уравнения . Подставляя в уравнение , получаем . Отсюда, с учетом того, что , находим . Следовательно,

Вопрос. Сколько корней в множестве комплексных чисел имеет уравнение ? (Четыре. . Каждый из сомножителей имеет два корня.)

Преобразования, которые выполнялись на конкретных примерах, можно проделать и в общем виде для уравнения , где a , b , c – комплексные числа, причем . Итогом этой работы будет формула .

В полученной формуле под знаком корня стоит хорошо знакомое выражение , которое является дискриминантом квадратного уравнения. Так как в множестве комплексных чисел квадратный корень из ненулевого числа принимает два значения, то при полученная формула задает два различных корня квадратного уравнения.

Совместно с учащимися формулируется алгоритм нахождения корней квадратного уравнения и записывается в тетради.

Открытие такого важного знания о комплексных числах, позволило применять его в анализе цепей переменного тока. Так, например, первый закон Кирхгофа в комплексной форме звучит так: алгебраическая сумма комплексных действующих значений токов в узле равна нулю:

Этап 5. Систематизация знаний (15 мин)

Давайте теперь вернемся к нашему уравнению, решить которое мы сначала не смогли и найдем его корни. (Учащиеся находят комплексные корни уравнения)

А теперь закрепим полученные знания выполнением небольшой самостоятельной работы.

Выбрать из предложенных вариантов ответов правильные. Правильных ответов может быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные.

Сколько существует квадратных корней из 2 на множестве комплексных чисел?

Видео:Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Рассматривать будем на таком примере:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

, ,

В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

Решим квадратное уравнение .

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

– сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:

Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

Видео:Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чиселСкачать

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .

У уравнения типа есть ровно n корней z₀, z₁, z₂, … z_n_-1, которые можно вычислить с помощью формулы:

где – это модуль комплексного числа w,

φ – его аргумент,

а параметр k принимает значения: .

Найдем корни уравнения: .

Перепишем уравнение как: .

В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z₀ и z₁. Детализируем общую формулу:

, .

Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число w находится в 1-ой четверти, значит:

Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

Детализируем еще немного общую формулу:

, .

Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

Ответ: ,

Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?

Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.