трехчленные уравнения и уравнения вида
(ax + b)(ax + b + c)(ax +
+ b + 2c)(ax + b + 3c) = d , левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:
 | Трёхчленные уравнения |
| Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии |
| Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени |
| Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени |
| Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени |
Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .
- Трехчленные уравнения
- Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
- Методы решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводящихся
- Алгебра
- Квадратные уравнения
- Определение квадратного уравнения
- Решение квадратного уравнения
- Уравнения, сводящиеся к квадратным
- Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений
- Теорема Виета
- Разложение квадратного трехчлена на множители
- Дробно-рациональные уравнения
- 🌟 Видео
Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
Трехчленные уравнения
Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида
| a f 2 (x)+ b f (x) + c = 0, | (1) |
а также уравнения вида
 | (2) |
где a, b, c – заданные числа, а f (x) – некоторая функция.
Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим
| y = f (x), | (3) |
тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :
| ay 2 + by + c = 0 . | (4) |
Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .
Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.
Покажем, как это осуществляется на примерах.
Пример 1 . Решить уравнение
| (x 2 – 2x) 2 – – 2(x 2 – 2x) – 3 = 0 . | (5) |
Решение . Если обозначить
| y = x 2 – 2x , | (6) |
то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение
| y 2 – 2y – 3 = 0 . | (7) |
В первом случае из равенства (6) получаем:
Во втором случае из равенства (6) получаем:
Пример 2 . Решить уравнение
 | (8) |
Решение . Если обозначить
 , | (9) |
то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
| 2y 2 – 3 y – 2 = 0 . | (10) |
В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:
Во втором случае из равенства (9) получаем:
Ответ : 
Пример 3 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
 | (12) |
то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
| y 2 – 5y – 6 = 0 . | (13) |
В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:
Во втором случае из равенства (12) получаем:
Ответ : 
Пример 4 . Решить биквадратное уравнение
| x 4 – x 2 – 12 = 0 . | (14) |
Решение . Если обозначить
| y = x 2 , | (15) |
то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение
| y 2 – y – 12 = 0 . | (16) |
В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (15) получаем:
Пример 5 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
| y = x 2 – 3x, | (18) |
уравнение (17) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
| y 2 + 2y – 8 = 0 . | (19) |
В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (18) получаем:
Ответ : 
Пример 6 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
 , | (21) |
уравнение (20) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
| 3y 2 – 2y – 1 = 0 . | (22) |
В первом случае из равенства (21) получаем уравнение
Во втором случае из равенства (21) получаем:
Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
| (ax + b)(ax + b + + c)(ax + + b + 2c)(ax + + b + 3c) = d , | (23) |
где a, b, c, d – заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b , а разность равна c .
Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.
| y = ax + b. | (24) |
Тогда уравнение (23) примет вид:
| y (y + c)(y + + 2c)(y + 3c) = d . | (25) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:
| [y (y + 3c)][(y + + c)(y + 2c)] = d . | (26) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:
| [y 2 + 3cy][y 2 + + 3cy + 2c 2 ] = d . | (27) |
Если теперь в уравнении (27) обозначить
| z = y 2 + 3cy , | (28) |
то уравнение (27) станеи квадратным уравнением
| z 2 + 2c 2 z – d = 0 . | (29) |
Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно x .
Пример 7 . Решить уравнение
| (2x + 3)(2x + 5)(2x + + 7)(2x + 9) = 384 . | (30) |
Решение .Если обозначить
| y = 2x + 3, | (31) |
уравнение (30) превращается в уравнение
| y (y + 2)(y + + 4)(y + 6) = 384 . | (32) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):
| [y (y + 6)][(y + + 2)(y + 4)] = 384 . | (33) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:
| [y 2 + 6y][y 2 + + 6y + 8] = 384 . | (34) |
Если теперь обозначить
| z = y 2 + 6y , | (35) |
то уравнение (34) станет квадратным уравнением
| z 2 + 8 z – 384 = 0 . | (36) |
В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:
которое корней не имеет.
Во втором случае из равенства (35) получаем:
В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:
Во втором случае из равенства (31) получаем:
Ответ : 
Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Методы решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводящихся
Разделы: Математика
Планируя урок, мы рассматриваем его как целостную совокупность ориентированных на достижение определенной цели взаимодействующих управленческих функций, выполняемых одновременно или в некоторой последовательности. К этим управленческим функциям относятся:
планирование, то есть определение целей и средств их достижения;
организация, то есть создание и совершенствование взаимодействия между управляемой и управляющей системами для выполнения планов;
контроль, то есть сбор информации о процессе выполнения намеченных планов;
регулирование, то есть корректировка планов и процесса их реализации;
анализ, то есть изучение и оценка процесса результатов выполнения планов.
Этот вопрос можно решить при помощи организации уроков “по вертикали”, то есть уроков, на которых работают подгруппы разных классов, что позволяет старшим детям обратиться к ранее изученному материалу на другом качественном уровне, а младшим школьникам в диалоге со старшими товарищами систематизировать изученный материал и обобщить способы действия с ним. Варианты таких уроков:
– “Признаки равенства треугольников” в 7-м классе и “Признаки подобия треугольников” в 8-м классе;
– “Площади” в 8-й классе и “Площадь поверхности многогранников” в 11-й классе;
– “Формулы сокращенного умножения” в 7-м классе и “Действия с алгебраическими дробями” в 8-м классе; и т. д.
Одним из таких уроков является урок по теме “Методы решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводящимся”, который проводится по окончании изучения темы “Квадратные уравнения” в 8-м классе и в теме “Повторение” в 11-м классе. Уравнения и неравенства – наиболее распространенные типы задач, решаемых учащимися в школе. По сложившейся традиции эти задачи всегда предлагаются и на школьных выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы. В связи с тем, что изменяется форма проведения экзаменов в виде тестов, возникает еще одна проблема: надо научить учащихся быстро находить правильный ответ.
Цель урока: Использовать квадратное уравнение как модель, описывающую различные зависимости между величинами.
научить учащихся использовать данную модель для планирования своей работы;
анализировать математическую модель с точки зрения поиска рациональных методов решения;
формировать целостное представление о применении данной математической модели;
показать применение данной математической модели в других темах математики.
Данному уроку предшествовал урок – зачет, когда учащиеся 8-го класса отвечали на заранее определенные вопросы учащимся 11-го класса, работая в парах:
1. Какие уравнения называются квадратными?
2. Какое квадратное уравнение называется полным, неполным?
3. Какое уравнение называется приведенным, не приведенным?
4. Является ли квадратным каждое из следующих уравнений: 
5. Решите уравнения:
а) 3х 2 –21=0 б) 0,5х 2 –2=0 в) 5х 2 –8х=0
6. Может ли уравнение вида ах 2 +с=0 не иметь действительных корней?
7. Может ли неполное квадратное уравнение быть приведенным?
8. Какое выражение называется дискриминантом?
9. Напишите формулы для нахождения корней квадратного уравнения.
10. Решите квадратные уравнения:
а) 3х 2 –5х+2=0 б) 3m 2 x 2 –mx–4=0 в) (m+n)y 2 –2my+m–n=0
11.Решите относительно z уравнение: (a–z):(1–az)=(1–bz):(b–z)
12. Как по дискриминанту определить, сколько и каких корней имеет квадратное уравнение?
13.Как читается теорема Виета?
14. Как читается обратная теорема Виета?
15. Как, не решая уравнения, определить знаки его корней?
16. Каков порядок составления квадратных уравнений по известным его корням?
17. Один из корней уравнения х 2 – 6х – q = 0 больше другого на 2. Найдите q.
18. Определите знаки корней, не решая уравнений:
a) 4х 2 –11х+7=0 б) Зх 2 – 8х + 6 =0 в) 9х 2 – 6х + 1 = 0 г) х 2 + 2х – 15 = 0
19. Найдите корни уравнений, воспользовавшись теоремой Виета:
а) х 2 – х – 6 = 0 б) z 2 +2az–8a 2 =0
20. При каком условии сумма корней уравнения х 2 + рх + q = 0 равна их произведению?
21. Что называют квадратным трехчленом?
22. Как разложить квадратный трехчлен на множители?
23. Разложите на множители трехчлены: 2х 2 + 5х – 3; х 2 – х – 56.
24. Какие уравнения называются биквадратными?
Второй этап работы – урок–обобщение, когда при той же парной работе материал темы был систематизирован в схемах и таблицах, которые далее прилагаются к материалам. Эти таблицы определяют основное содержание структуры всей темы, в них включены формулы рационального счета, не пользующиеся широкой известностью, но часто спасающие учащихся на вступительных экзаменах в вузы от громоздких вычислений и экономящих время на решение более сложных задач.
Третий этап – повторительно-обобщающий урок, где реализуется работа с моделью квадратного уравнения.
Рассмотрим реализацию основных направлений учебно-управленческих умений на предлагаемом уроке:
Планирование осуществлялось через:
справочник, где материал систематизирован в схемах и таблицах, которые определяют основное содержание структуры всей темы;
работу с одной моделью;
использование модели для планирования своей работы;
формирование целостного представления о применении данной модели.
Организация осуществлялась при помощи:
работы в парах;
четкой постановки целей.
1. Обобщить и повторить методы решения квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к ним.
2. Увидеть использование этих методов при решении уравнений в других темах алгебры старших классов.
Для 11-го класса:
1. Повторить рациональные методы решения квадратных уравнений и уравнений, сводящимся к ним, для подготовки к тестированию по алгебре и началам анализа.
2. Разделить обязанности при работе над уравнением.
решения восьмиклассников проверяют старшеклассники, а одиннадцатиклассники рассказывают, как они решают незнакомые для восьмиклассников уравнения (взаимоконтроль);
проверка решения группы (пары) всеми учащимися.
через систему жетонов;
безнаказанность ошибочного решения;
поощрение верных идей по поиску рациональных способов решения, по поиску ошибки.
анализ модели с точки зрения поиска рациональных способов решений;
подведение итогов урока: Что узнали восьмиклассники? Что узнали одиннадцатиклассники? Что дала работа в парах?
На уроке учащиеся работают парами восьмиклассник — одиннадцатиклассник, задачей которых является быстро и правильно отвечать на поставленные вопросы и зарабатывать баллы, из которых в конце урока складывается их совместная оценка.
Какие виды квадратных уравнений вам известны?
Учащиеся перечисляют известные им виды уравнений и получают задание: заполнить таблицу, распределив уравнения по видам.
Уравнение
Полное
Неполное
Приведенное
7х 2 +9х+2=0
y 2 –3у–4=0
ax 2 –1=0
x 2 – 5? x? =0
m 2 + 
–5=0
6x 2 +x=0
x 2 –3x–5–
=0
5m 2 +2(
–1)m+7=0
8x 2 –0,75=0,53
x 2 :3=3
2p 2 –3? p? –2=0
Таблицу заполняют учащиеся 8-го класса, а учащиеся 11-го класса производят контроль. У доски одна пара выполняет такую же работу, затем класс проверяет правильность заполнения таблицы.
II. Занятие проводится в форме аукциона. Товаром на аукционе являются уравнения. Каждая пара, согласовав свое решение, может купить лот, стоимость которого от 1 до 5 баллов. Тот, кто дает максимальную цену, рассказывает решение уравнения, зарабатывая стоимость лота. В случае ошибочного решения часть баллов снимается.
Предлагается устно решить уравнение х 2 – 8х – 20 = 0. Учитель предлагает купить лот, не показывая вида уравнения. Кто из учащихся первым дает большее количество баллов, тот становится покупателем. К доске выходит пара. восьмиклассник подробно объясняет решение уравнения, а одиннадцатиклассник следит за решением, и если есть замечания, то дополняет.
Выставляется на продажу задание: Определяя, имеет ли квадратное уравнение 2х 2 + 5х – 7 = 0 корни, учащиеся дали два решения:
1). Так как а = 2, b = 5, с= 7, D= 81, D > 0, значит, уравнение имеет два корня.
2). Так как а > 0, с 0.Уравнение имеет два корня.
Кто решил верно?
К доске выходит пара, которая купила этот лот. Восьмиклассник комментирует решение, выбирает рациональный способ. Одиннадцатиклассник следит за ответом, помогает, поправляет.
Продается «кот в мешке».
На продажу выставляются 3 уравнения, которые надо решить рациональным способом, но лот предлагается купить, не видя уравнений.
1). 1999у 2 –1997у–2=0
Ученик должен решить его так:
Т.к. 1999 + (–1997) + (–2) = 0, то у1 = 1, у2 = с/а, т.е. у2 = –2/1999.
2). 67х 2 –106х–173=0
Ученик должен решить его так:
3). 2z 2 –11z + 12 = 0
Ученик должен рассуждать так: 2z 2 –11z+12=0, z 2 – 11z + 24 = 0. По теореме, обратной теореме Виета т1 = 8, т2 = 3. Корни искомого уравнения будут равны: z1=8/2 =4 и z2=3/2=1,5
Разыгрываются два уравнения, которые предлагаются решить всем письменно рациональными способами. Каждое уравнение продается отдельно.
1. (х+5) 4 + 8(х+5) 2 –9=0
2. (4/49)у 2 + 9 + (12/7)у = 0
Две пары учащихся решают у доски эти уравнения.
Выставляется на продажу три уравнения. Каждая пара покупает одно из следующих уравнений, которое она должна решить
1. 2001sin 2 x – 2000sinx – 1 = 0
2. 
3. 
Каждое уравнение, кроме того, решается на доске парами, причем первую часть решения выполняет старшеклассник, рассказывая восьмикласснику о своих действиях, а квадратное уравнение решает восьмиклассник, одиннадцатиклассник же выполняет роль контролера.
Подводя итог урока, выясняется, что нового узнали восьмиклассники, а что одиннадцатиклассники? Что дала работа в парах? Домашнее же задание дает возможность еще раз проанализировать работу на уроке, придумав уравнения по данной теме.
Еще в “Великой дидактике” Яном Амосом Коменским было заявлено, что альфой и омегой школы должно быть изыскание способа, при котором учащие меньше бы учили, а учащиеся больше бы учились. Реализация программы общеучебных умений является движением к новой парадигме познавательной компетентности, переходом школы от декларации “учись учиться” к реальному освоению учениками целостной системы методов познания.
Таблица для распознавания знаков корней
Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Алгебра
Видео:Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать
Квадратные уравнения
План урока:
Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать
Определение квадратного уравнения
Изучая понятие многочленов, мы познакомились с квадратными трехчленами. Так называют полином 2-ой степени, содержащий только одну переменную. Если его приравнять к нулю, то получится квадратное уравнение. Дадим определение квадратному уравнению:
Приведем несколько конкретных примеров:
- 5х 2 + 4х + 7 = 0
- – 3х 2 + х – 1,5 = 0
- 0,05х 2 + 99,568х – 47,21 = 0
Числа a, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. Отметим, что числа b и c могут равняться нулю, и в этом случае соответствующее слагаемое просто не записывается:
Эти уравнения именуют неполными.
Если же коэффициент а=0, то получается линейное уравнение, которое мы уже умеем решать:
Естественно, что для обозначения переменной может использоваться любая буква, а не только х:
- у 2 + 3,5х – 93 = 0
- – 32z 2 + 11z – 78 = 0
Для обозначения коэффициентов могут использоваться специальные термины:
- а – старший коэффициент;
- b– второй коэффициент;
- с – свободный член.
Неполные квадратные уравнения можно очень легко решить. Сначала рассмотрим пример, в котором b = 0:
Перенесем вправо свободный коэффициент:
Далее поделим на старший коэффициент обе части равенства:
Понятно, что х равен квадратному корню из 9. Напомним, что у каждого положительного числа есть два квадратных корня! Один из них является положительным числом и называется арифметическим, а другой противоположен ему по знаку. Поэтому можно записать, что
Иногда используют более короткую запись:
Не любое квадратное уравнение, у которого нет второго коэффициента b, будет иметь решение. Рассмотрим уравнение
Будем решать его таким же путем, перенося свободный коэффициент c вправо и деля уравнение на старший коэффициент a:
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, данное уравнение не будет иметь корней.
Сформулируем общий алгоритм решения неполных квадратных уравнений такого типа:
Теперь изучим неполные уравнения, в которых нет свободного слагаемого с. Рассмотрим их на примере:
Слева вынесем переменную х за скобки:
Теперь слева находится произведение двух множителей, а справа – ноль. Очевидно, что произведение может равняться нулю лишь в том случае, когда один из составляющих его множителей (х или 7х + 21) является нулем.
Зная это, запишем:
х = 0 или 7х + 21 = 0
Получили корень х = 0 и ещё одно линейное уравнение, которое легко решить:
В результате имеем два корня: 0 и – 3
Опишем общий алгоритм решения этих неполных уравнений:
Видео:Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать
Решение квадратного уравнения
Найти решение квадратного уравнения, если оно полное, достаточно тяжело. Нам поможет формула квадрата суммы:
(а + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Напомним, что с ее помощью можно разложить на множители некоторые квадратные полиномы:
х 2 + 8х + 16 = х 2 + 2•4•х + 4 2 = (х + 4) 2
Конечно, здесь нам повезло с квадратным трехчленом – его коэффициенты позволяли воспользоваться формулой квадрата суммы. Однако похожие преобразования можно выполнить и тогда, когда коэффициенты не такие удобные:
х 2 + 8х + 20 = х 2 + 8х + 16 + 4 =(х 2 + 8х + 16) + 4 = (х 2 + 2•4•х + 4 2 ) + 4 =
Здесь мы разложили число 20 на сумму 16 + 4, чтобы можно было часть выражения «свернуть» формулой квадрата суммы. Такой прием можно применить вообще к любому квадратному трехчлену:
4х 2 + 10х + 4 = (2х) 2 + 2•2х•2,5 + 2,5 2 – 2,5 2 + 4 = (2х + 2,5) 2 – 2,5 2 + 4 =
= (2х + 2,5) 2 – 6,25 + 4 = (2х + 2,5) 2 – 2,25
Здесь мы добавили к трехчлену слагаемое 2,5 2 и тут же его отняли. Оно было необходимо для получения формулы квадрата суммы.
Отметим, что подобное свертывание можно использовать для решения квадратного уравнения. Действительно, пусть дано уравнение
4х 2 + 10х + 4 = 0
Выше мы уже преобразовали трехчлен, стоящий слева. Произведем замену:
(2х + 2,5) 2 – 2,25 = 0
Имеем уравнение, очень похожее на неполное, где отсутствует коэффициент b. Попробуем его решить аналогичным путем:
Из этой записи мы получили два линейных уравнения:
2х + 2,5 = – 1,5 или 2х + 2,5 = 1,5
Решая их, находим два корня:
2х = – 1,5 – 2,5 или 2х = 1,5 – 2,5
2х = – 4 или 2х = – 1
х = – 2 или х = – 0,5
Аналогично можно решить и любое другое полное квадратное уравнение. Однако проще пользоваться специальными формулами, в которые надо подставлять значения коэффициентов a, b, с и получать корни квадратного уравнения. Выведем эти формулы.
Пусть есть уравнение
Поделим обе части уравнения на коэффициент а:
Далее надо выделить квадрат суммы, что бы потом свернуть его по формуле сокращенного умножения:
Далее обозначим числитель в правой части (b 2 – 4ac) буквой D. Эту величину называют дискриминантом квадратного уравнения.
Перепишем уравнение с учетом этой замены:
Далее рассмотрим три случая:
- D 2 – заведомо положительное число). Слева стоит квадрат выражения, а он никак не может оказаться отрицательным. В итоге имеем, что при отрицательном дискриминанте у уравнения отсутствуют корни.
- D = 0. При таком варианте справа получается ноль:
Квадрат только одного числа равен нулю – самого нуля, поэтому
Итак, при нулевом дискриминанте у уравнения есть только один корень.
- D> 0. В этом варианте дробь справа оказывается положительным числом, а потому у нее есть два квадратных корня. Решение будет выглядеть так:
Полученное выражение называют основной формулой корней квадратного уравнения.
Если дискриминант – положительное число, то уравнение существует два корня. Для вычисления первого из них надо в формуле квадратного уравнения вместо знака ± поставить минус, а для вычисления второго – знак плюс. Часто 1-ый корень обозначают как х1, а 2-ой – как х2. Заметим, что если D = 0, то при подстановке в основную формулу будет получаться один и тот же корень независимо от выбора знака плюс или минус.
Пример. Решите уравнение
2х 2 – 5х – 3 = 0
Решение. Выпишем коэффициенты уравнения
Вычислим значение дискриминанта:
D = b 2 – 4ас = (– 5) 2 – 4•2•(– 3) = 25 + 24 = 49
Так как он больше нуля, то должно получиться два корня. Их можно найти по основной формуле квадратного уравнения:
Пример. Найдите все корни уравнения
3х 2 + 6х + 5 = 0
Решение. Найдем дискриминант:
D = b 2 – 4ас = 6 2 – 4•3•5 = 36 – 60 = – 24
Дискриминант оказался отрицательным, значит, и корней у уравнения нет.
Ответ: нет корней.
Пример. Найдите значения х, при которых выполняется равенство
4х 2 – 12х + 9 = 0
Решение. Вычислим дискриминант:
D = (– 12) 2 – 4•4•9 = 144 – 144 = 0
Так как D = 0, существует лишь один корень:
Пример. Найдите значения у, при которых справедливо равенство
2у 2 + 4у + 9 = у 2 + 11у + 3
Решение. На первый взгляд это уравнение не похоже на изучавшие до этого квадратные уравнения. Однако слагаемые, записанные справа, можно перенести влево, после чего можно будет привести подобные слагаемые:
2у 2 + 4у + 9 = у 2 + 11у + 3
2у 2 + 4у+ 9–у 2 – 11у– 3 = 0
Получили классическое квадратное уравнение, для которого можно рассчитать дискриминант:
D = b 2 – 4ас = (– 7) 2 – 4•1•6 = 49 – 24 = 25
Найдем значения двух корней:
Видео:Решение уравнений сводящихся к квадратным уравнениям. Биквадратные уравнения – 8 класс алгебраСкачать
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Так как любое квадратное уравнение решается довольно легко, то другие, более сложные уравнения, часто пытаются свести к квадратным. Сначала рассмотрим так называемые биквадратные уравнения. Пусть надо решить уравнение
2х 4 –26х 2 + 72 = 0
На первый взгляд в левой части стоит полином четвертой, а не второй степени, то есть это уравнение не является квадратным. Введем переменную t, равную х 2 :
Если это выражение возвести в квадрат, то получим
t 2 = (х 2 ) 2 = х 4
Теперь заменим в исходном уравнении х 4 на t 2 , а х 2 на t:
2t 2 –26t + 72 = 0
Получили квадратное уравнение, из которого можно найти значение t. Посчитаем дискриминант:
D = (– 26) 2 – 4•2•72 = 676 – 576 = 100
Можно найти два значения t:
Однако нам надо найти значение х, а не t. Вспомним, что мы проводили замену
Подставляя вместо t найденные корни 4 и 9, получим ещё два уравнения:
Первое имеет корни (– 2) и 2, а второе (– 3) и 3. Все эти 4 числа являются корнями исходного уравнения
2х 4 – 26х 2 + 72 = 0
Уравнения, которые можно свести к квадратному заменой переменных t = x 2 , называют биквадратными уравнениями.
Мы рассмотрели пример, в котором биквадратное уравнение имело 4 корня. Однако порою их может быть и меньше.
Пример. Укажите все корни уравнения
у 4 + 4у 2 – 5 = 0
Решение. Данное уравнение подходит под определение биквадратного, а потому произведем замену t = y 2 :
D = 4 2 – 4•1•(– 5) = 16 – (– 20) = 36
далее проводим обратную замену и получаем уравнения:
Первое из них не имеет решения, ведь квадрат числа – это неотрицательное число. Поэтому решать придется только второе уравнение:
Подстановка t = x 2 самая простая и очевидная, однако, порою нужно выполнять более сложные подстановки.
Пример. Найдите все z, для которых выполняется условие
(z – 2)(z – 3)(z – 4)(z – 5) = 24
Решение.Замена неочевидна, и всё же попробуем такой вариант:
Тогда содержимое каждой скобки примет вид:
z– 2 = z– 3,5 + 1,5 = t + 1,5
z– 3 = z– 3,5 + 0,5 = t + 0,5
z– 4 = z– 3,5 – 0,5 = t–0,5
z– 5 = z – 3,5 – 1,5 = t–1,5
Уравнение примет вид:
(t + 1,5)(t + 0,5)(t – 0,5)(t – 1,5) = 24
Поменяем местами скобки:
(t – 0,5)(t + 0,5)(t – 1,5)(t + 1,5) = 24
Можно заметить, что в соседние скобки можно переписать, используя формулу разности квадратов:
(t 2 – 0,5 2 )(t 2 – 1,5 2 ) = 24
Для удобства произведем ещё одну замену s = t 2 :
(s– 0,5 2 )(s– 1,5 2 ) = 24
Раскроем скобки в левой части:
s 2 – 2,25s– 0,25s + 0,5625 = 24
s 2 – 2,5s + 0,5625– 24 = 0
s 2 – 2,5s– 23,4375 = 0
Получили классическое квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
D = (– 2,5) 2 – 4•1•(– 23,4375) = 6,25 + 93,75 = 100
Произведем 1-ую обратную замену t 2 = s:
Первое уравнение решений не имеет, а у второго ровно 2 корня:
Пришло время второй замены z– 3,5 = t, из которой получаем два уравнения:
z– 3,5 = – 2,5 или z– 3,5 = 2,5
z= – 2,5 + 3,5 или z= 2,5 + 3,5
Видео:Простая, но очень противная задача на окружности из ЕГЭ | Планиметрия 83 | mathus.ru #егэ2024Скачать
Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений
При рассмотрении задач, связанных с геометрией, свойствами чисел, движением тел, очень часто возникают квадратные уравнения.
Пример. Площадь прямоугольника составляет 126 см 2 , а одна из его сторон на 5 см длиннее другой. Каковы длины сторон этого прямоугольника?
Решение. Обозначим как k длину той стороны прямоугольника, которая меньше. Тогда протяженность второй стороны будет равна k + 5 см. Площадь прямоугольника – это произведение его сторон, а потому можно записать:
Решим это уравнение:
k 2 + 5k – 126 = 0
D = 5 2 – 4•1•(– 126) = 25 + 504 = 529
Первый корень равен (– 14). Однако ясно, что длина стороны прямоугольника не может измеряться отрицательным числом, поэтому этот корень надо отбросить. Остается только k = 9. То есть длина первой стороны равна 9 см. Вторая сторона равна k + 5, то есть 9 + 5 = 14 см.
Ответ: 9 и 14 см.
Пример. Сумма квадратов двух последовательных нечетных чисел составляет 290. Что это за числа?
Решение. Обозначим первое число как n. Нечетные числа чередуются с четными, поэтому следующим нечетным числом будет n + 2. Перепишем условие задачи в виде уравнения и найдем его корни:
n 2 + (n + 2) 2 = 290
n 2 + n 2 + 4n + 4 – 290 = 0
2n 2 + 4n – 286 = 0
D = 4 2 – 4•2•(– 286) = 16 + 2288 = 2304
Получили два решения. Если первое число равно – 13, то второе составит n + 2 = – 11. Если же n = 11, то второе число будет равно 13.
Ответ: – 13 и 11, либо 11 и 13.
Видео:Уравнения, сводящиеся к квадратным. Биквадратное уравнениеСкачать
Теорема Виета
Большое значения имеют уравнения, у которых старшим коэффициентом является единица. Математики называют их приведенными уравнениями.
Дадим несколько примеров приведенных квадратных уравнений:
- х 2 + 6х + 29 = 0
- у 2 – 7,54у + 87 = 0
- z 2 + 21z + 112 = 0
Название «приведенное» возникло из-за того, что каждое квадратное уравнение можно сделать приведенным, если поделить его части на коэффициент перед х 2 . Пусть есть уравнение
Поделим на 4 обе его части:
х 2 + 1,25х + 1,5 = 0
Для приведенного уравнения сформулирована теорема Виета, которая указывает на взаимосвязь его корней и коэффициентов:
Доказать это очень легко. Если у уравнения
существует два корня, то они вычисляются по формулам:
Найдем их сумму:
Аналогично можно посчитать и их произведение:
Естественно, если у уравнения не существует корней (D 2 – 8х + 15 = 0; корни (х1 и х2) равны 3 и 5, в чем можно убедиться подстановкой:
Перемножим корни и получим 3•5 = 15 (свободный член), при сложении корней получается 3 + 5 = 8 (второй коэффициент без минуса);
- у 2 + 13у + 42= 0, корни (– 6) и (– 7), произведение корней 42, сумма корней – 13;
- х 2 + 2х – 8 = 0, корни (– 4) и 2, их сумма равна (– 2), а произведение (– 8).
Справедливо и утверждение, известное как обратная теорема Виета:
Возьмем числа 4 и 9. Их сумма равна 13, а произведение 36, поэтому они являются корнями уравнения:
х 2 – 13х + 36 = 0
в чем можно убедиться, подставив их вместо х.
Пример. Учитель математики перед уроком составляет квадратные уравнения, причем стремится к тому, чтобы у них были целые корни (чтобы детям было просто считать). Подскажите ему пример уравнения, чьи корни равны 3 и 8.
Решение. Перемножим и сложим числа 3 и 8:
Соответственно, уравнением с корнями 3 и 8 будет
х 2 – 11х + 24 = 0
Ответ: х 2 – 11х + 24 = 0
Видео:Урок 99 Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям (8 урок)Скачать
Разложение квадратного трехчлена на множители
При решении уравнения
мы находим его корни. Однако отдельно выделяют и такое понятие, как корень многочлена. Так называют значение переменной, которая обращает полином в ноль.
Понятно, что для нахождения корней полинома второй степени следует решить квадратное уравнение.
Сначала рассмотрим трехчлены, у которых коэффициент при х 2 а равен 1. Предположим, что нам удалось разложить его на произведение двух линейных полиномов:
х 2 + bх + с = (х –s)(х –k)
где s и k– какие-то произвольные числа.
Выражение справа является произведением, а потому обращается в ноль только тогда, когда нулю равен один из множителей:
х – s = 0 или х – k = 0
Так как при х = s или х = k в ноль обращается правая часть тождества, то также должна обращаться и левая часть. Получается, что числа s и k – это корни трехчлена х 2 + bх + с.
Убедимся в этом, раскрыв скобки в правой части тождества:
(х –s)(х –k) = х 2 –kx–sx + sk = х 2 – (k + s)х + sk
подставим это выражение в исходное равенство:
х 2 + bх + с = (х – s)(х — k) = х 2 – (k + s)х + sk
х 2 + bх + с = х 2 – (k + s)х + sk
Получается, произведение s и k дает свободный член, а их сумма в точности равна коэффициенту при х, взятому со знаком минус. Значит, по теореме Виета, они являются корнями уравнения!
Обозначим корни уравнения как х1 и х2. Если у трехчлена коэффициент а отличен от единицы, то эта формула (ее называют формулой разложения квадратного трехчлена на множители) примет несколько иной вид:
То есть справедливо утверждение:
А теперь и докажем его.
Пусть есть уравнение ах 2 + bx + c = 0 с корнями х1 и х2. Поделим его на а:
х 2 + (b/a)х + с/а = 0
по теореме Виета можно записать:
Умножив первое тождество на (– а), а второе наа, получим
Осталось подставить эти равенства в исходный многочлен:
Для чего же мы доказывали эту теорему? С ее помощью можно выполнить разложение квадратного трехчлена на множители. Проиллюстрируем это на примерах.
Пример. Разложите полином
2х 2 + 12х – 14
на множители.
Решение. Для начала следует решить уравнение 2х 2 + 12х – 14 = 0:
D = 12 2 – 4•2•(– 14) = 144 + 112 = 256
Найдя х1 и х2, можем выполнить и разложение:
2х 2 + 12х – 14 = 2(х – 1)(х – (– 7)) = 2(х – 1)(х + 7)
Ответ: 2(х – 1)(х + 7)
Пример. Упростите выражение
Решение. На первый взгляд кажется, что сокращать нечего. Однако и в числителе, и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Разложим их на множители, решив соответствующие уравнения:
D = 2 2 – 4•1•(– 15) = 4 + 60 = 64
h 2 – 2h– 15 = (h+ 5)(h– 3)
Теперь раскладываем второй полином:
D = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
Соответственно, можно записать:
h 2 – 9h +18 = (h– 3)(h– 6)
А теперь подставим в исходную дробь полученные выражения:
Отметим, что если у полинома второй степени нет корней, то и разложить его на множители не получится.
Видео:Задание 20 ОГЭ математика 2024 2 часть. Кубические уравненияСкачать
Дробно-рациональные уравнения
Периодически приходится сталкиваться с уравнениями, где переменные присутствуют в знаменателе какой-нибудь дроби. Их называют дробно-рациональными уравнениями. Обычно их можно свести к более простому виду, но при этом следует учитывать ту особенность, что корень уравнения не должен обращать знаменатель в ноль.
Пример. Найдите решение дробно-рационального уравнения
Решение. Для начала перенесем дробь из правой части в левую, а потом приведем дроби к общему знаменателю:
Умножим уравнение на величину (х – 2)(х + 3)
(х + 1)(х – 2) + 10х – 4(х + 3) = 0
х 2 – 2х + х – 2 + 10х – 4х – 12 = 0
D = 5 2 – 4•1•(– 14) = 25 + 56 = 81
Казалось бы, мы нашли два корня: 2 и (– 7). Однако в исходном уравнении в знаменателе стоит выражение (х – 2)(х – 3). При х = 2 оно обращается в нуль, то есть дробь потеряет смысл. Поэтому корень 2 следует отбросить, и остается лишь корень (– 7)
🌟 Видео
АЛГЕБРА 8 класс : Решение неполных квадратных уравнений | ВидеоурокСкачать
Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Алгебра 8. Решение уравнений, сводящихся к квадратнымСкачать
Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать
Квадратный корень. 8 класс.Скачать
Тема 13. Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениямСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№27 - Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.)Скачать
