Решение комплексных уравнений в показательной форме (8 видео)

Решение комплексных уравнений в показательной форме

Квадратный корень из комплексного числа

Корни четвертой и пятой степени

Возведение в степень

Мнимая и действительная часть

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):

Содержание

Правила ввода выражений и функций
Где учитесь?
Решение уравнений с комплексными числами
Показательная форма комплексного числа
Формула Эйлера
Показательная форма записи комплексного числа
Операции с комплексными числами в показательной форме
🎬 Видео

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Видео:Показательная форма комплексного числаСкачать

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Показательная форма комплексного числа

Видео:Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа: Действия и Бонус | Высшая математикаСкачать

Формула Эйлера

Пусть $z=a+b i$ — некоторое комплексное число. По определению полагают, что

Если число $z$ — действительное, то есть $z=a=a+0 cdot i$, то

Если число $z$ — чисто мнимое, то есть $z=b i=0+b i$, то

Таким образом, имеем равенство

которое называется формулой Эйлера.

Видео:Перевод комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую, показательнуюСкачать

Показательная форма записи комплексного числа

Рассмотрим произвольное комплексное число, записанное в тригонометрической форме: $z=|z|(cos phi+i sin phi)$. По формуле Эйлера

Следовательно, любое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:

Задание. Записать комплексное число $z=3-4 i$ в показательной форме.

Видео:Показательная форма записи комплексного числаСкачать

Операции с комплексными числами в показательной форме

Такая форма представления позволяет дать наглядную интерпретацию операциям умножения комплексных чисел, их деления и возведения комплексного числа в степень. Например, умножение комплексного числа $z_=left|z_right| e^<i phi_>$ на комплексное число $z_=left|z_right| e^<i phi_>$ выглядит следующим образом:

То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.

Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа $z_=left|z_right| e^<i phi_>$ на комплексное число $z_=left|z_right| e^<i phi_>$ :

Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.

Для возведения комплексного числа $z$ в целую степень $n$ нужно представить это число в показательной форме $z=|z| e^$, модуль возвести в степень, а аргумент увеличить в $n$ раз: