Решение иррационального уравнения сводящегося к квадратному

План урока:

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Видео:8 класс, 38 урок, Иррациональные уравненияСкачать

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Видео:Иррациональное уравнение на 2 минутыСкачать

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Видео:Решение уравнений сводящихся к квадратным уравнениям. Биквадратные уравнения – 8 класс алгебраСкачать

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Видео:Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shortsСкачать

Решение иррациональных уравнений, сводящихся к квадратным

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного образования детей дом детского творчества

г. Зверева Ростовской области

Решение иррациональных уравнений,

сводящихся к квадратным

Работа педагога дополнительного

Куца Фёдора Ивановича

1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй

I способ решения (метод подстановки);

II способ решения ( возведение обеих частей уравнения в квадрат ).

2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени:

I способ решения (метод подстановки);

II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).

III способ решения (уединение корня).

3) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких

4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней

1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй степени.

I способ решения(метод подстановки)

Пример 1. 2х 2 + 3х — 5 + 3 = 0. (1)

Решение. Если обозначить у = (у ≥ 0), тогда = у 2 — 9, то уравнение (1)

превратится в квадратное:

у 2 — 9 — 5у + 3 = 0, у 2 — 5у – 6 = 0.

у ₁ = — 1 не удовлетворяет условию у ≥ 0

Возвращаясь к переменной х, имеем: = 6,

2х 2 + 3х + 9 = 36,

2х 2 + 3х — 27 = 0,

х _1,2 = = = .

х ₁ = = — = — 4,5; х ₂ = = 3.

Пример 2. — = 1.

Решение. Если обозначить у = , то исходное уравнение превратится в квадратное:

у 2 — ,

2у 2 – 3у – 2 = 0, корни которого у ₁ = 2, у ₂ = — .

.

Далее решаем уравнения: 1) = 2, = 4, х = 4 – 4х, 5х = 4, х = .

2) = — , нет корней в силу неотрицательности арифметического квадратного корня.

Корень исходного уравнения: х = .

Пример 3. = 3х + 8.

Решение. Пусть у = , где у ≥ 0, тогда х = 2 – у 2 , имеем уравнение у = 3(2 – у 2 ) + 8.

у _1,2 = = = , у ₁ =2, у ₂ = — .

у ₂ = — не удовлетворяет условию у ≥ 0, следовательно х = 2 – 2 2 = -2.

Корень исходного уравнения: х = -2.

II способ решения( возведение обеих частей уравнения в квадрат )

Пример 4. = х.

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем:

= х 2 , х + 2 = х 2 , х 2 — х — 2 = 0.

При х = — 1: = = 1, но 1 ≠ — 1, следовательно, корень х = — 1 — посторонний.

При х = 2: = = 2. Так как 2 = 2, то проверяемое число является корнем исходного уравнения.

Корень исходного уравнения: х = 2.

2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени.

I способ решения (метод подстановки).

Пример 5. – = 2.

Решение. Если обозначить у = , где у > 0, то получим уравнение 3у — = 2, которое при

умножении на у принимает вид: 3у 2 – 2у – 1= 0.

Корни уравнения: у ₁ = 1, у ₂ = — .

у ₂ = — не удовлетворяет условию у > 0. Возвращаясь к переменной х, имеем:

= 1, = 1, х – 1= 2х + 1, х = — 2.

Корень исходного уравнения: х = — 2.

II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).

Пример 6. — = 1.

Решение. Возводим обе части уравнения в квадрат:

= 1 2 ,

— 2 ∙ + = 1,

3х + 1 — 2 + х + 4 = 1,

4х + 4 = 2 ,

2х + 2 = .

Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:

=

4х 2 + 8х + 4 = ),

4х 2 + 8х + 4 = 3х 2 + 13х + 4,

При х = 0: = = — 1, но -1≠ 1, следовательно, х = 0 — посторонний корень.

При х = 5: = = = 4 – 3 = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = 5 – корень исходного уравнения.

Корень исходного уравнения: х = — 5.

III способ решения (уединение корня).

Пример 7. = 1.

Решение. Уединим один из радикалов:

= + 1.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

= ,

3 — 2х = — 2 1 + 1,

3 — 2х = 1 – х — 2 + 1,

2 = х – 1.

Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:

= ,

4(1 — х) = х 2 — 2х + 1,

4 — 4х = х 2 — 2х + 1.

При х = 1: = = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = 1 – корень исходного уравнения.

При х = -3: = = = 3 — 2 = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = -3 – корень исходного уравнения.

3) Уравнения, содержащие радикалы третьей степени.

Пример 8. 5 + — 6 = 0.

Решение. Пусть у = , тогда 5у 2 + у — 6 = 0, откуда у ₁ = 1, у ₂ = — .

Переходя к переменной х, имеем:

= 1, х = 1.

= — , х = — .

Корни исходного уравнения: х ₁ = 1, х ₂ = — .

4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней.

Пример 9. — + 2 = 0 .

Решение. Введем новую переменную у = , где у ≥ 0.

Получим уравнение: у — у 2 + 2 = 0; у 2 — у — 2 = 0; корни которого: у ₁ = -1, у ₂ = 2.

у ₁ = -1 не удовлетворяет условию у ≥ 0.

Возвращаясь к переменной х, имеем: = 2; 2х + 32 = 64; 2х = 32, х = 16

Корень исходного уравнения: х = 16.

Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. М.»Дрофа»,1999г.

Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск. НГМА,2003г.

Алгебра и начала анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / Ш.А. Алимов и др/-М. просвещение,2010г.

Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом /А.А. Черняк, Ж.А.Черняк,- Волгоград: Учитель,2012.

Математика. ЕГЭ- 2006,вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки. Ростов-на-Дону, Легион, 2005.

Краткое описание документа:

В работе рассмотрены некотроые виды иррациональных уравнений,при решении которых используется квадратное уравнение: 1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй степени: I способ решения (метод подстановки); II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат 2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени: Iспособ решения (метод подстановки); II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат). III способ решения (уединение корня). 3) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней 4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней

Видео:Алгебра 8. Решение уравнений, сводящихся к квадратнымСкачать

Иррациональные уравнения

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

В ходе этого занятия мы узнаем об уравнениях, в которых переменная стоит под знаком квадратного или другого корня, такие уравнения называются иррациональными. Мы приведём пример иррациональных уравнений, а также научимся их правильно решать.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

🎥 Видео

Как решать иррациональные уравнения. Методы решения иррациональных уравнений. (часть 1).Скачать

Уравнения, сводящиеся к квадратным. Биквадратное уравнениеСкачать

Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Целые рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям. 8 класс. 1 вариант.Скачать

Урок 99 Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям (8 урок)Скачать

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям (урок 2)Скачать

Иррациональные уравнения #1Скачать

Иррациональные уравнения, сводящиеся к квадратным. Урок 4.Скачать

Система иррациональных уравнений #1Скачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Целые рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям.Скачать