Решение интегральных уравнений и их системы

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) quad int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\ (II) quad u(x)=int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) quad int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\ (II) quad u(x)=int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=lambda int_0^1 (cos 2pi x +2x sin 2pi t +t sin pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^t^$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-lambda int_0^1 x y(t)dt = sin 2pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = frac sin |x-t| quad (0 le, x,t le pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Решение интегральных уравнений и их системы

Последние действия на сайте

Интегральное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Классификация интегральных уравнений

Линейные интегральные уравнения

Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:

где — искомая функция, f(x) , — известные функции, λ — параметр. Функция называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить еще на несколько видов.

Уравнения Фредгольма

Уравнения Фредгольма 2-го рода

Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: , а ядро и свободный член должны быть непрерывными: , либо удовлетворять условиям:

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если на , то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.

Уравнения Фредгольма 1-го рода

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят также, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

Уравнения Вольтерра

Уравнения Вольтерра 2-го рода

Уравнения Вольтерра отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:

Уравнения Вольтерра 1-го рода

Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерра 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:

В принципе, уравнения Вольтерра можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:

Однако некоторые свойства уравнений Вольтерра не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

Нелинейные уравнения

Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.

Уравнения Урысона

Постоянная M — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.

Уравнения Гаммерштейна

Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:

где — фредгольмово ядро.

Уравнения Ляпунова — Лихтенштейна

Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:

Нелинейное уравнение Вольтерра

где функция непрерывна по совокупности своих переменных.

Видео:Простейшие интегральные уравненияСкачать

Методы решения

Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.

Преобразование Лапласа

Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций:

то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:

Например, дано такое уравнение:

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:

Метод последовательных приближений

Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:

Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля — Неймана:

который и является решением уравнения. (K k f)(x) — k -ая степень интегрального оператора (Kf)(x) :

Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых | λ | .

Метод резольвент

Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.

Если ввести следующие обозначения:

то повторными ядрами ядра будут ядра :

Ряд, составленный из повторных ядер,

называется резольвентой ядра и является регулярно сходящимся при , и вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля — Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:

Например, для интегрального уравнения

повторными будут следующие ядра:

а резольвентой — функция

Тогда решение уравнения находится по формуле:

Метод сведения к алгебраическому уравнению

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть , само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:

где . Умножив предыдущее равенство на g_i(x) и проинтегрировав его по x на отрезке , приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел c_i :

где и — числовые коэффициенты.

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Приложения

Термин «интегральное уравнение» ввёл в 1888 году Дюбуа-Реймон, однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в 1811 году Фурье решил задачу об обращении интеграла, которая теперь носит его имя.

Формула обращения Фурье

Задача состоит в нахождении неизвестной функции f(y) по известной функции g(x) :

Фурье получил выражение для функции f(y) :

Сведение задачи Коши к интегральному уравнению

К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по t от a до t :

Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерра 2-го рода. Этим еще в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:

Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:

решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде:

Тогда для исходного уравнения получается:

— интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода.

a,» src=»http://upload.wikimedia.org/math/3/c/c/3cca9038417f8968682c783191e3f6c7.png» />

также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода.

Задача Абеля

Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:

где f(x) — заданная функция, а — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения).

У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:

Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав свое движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой x , достигла оси Oξ за время t = f₁(x) , где f₁(x) — заданная функция.

Если обозначить угол между касательной к траектории и осью Oξ как β и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению:

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Нахождение интегрируемых комбинаций.
Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№47 - Равносильность уравнений и систем уравнений.)Скачать

Нахождение интегрируемых комбинаций

Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений

состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида

где — некоторая функция от искомой функции . Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл . Если найдено независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено независимых первых интегралов, где , то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.

Пример 1. Решить систему

Решение. Складывая почленно оба уравнения, получаем

Вычитая почленно оба уравнения, получаем

Итак, найдены два первых интеграла данной системы

которые являются независимыми, так как якобиан отличен от нуля:

Общий интеграл системы (2)

Разрешая систему (3) относительно неизвестных функций, получаем общее решение системы (2):

Пример 2. Решить систему

Решение. Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем , откуда первый интеграл системы (4)

Подставив (5) во второе и третье уравнения системы (4), получим систему с двумя неизвестными функциями

Из второго уравнения системы (6) находим

Подставляя (7) в первое уравнение системы (6), будем иметь

Отсюда находим общее решение системы (4):

Пример 3. Найти частное решение системы

Решение. Запишем данную систему в виде

Складывая почленно последние уравнения, получаем

Отсюда находим первый интеграл . Так как , то второе уравнение системы примет вид , откуда . Итак,

откуда получаем общее решение

Полагая в этих равенствах, найдем , т.е. , и искомым частным решением будет

Пример 4. (разложение вещества). Вещество разлагается на два вещества и со скоростью образования каждого из них, пропорциональной количеству неразложившегося вещества. Найти закон изменения количеств и веществ и в зависимости от времени , если при имеем , а через час , где — первоначальное количество вещества .

Решение. В момент времени количество неразложившегося вещества равно . В силу условия задачи будем иметь

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим

При имеем , поэтому из последнего уравнения находим , а значит

Подставив (9) в первое уравнение системы, получим уравнение

Используя начальное условие , найдем , так что

Подставляя (10) в (9), будем иметь

Для определения коэффициентов и примем за единицу времени час. Учитывая, что при , из (10) и (10′) найдем

так что , и искомое решение системы (8)

Пример 5. (равновесие газов в сообщающихся сосудах). Пусть имеются для сосуда объемов и соответственно, наполненные газом. Давление газа в начальный момент времени равно в первом сосуде и — во втором. Сосуды соединены трубкой, по которой газ перетекает из одного сосуда в другой. Считая, что количество газа, перетекающего в одну секунду, пропорционально разности квадратов давлений, определить давления и в сосудах в момент времени .

Решение. Пусть — количество газа, перетекающего в единицу времени при разности давлений, равной единице. Тогда в течение времени из одного сосуда в другой протечет количество газа . Это количество равно убыли газа за время в одном сосуде и прибыли за то же время — в другом. Последнее выражается системой уравнений

где — постоянный коэффициент.

Вычитая почленно уравнения системы (II), получаем

Умножим обе части первого уравнения системы (11) на , а второго — на и сложим почленно:

Учитывая (12) и деля обе части (13) на , будем иметь

📹 Видео

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Решение интегральных уравнений операционным методомСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Курс по ИДУ: Численное решение интегральных уравнений | Занятие 14Скачать

Численное решение интегральных уравненийСкачать

Интегральные уравнения ВольтерраСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Уравнения Фредгольма - 1Скачать

Решение систем уравнений методом сложенияСкачать