Про уравнения - легко » Статьи

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Обновлено
Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Комплексные корни квадратного уравнения

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел (Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел)

1. Алгебраические уравнения первой степени:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел, Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел– единственный простой корень.

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

Ответ: Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

2. Квадратные уравнения:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел, Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел– всегда имеет два корня (различных или равных).

1) Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

Ответ: Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

2) Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

Ответ: Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

3) Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел, Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

Ответ: Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел, Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

3. Двучленные уравнения степени Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел, Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел– всегда имеет Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чиселразличных корней.

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел, Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел;

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел;

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

Ответ: Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел, Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

4. Решить кубическое уравнение Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

Уравнение третьей степени Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чиселимеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.

Подбором находим первый корень уравнения Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел, так как Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

По следствию из теоремы Безу Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел. Вычисляем это деление «в столбик»:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел_

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Представляя теперь многочлен Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чиселв виде произведения линейно и квадратного множителя, получим:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

Другие корни находим как корни квадратного уравнения: Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

Ответ: Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел, Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

5. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x1 = 3 и x2 = 1 + i являются его корнями, причем x1 является двукратным корнем, а x2 — простым.

Число Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чиселтоже является корнем уравнения, т.к. коэффициенты уравнения должны быть действительными.

Всего искомое уравнение имеет 4 корня: x1, x1, x2, Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел. Поэтому его степень равна 4. Составляем многочлен 4-й степени с нулями x1, x1, x2, Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чиселпо формуле (6):

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чиселÞ

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

Искомое уравнение имеет вид P4(x) = 0.

Ответ: Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение комплексного числа

2. Что называется комплексным числом?

3. Какое название или смысл имеет формула?

4. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

5. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

6. Что такое мнимая единица?

7. Что такое действительная часть комплексного числа z?

8. Что такое мнимая часть комплексного числа z?

9. Что такое комплексно сопряженное число?

10. Что такое противоположное число?

11. Что такое комплексный ноль?

12. Что такое чисто мнимое число?

13. Сформулируйте смысл комплексного равенства.

14. В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел?

15. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?

16. Что называется модулем комплексного числа?

17. Что такое аргумент комплексного числа?

18. Какое название или смысл имеет формула?

19. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

20. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

21. Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?

22. Какое название или смысл имеет формула?

23. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

24. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

25. Что называется алгебраической формой комплексного числа?

26. Что называется тригонометрической формой комплексного числа?

27. Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.

28. Какое название или смысл имеет формула?

29. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

31. Какое название или смысл имеет формула?

32. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

33. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

34. Какое название или смысл имеет формула?

35. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

36. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

37. Что такое формула Муавра?

38. Какое название или смысл имеет формула?

39. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

40. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

41. Что называется корнем степени n из комплексного числа?

42. Какое название или смысл имеет формула?

43. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

44. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

45. Что называется показательной формой комплексного числа?

46. Какое название или смысл имеет формула?

47. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

48. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

49. Что такое формулы Эйлера?

50. Какое название или смысл имеет формула?

51. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

52. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

53. Что называется целой функцией?

54. Что называется алгебраическим многочленом?

55. Что называется полиномом?

56. Что такое степень многочлена?

57. Что такое коэффициенты многочлена?

58. Что называется алгебраическим уравнением n-й степени?

59. Что называется нулем функции?

60. Что называется корнем уравнения?

61. Перечислите основные свойства многочленов.

62. Сформулируйте свойство о тождественном равенстве многочленов.

63. Сформулируйте свойство о делении многочлена на разность (x – х0).

64. Сформулируйте теорему теорема Безу.

65. Какое название или смысл имеет формула?

66. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

67. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

68. Сформулируйте свойство о существовании нуля многочлена.

69. Сформулируйте теорему теорема алгебры основная.

70. Какое название или смысл имеет формула?

71. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

72. ⌂ Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел.

73. Что называется k-кратным нулем многочлена?

74. Что называется простым нулем многочлена?

75. Сформулируйте свойство о количестве корней алгебраического уравнения.

76. Сформулируйте свойство о комплексных корнях алгебраического уравнения

77. с действительными коэффициентами.

78. Сформулируйте свойство о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

79. Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

k-кратным нулем многочлена называется. (стр. 18)

алгебраическим многочленом называется. (стр. 14)

алгебраическим уравнением n-й степени называется. (стр. 14)

алгебраической формой комплексного числа называется. (стр. 5)

аргумент комплексного числа это. (стр. 4)

действительная часть комплексного числа z это. (стр. 2)

комплексно сопряженное число это. (стр. 2)

комплексный ноль это. (стр. 2)

комплексным числом называется. (стр. 2)

корнем степени n из комплексного числа называется. (стр. 10)

корнем уравнения называется. (стр. 14)

коэффициенты многочлена это. (стр. 14)

мнимая единица это. (стр. 2)

мнимая часть комплексного числа z это. (стр. 2)

модулем комплексного числа называется. (стр. 4)

нулем функции называется. (стр. 14)

показательной формой комплексного числа называется. (стр. 11)

полиномом называется. (стр. 14)

простым нулем многочлена называется. (стр. 18)

противоположное число это. (стр. 2)

степень многочлена это. (стр. 14)

тригонометрической формой комплексного числа называется. (стр. 5)

Видео:Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чиселСкачать

Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .

Пример 1. Найти все корни уравнения

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чиселРешение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел
Подставим найденные значения в формулу:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Пример 2. Найти все корни уравнения

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Найдем дискриминант уравнения:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Найдем корни уравнения:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел
Ответ:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Пример 3. Найти все корни уравнения

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Подставим найденные значения в формулу:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел
Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел
Подставим найденные значения в формулу:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Решение двучленных уравнений в множестве комплексных чисел

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

📹 Видео

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чиселСкачать

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравнения

Комплексные числа в уравненияхСкачать

Комплексные числа в уравнениях

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

@Квадратные уравнение в комплексных числах #математикаСкачать

@Квадратные уравнение в комплексных числах #математика

Тригонометрическое уравнение: cos(z)=2, а при чём тут формула Эйлера?Скачать

Тригонометрическое уравнение: cos(z)=2, а при чём тут формула Эйлера?

Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?Скачать

Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?

Биквадратное уравнение. Комплексные корни.Скачать

Биквадратное уравнение. Комплексные корни.

Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости

✓ Задача про комплексное число | Ботай со мной #101 | Борис ТрушинСкачать

✓ Задача про комплексное число | Ботай со мной #101 | Борис Трушин

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис Трушин

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.

Уравнение с комплексными числамиСкачать

Уравнение с комплексными числами

Системы комплексных уравненийСкачать

Системы комплексных уравнений
Поделиться или сохранить к себе: