Решение дифференциальных уравнений в scipy (6 видео)

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в Python

Рассмотрены приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с помощью модуля scipy.integrate языка Python

Содержание

Краткое описание модуля scipy.integrate
Решение одного ОДУ
Решение системы ОДУ
Численное решение математических моделей объектов заданных системами дифференциальных уравнений
Введение:
Краткие теоретические и фактические данные по рассматриваемым методам и программным средствам для численного решения СДУ
Вычислительный эксперимент по определению абсолютной погрешности численного решения нелинейного дифференциального уравнения с использованием обеих функций def odein(),def oden() модуля scipy.integrate и адаптированного к Python методов Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга
Численный эксперимент по сравнению быстродействия численного решения СДУ при использовании функции ode с атрибутом dopri5 (метод Рунге – Кутты 5 порядка) и с использованием адаптированного к Python метода Рунге—Кутта— Фельберга
Решение краевой задачи с поточно разделёнными краевыми условиями
Вывод
Dynamics and Control
Solve Differential Equations with ODEINT
Exercises
Search
📸 Видео

Видео:Основы SciPy | Научные И Математические Вычисления На PythonСкачать

Краткое описание модуля scipy.integrate

Модуль scipy.integrate имеет две функции ode() и odeint(), которые предназначены для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с начальными условиями в одной точке (т.е. задача Коши).

Функция ode() более универсальная, а функция odeint() (ODE integrator) имеет более простой интерфейс и хорошо решает большинство задач.

Функция odeint() имеет три обязательных аргумента и много опций. Она имеет следующий формат

Видео:01.02. Модель SIR. Численное решение системы дифференциальных уравнений с помощью SciPyСкачать

Решение одного ОДУ

Допустим надо решить диф. уравнение 1-го порядка

Получилось что-то такое:

Видео:Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графикаСкачать

Решение системы ОДУ

Пусть теперь мы хотим решить (автономную) систему диф. уравнений 1-го порядка

Выходной массив w состоит из двух столбцов — y1(t) и y2(t).

Также без труда можно построить фазовые траектории:

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Численное решение математических моделей объектов заданных системами дифференциальных уравнений

Введение:

При математическом моделировании ряда технических устройств используются системы дифференциальных нелинейных уравнений. Такие модели используются не только в технике, они находят применение в экономике, химии, биологии, медицине, управлении.

Исследование функционирования таких устройств требуют решения указанных систем уравнений. Поскольку основная часть таких уравнений являются нелинейными и нестационарными, часто невозможно получить их аналитическое решение.

Возникает необходимость использовать численные методы, наиболее известным из которых является метод Рунге — Кутты [1]. Что касается Python, то в публикациях по численным методам, например [2,3], данных по применение Рунге — Кутты крайне мало, а по его модификации — методу Рунге-Кутта-Фельберга вообще нет.

В настоящее время, благодаря простому интерфейсу, наибольшее распространение в Python имеет функцию odeint из модуля scipy.integrate. Вторая функция ode из этого модуля реализует несколько методов, в том числе и упомянутый пятиранговый метод Рунге-Кутта-Фельберга, но, вследствие универсальности, имеет ограниченное быстродействие.

Целью настоящей публикации является сравнительный анализ перечисленных средств численного решения систем дифференциальных уравнений с модифицированным автором под Python методом Рунге-Кутта-Фельберга. В публикации так же приведены решения по краевым задачам для систем дифференциальных уравнений (СДУ).

Краткие теоретические и фактические данные по рассматриваемым методам и программным средствам для численного решения СДУ

Для одного дифференциального уравнения n – го порядка, задача Коши состоит в нахождении функции, удовлетворяющей равенству:

и начальным условиям

Перед решением эта задача должна быть переписана в виде следующей СДУ

(1)

с начальными условиями

Модуль имеет две функции ode() и odeint(), предназначенные для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с начальными условиями в одной точке (задача Коши). Функция ode() более универсальная, а функция odeint() (ODE integrator) имеет более простой интерфейс и хорошо решает большинство задач.

Функция odeint() имеет три обязательных аргумента и много опций. Она имеет следующий формат odeint(func, y0, t[,args=(), . ]) Аргумент func – это имя Python функции двух переменных, первой из которых является список y=[y1,y2. yn], а второй – имя независимой переменной.

Функция func должна возвращать список из n значений функций при заданном значении независимого аргумента t. Фактически функция func(y,t) реализует вычисление правых частей системы (1).

Второй аргумент y0 функции odeint() является массивом (или списком) начальных значений при t=t0.

Третий аргумент является массивом моментов времени, в которые вы хотите получить решение задачи. При этом первый элемент этого массива рассматривается как t0.

Функция odeint() возвращает массив размера len(t) x len(y0). Функция odeint() имеет много опций, управляющих ее работой. Опции rtol (относительная погрешность) и atol (абсолютная погрешность) определяют погрешность вычислений ei для каждого значения yi по формуле

Они могут быть векторами или скалярами. По умолчанию

Вторая функция модуля scipy.integrate, которая предназначена для решения дифференциальных уравнений и систем, называется ode(). Она создает объект ОДУ (тип scipy.integrate._ode.ode). Имея ссылку на такой объект, для решения дифференциальных уравнений следует использовать его методы. Аналогично функции odeint(), функция ode(func) предполагает приведение задачи к системе дифференциальных уравнений вида (1) и использовании ее функции правых частей.

Отличие только в том, что функция правых частей func(t,y) первым аргументом принимает независимую переменную, а вторым – список значений искомых функций. Например, следующая последовательность инструкций создает объект ODE, представляющий задачу Коши.

При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

При численном решении задачи Коши

(2)

(3)

по известному решению в точке t =0 необходимо найти из уравнения (3) решение при других t. При численном решении задачи (2),(3) будем использовать равномерную, для простоты, сетку по переменной t с шагом т > 0.

Приближенное решение задачи (2), (3) в точке обозначим . Метод сходится в точке если при . Метод имеет р-й порядок точности, если , р > 0 при . Простейшая разностная схема для приближенного решения задачи (2),(3) есть

(4)

При имеем явный метод и в этом случае разностная схема аппроксимирует уравнение (2) с первым порядком. Симметричная схема в (4) имеет второй порядок аппроксимации. Эта схема относится к классу неявных — для определения приближенного решения на новом слое необходимо решать нелинейную задачу.

Явные схемы второго и более высокого порядка аппроксимации удобно строить, ориентируясь на метод предиктор-корректор. На этапе предиктора (предсказания) используется явная схема

(5)

а на этапе корректора (уточнения) — схема

В одношаговых методах Рунге—Кутта идеи предиктора-корректора реализуются наиболее полно. Этот метод записывается в общем виде:

(6),

Формула (6) основана на s вычислениях функции f и называется s-стадийной. Если при имеем явный метод Рунге—Кутта. Если при j>1 и то определяется неявно из уравнения:

(7)

О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном. Параметры определяют вариант метода Рунге—Кутта. Используется следующее представление метода (таблица Бутчера)

Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге—Кутта четвертого порядка

(8)

Метод Рунге—Кутта— Фельберга

Привожу значение расчётных коэффициентов метода

(9)

С учётом(9) общее решение имеет вид:

(10)

Это решение обеспечивает пятый порядок точности, остаётся его адаптировать к Python.

Вычислительный эксперимент по определению абсолютной погрешности численного решения нелинейного дифференциального уравнения с использованием обеих функций def odein(),def oden() модуля scipy.integrate и адаптированного к Python методов Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга

Адаптированные к Python методы Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга имеют меньшую абсолютную, чем решение с применением функции odeint, но большую, чем с использованием функции edu. Необходимо провести исследование быстродействия.

Численный эксперимент по сравнению быстродействия численного решения СДУ при использовании функции ode с атрибутом dopri5 (метод Рунге – Кутты 5 порядка) и с использованием адаптированного к Python метода Рунге—Кутта— Фельберга

Сравнительный анализ проведём на примере модельной задачи, приведенной в [2]. Чтобы не повторять источник, приведу постановку и решение модельной задачи из [2].

Решим задачу Коши, описывающую движение тела, брошенного с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. В векторной форме уравнение движения имеет вид

где – радиус вектор движущегося тела, – вектор скорости тела, – коэффициент сопротивления, вектор силы веса тела массы m, g – ускорение свободного падения.

Особенность этой задачи состоит в том, что движение заканчивается в заранее неизвестный момент времени, когда тело падает на землю. Если обозначить , то в координатной форме мы имеем систему уравнений:

К системе следует добавить начальные условия: (h начальная высота), . Положим . Тогда соответствующая система ОДУ 1 – го порядка примет вид:

Для модельной задачи положим . Опуская довольно обширное описание программы, приведу только листинг из комментариев к которому, думаю, будет ясен принцип её работы. В программу добавлен отсчёт времени работы для сравнительного анализа.

Flight time = 1.2316 Distance = 5.9829 Height =1.8542
Flight time = 1.1016 Distance = 4.3830 Height =1.5088
Flight time = 1.0197 Distance = 3.5265 Height =1.2912
Flight time = 0.9068 Distance = 2.5842 Height =1.0240
Время на модельную задачу: 0.454787

Для реализации средствами Python численного решения СДУ без использования специальных модулей, мною была предложена и исследована следующая функция:

def increment(f, t, y, tau
k1=tau*f(t,y)
k2=tau*f(t+(1/4)*tau,y+(1/4)*k1)
k3 =tau *f(t+(3/8)*tau,y+(3/32)*k1+(9/32)*k2)
k4=tau*f(t+(12/13)*tau,y+(1932/2197)*k1-(7200/2197)*k2+(7296/2197)*k3)
k5=tau*f(t+tau,y+(439/216)*k1-8*k2+(3680/513)*k3 -(845/4104)*k4)
k6=tau*f(t+(1/2)*tau,y-(8/27)*k1+2*k2-(3544/2565)*k3 +(1859/4104)*k4-(11/40)*k5)
return (16/135)*k1+(6656/12825)*k3+(28561/56430)*k4-(9/50)*k5+(2/55)*k6

Функция increment(f, t, y, tau) обеспечивает пятый порядок численного метода решения. Остальные особенности программы можно посмотреть в следующем листинге:

Время на модельную задачу: 0.259927

Предложенная программная реализация модельной задачи без использования специальных модулей имеет почти в двое большее быстродействие, чем с функцией ode, однако нельзя забывать, что ode имеет более высокую точность численного решения и возможности выбора метода решения.

Решение краевой задачи с поточно разделёнными краевыми условиями

Приведем пример некоторой конкретной краевой задачи с поточно разделенными краевыми условиями:

(11)

Для решения задачи (11) используем следующий алгоритм:

1. Решаем первые три неоднородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

2. Решаем первые три однородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

3. Решаем первые три однородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

4. Общее решение краевой задачи (11) при помощи решений задач Коши записывается в виде линейной комбинации решений:

где p2, p3 — некоторые неизвестные параметры.

5. Для определения параметров p2, p3, используем краевые условия последних двух уравнений (11), то есть условия при x = b. Подставляя, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных p2, p3:
(12)
Решая (12), получим соотношения для p2, p3.

По приведенному алгоритму с применением метода Рунге—Кутта—Фельберга получим следующую программу:

y0[0]= 0.0
y1[0]= 1.0
y2[0]= 0.7156448588231397
y3[0]= 1.324566562303714
y0[N-1]= 0.9900000000000007
y1[N-1]= 0.1747719838716767
y2[N-1]= 0.8
y3[N-1]= 0.5000000000000001
Время на модельную задачу: 0.070878

Вывод

Разработанная мною программа отличается от приведенной в [3] меньшей погрешностью, что подтверждает приведенный в начале статьи сравнительный анализ функции odeint с реализованным на Python метода Рунге—Кутта—Фельберга.

3. Н.М. Полякова, Е.В. Ширяева Python 3. Создание графического интерфейса пользователя (на примере решения методом пристрелки краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений). Ростов-на-Дону 2017.

Видео:Решение дифференциальных уравнений ДИФФУРЫСкачать

Dynamics and Control

Видео:FreeDy010 Решение Системы нелинейных уравнений scipy sympyСкачать

Solve Differential Equations with ODEINT

Differential equations are solved in Python with the Scipy.integrate package using function odeint or solve_ivp.

ODEINT requires three inputs:

model: Function name that returns derivative values at requested y and t values as dydt = model(y,t)
y0: Initial conditions of the differential states
t: Time points at which the solution should be reported. Additional internal points are often calculated to maintain accuracy of the solution but are not reported.

An example of using ODEINT is with the following differential equation with parameter k=0.3, the initial condition y₀=5 and the following differential equation.

The Python code first imports the needed Numpy, Scipy, and Matplotlib packages. The model, initial conditions, and time points are defined as inputs to ODEINT to numerically calculate y(t).

import numpy as np
from scipy. integrate import odeint
import matplotlib. pyplot as plt

# function that returns dy/dt
def model ( y , t ) :
k = 0.3
dydt = -k * y
return dydt

# initial condition
y0 = 5

# time points
t = np. linspace ( 0 , 20 )

# solve ODE
y = odeint ( model , y0 , t )

# plot results
plt. plot ( t , y )
plt. xlabel ( ‘time’ )
plt. ylabel ( ‘y(t)’ )
plt. show ( )

An optional fourth input is args that allows additional information to be passed into the model function. The args input is a tuple sequence of values. The argument k is now an input to the model function by including an addition argument.

import numpy as np
from scipy. integrate import odeint
import matplotlib. pyplot as plt

# function that returns dy/dt
def model ( y , t , k ) :
dydt = -k * y
return dydt

# initial condition
y0 = 5

# time points
t = np. linspace ( 0 , 20 )

# solve ODEs
k = 0.1
y1 = odeint ( model , y0 , t , args = ( k , ) )
k = 0.2
y2 = odeint ( model , y0 , t , args = ( k , ) )
k = 0.5
y3 = odeint ( model , y0 , t , args = ( k , ) )

# plot results
plt. plot ( t , y1 , ‘r-‘ , linewidth = 2 , label = ‘k=0.1’ )
plt. plot ( t , y2 , ‘b—‘ , linewidth = 2 , label = ‘k=0.2’ )
plt. plot ( t , y3 , ‘g:’ , linewidth = 2 , label = ‘k=0.5’ )
plt. xlabel ( ‘time’ )
plt. ylabel ( ‘y(t)’ )
plt. legend ( )
plt. show ( )

Exercises

Find a numerical solution to the following differential equations with the associated initial conditions. Expand the requested time horizon until the solution reaches a steady state. Show a plot of the states (x(t) and/or y(t)). Report the final value of each state as `t to infty`.

Problem 1

import numpy as np
from scipy. integrate import odeint
import matplotlib. pyplot as plt

# function that returns dy/dt
def model ( y , t ) :
dydt = -y + 1.0
return dydt

# initial condition
y0 = 0

# time points
t = np. linspace ( 0 , 5 )

# solve ODE
y = odeint ( model , y0 , t )

# plot results
plt. plot ( t , y )
plt. xlabel ( ‘time’ )
plt. ylabel ( ‘y(t)’ )
plt. show ( )

Problem 2

`u` steps from 0 to 2 at `t=10`

import numpy as np
from scipy. integrate import odeint
import matplotlib. pyplot as plt

# function that returns dy/dt
def model ( y , t ) :
# u steps from 0 to 2 at t=10
if t 10.0 :
u = 0
else :
u = 2
dydt = ( -y + u ) / 5.0
return dydt

# initial condition
y0 = 1

# time points
t = np. linspace ( 0 , 40 , 1000 )

# solve ODE
y = odeint ( model , y0 , t )

# plot results
plt. plot ( t , y , ‘r-‘ , label = ‘Output (y(t))’ )
plt. plot ( [ 0 , 10 , 10 , 40 ] , [ 0 , 0 , 2 , 2 ] , ‘b-‘ , label = ‘Input (u(t))’ )
plt. ylabel ( ‘values’ )
plt. xlabel ( ‘time’ )
plt. legend ( loc = ‘best’ )
plt. show ( )

Problem 3

Solve for `x(t)` and `y(t)` and show that the solutions are equivalent.

import numpy as np
from scipy. integrate import odeint
import matplotlib. pyplot as plt

# function that returns dz/dt
def model ( z , t ) :
dxdt = 3.0 * np. exp ( -t )
dydt = -z [ 1 ] + 3
dzdt = [ dxdt , dydt ]
return dzdt

# initial condition
z0 = [ 0 , 0 ]

# time points
t = np. linspace ( 0 , 5 )

# solve ODE
z = odeint ( model , z0 , t )

# plot results
plt. plot ( t , z [ : , 0 ] , ‘b-‘ , label = r ‘$ f rac

=3 ; e xp(-t)$’ )
plt. plot ( t , z [ : , 1 ] , ‘r—‘ , label = r ‘$ f rac

=-y+3$’ )
plt. ylabel ( ‘response’ )
plt. xlabel ( ‘time’ )
plt. legend ( loc = ‘best’ )
plt. show ( )

Problem 4

$$u = 2 , S(t-5), ; x(0) = 0, ; y(0) = 0$$

where `S(t-5)` is a step function that changes from zero to one at `t=5`. When it is multiplied by two, it changes from zero to two at that same time, `t=5`.

import numpy as np
from scipy. integrate import odeint
import matplotlib. pyplot as plt

# function that returns dz/dt
def model ( z , t , u ) :
x = z [ 0 ]
y = z [ 1 ]
dxdt = ( -x + u ) / 2.0
dydt = ( -y + x ) / 5.0
dzdt = [ dxdt , dydt ]
return dzdt

# initial condition
z0 = [ 0 , 0 ]

# number of time points
n = 401

# time points
t = np. linspace ( 0 , 40 , n )

# step input
u = np. zeros ( n )
# change to 2.0 at time = 5.0
u [ 51 : ] = 2.0

# store solution
x = np. empty_like ( t )
y = np. empty_like ( t )
# record initial conditions
x [ 0 ] = z0 [ 0 ]
y [ 0 ] = z0 [ 1 ]

# solve ODE
for i in range ( 1 , n ) :
# span for next time step
tspan = [ t [ i- 1 ] , t [ i ] ]
# solve for next step
z = odeint ( model , z0 , tspan , args = ( u [ i ] , ) )
# store solution for plotting
x [ i ] = z [ 1 ] [ 0 ]
y [ i ] = z [ 1 ] [ 1 ]
# next initial condition
z0 = z [ 1 ]

# plot results
plt. plot ( t , u , ‘g:’ , label = ‘u(t)’ )
plt. plot ( t , x , ‘b-‘ , label = ‘x(t)’ )
plt. plot ( t , y , ‘r—‘ , label = ‘y(t)’ )
plt. ylabel ( ‘values’ )
plt. xlabel ( ‘time’ )
plt. legend ( loc = ‘best’ )
plt. show ( )