Про уравнения - легко » Статьи

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Обновлено
Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Содержание
  1. Алгоритм решения дифференциальных уравнений
  2. Примеры решения дифференциальных уравнений
  3. Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
  4. Примеры дифференциальных уравнений с решениями
  5. Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка
  6. Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков
  7. Примеры решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  8. Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка
  9. 💥 Видео

Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Решить уравнение с дробями - Математика - 6 класс

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

Решение дифференциальных уравнений с дробями

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Далее интегрируем полученное уравнение:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

В данном случае интегралы берём из таблицы:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Решение дифференциальных уравнений с дробями

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Если – это константа, то

Решение дифференциальных уравнений с дробями0]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Ответ

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение дифференциальных уравнений с дробями

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Получаем общее решение:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение дифференциальных уравнений с дробями

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

можно выразить функцию в явном виде.

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

Решение дифференциальных уравнений с дробями

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Подставим полученное частное решение

Решение дифференциальных уравнений с дробями

и найденную производную в исходное уравнение

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Ответ

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Подставляем в общее решение

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Ответ

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Левую часть интегрируем по частям:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

В интеграле правой части проведем замену:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Ответ

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Видео:Уравнение с дробямиСкачать

Уравнение с дробями

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Видео:Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.Скачать

Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.

Примеры дифференциальных уравнений с решениями

Решение дифференциальных уравнений с дробями

  • Попробуйте решить приведенные ниже дифференциальные уравнения.
  • Нажмите на изображение уравнения, и вы попадете на страницу с подробным решением.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод неопределенных коэффициентов.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод неопределенных коэффициентов.

Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка

Видео:Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.Скачать

Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.

Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков

Найти общее решение дифференциального уравнения, или решение с заданными начальными условиями.

Видео:Решение уравнений с дробными числами в 6 классеСкачать

Решение уравнений с дробными числами в 6 классе

Примеры решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность
, .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 28-01-2016 Изменено: 26-11-2021

💥 Видео

Уравнение с дробями видео урок ( Математика 5 класс )Скачать

Уравнение с дробями видео урок ( Математика 5 класс )

Решение простых уравнений с обыкновенными дробямиСкачать

Решение простых уравнений с обыкновенными дробями

Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

Как решать уравнения с дробью? #shorts

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Как найти Х в уравнении с дробью. Уравнений с дробями. Как решить дробное уравнение. Пропорция.Скачать

Как найти Х в уравнении с дробью. Уравнений с дробями. Как решить дробное уравнение. Пропорция.

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Уравнения с дробями 5 класс (задания, примеры) - как решать?Скачать

Уравнения с дробями 5 класс (задания, примеры) - как решать?

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Как решают уравнения в России и США

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

540 Математика 6 класс. Как решить уравнение с дробями.Скачать

540 Математика 6 класс. Как решить уравнение с дробями.

№7 Линейное уравнение (5х+4)/2+3=9x/5 Простое уравнение с дробями Решите уравнение с дробью ОГЭ ЕГЭСкачать

№7 Линейное уравнение (5х+4)/2+3=9x/5 Простое уравнение с дробями Решите уравнение с дробью ОГЭ ЕГЭ
Поделиться или сохранить к себе: