Решение дифференциальных уравнений на резонанс

Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:
P_k(x)exp(ax)cos(bx) + Q_m(x)exp(ax)sin(bx),
где P_k(x), Q_m(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.

Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем.
Искомое решение уравнения записывается в виде:
(P_r(x)exp(ax)cos(bx) + Q_r(x)exp(ax)sin(bx))x s ,
где P_r(x), Q_r(x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами
p_r , p_r-1, . p₁, p₀, q_r, q_r-1, . q₁, q₀.
Сомножитель x s называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень
l =a ± ib кратности s.
Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая — с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель x s . Если же такого совпадения нет (s=0), то резонансный сомножитель отсутствует.

Подставив выражение для частного решения в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны.
Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида x t exp(ax)sin(bx), x t exp(ax)cos(bx) с одинаковыми степенями t.
Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.

ПРИМЕР 1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен. Резонанса нет.

ПРИМЕР 2. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен. Резонанс есть.

ПРИМЕР 3. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен, умноженный на экспоненту. Резонанса нет.

ПРИМЕР 4. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен, умноженный на экспоненту. Резонанс есть.

ПРИМЕР 5. Решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части обобщенный многочлен.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Способы получения резонансных решений систем дифференциальных уравнений «Нерезонансными» методами Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Классические уравнения | резонанс в простейшем случаеСкачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Геренштейн Аркадий Васильевич, Геренштейн Евгения Аркадьевна

Рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями. Предлагается метод получения периодических решений в резонансном случае.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Геренштейн Аркадий Васильевич, Геренштейн Евгения Аркадьевна

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Resonance solutions of the systems of differential equations by non-resonance methods

The system of ordinary nonlinear differential equations with periodic right parts is considered. Authors offered the method of the receiving of periodic solution in non-resonance case.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Текст научной работы на тему «Способы получения резонансных решений систем дифференциальных уравнений «Нерезонансными» методами»

СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ РЕЗОНАНСНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ «НЕРЕЗОНАНСНЫМИ» МЕТОДАМИ

А.В. Геренштейн, Е.А. Геренштейн

Рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями. Предлагается метод получения периодических решений в резонансном случае.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, периодические решения, резонанс.

В работе [5] рассматривались методы нахождения Т -периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

Пусть P(t) — фундаментальная нормированная матрица решений системы

jP(0) = Е(единичная матрица), (5)

В нерезонансном случае множество Т -периодических решений системы дифференциальных уравнений (1) совпадает с множеством Т -периодических решений системы интегральных уравнений:

В нерезонансном случае матрица Е-Рг не вырождена.

В работе [5] установлены некоторые достаточные условия существования и единственности Т -периодического решения системы (8), связанные с сжимаемостью интегрального оператора в правой части этой системы, и предложен алгоритм численного получения такого решения.

Резонансным случаем называется факт существования Т -периодических решений системы (3), т.е. случай вырожденное™ матрицы Е-Рт .

1. Редукция резонансного случая к нерезонансному

В случае резонанса и в околорезонансном случае (когда определитель матрицы Е-Рт близок к нулю) достаточные условия существования решения системы (8) не выполняются.

В работе [5] получена система интегральных уравнений, соответствующая резонансному случаю, однако, решение такой системы связано с аппаратом теории неявных функций, что затрудняет дальнейшие теоретические и практические разработки. Но, тем не менее, за счет неких приемов удается получить периодические решения таких систем с помощью «нерезонансных» методов. Вместо системы (1) рассмотрим систему:

а для фундаментальной нормированной матрицы Q(t) однородной системы

выполнялось бы условие:

| det(J5 — Q(t)) |> а > 0. (12)

монотонно возрастающая дифференцируемая функция, определенная на всей числовой прямой, причем, q(0) = 0, S = S(t) — невырожденная квадратная матрица, элементы которой дифференцируемы на всей числовой прямой. Положим

Тогда матрица B(t) примет вид:

При этом матрицу S(t) и функцию q(t) надо выбрать так, чтобы матрица B<t) была Т -периодической.

Например, если S0(t) — Т -периодическая матрица, a>(t) — Т -периодическая функция, то можно положить:

в(0 = е° ^(ОДО’З’оЧО)- (16)

5(0 = (ОА^ (0 + со(ОЕ + б’о1 (0 (17)

(здесь Е — единичная матрица).

Если при этом А — постоянная матрица, то для любого положительного числа Л можно положить:

0(О = е° ЗДР(10£о’(0), (18)

5(О = -5’0(ОЖО5’01(ОЯ + «(^ + ^^^01(О. (19)

Если матрица Е-Р(Г) вырождена, то выполнение условия (18) достигается, в основном, за счет того, что q(T) Ф Т.

Рассмотрим как работает данный метод на простом примере системы двух уравнений.

2. Пример. Рассматривается система:

f(x,t + 2n) = f(x,t). Фундаментальная нормированная матрица системы (20): P(t) = матрица коэффициентов линейной части системы:

/ cos cot sin cotл

4-sin cot COSCOtj

Если со не является целым числом (нерезонансный случай), то периодические решения системы (20) совпадают с периодическими решениями системы интегральных уравнений:

Если со близко к целому числу, то знаменатель в правых частях системы (22) близок к нулю, и итерационный процесс оказывается расходящимся.

1. Первый подход. Если .со близко к целому числу, то можно выбрать некоторое число со (близкое к полуцелому значению) и применить следующую процедуру:

1) Производим замену:

в результате которой система (20) принимает вид:

r cos cot sin ft) Л

4 -sin cot COS cot J

В итоге, вместо системы (20) рассматривается система

(при этом по сравнению с системой (20) огу = соу.

Система интегральных уравнений принимает вид:

х(() = —=—Г (f(x(т),т) + (a)2-co2)x(тУ)coscд(t-т-я)dт

y(t) = ———;г— f (/(л(г),г) + ( C02-C02)x(T))sinC0(t-T-x)dT.

Геренштейн А.В., Геренштейн Е.А.

Ввиду наличия в правых частях системы (24) слагаемого (со2 -со2)х(т) методы оценки правых частей, которые применялись для нерезонансного случая в работе [5], теперь оказываются неэффективными.

2. Второй подход. В этом случае также выбирается число ю , близкое к полуцелому, и система (20) записывается в виде

х — еду — (со — со)у,

у = -сох + (со- со)х + —/(x,t).

Система интегральных уравнений принимает вид:

*(0= — ■ — 1 ((—А*(г)г) + (со — сосо)х(т)) X

х cos a>(t-T-n) + (со2 — com ^(^sin

у(?) = —f ((—/(x(r)r) + (a2- coco)x(t)) x Icosmcon г со

X sin Cd(t -Т-я)- (со2 — сосо)у(т) COS Cd(t-T-n)dr.

Численный эксперимент показал, что более сильным является первый подход. С помощью первого подхода решение с заданной точностью получалось за меньшее число итераций, чем при использовании второго подхода. И если решение системы можно было получить вторым подходом, то первый тоже оказывался сходящимся, а наоборот — не всегда. Однако встает вопрос о нахождении условий, гарантирующих существование и единственность решения.

1. Гельфанд, И.М. Некоторые вопросы дифференциальных уравнений / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. — М.: Наука, 1958. — 274 с.

2. Рейслинг, Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейслинг, Г. Сансоне, Р. Конти. — М.: Наука, 1974. — 318 с.

3. Плисс, В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений / В.А. Плисс. — М.: Наука, 1977. — 303 с.

4. Гиль, М.И. Метод операторных функций в теории дифференциальных уравнений / М.И. Гиль. — М.: Наука, 1990. — 151 с.

5. Геренштейн, А.В. Периодические решения систем дифференциальных уравнений / А.В. Геренштейн, Е.А. Геренштейн. — М., 1997. — 42 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1943. — В97.

Поступила в редакцию 1 октября 2008 г.

RESONANCE SOLUTIONS OF THE SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS BY NON-RESONANSE METODS

The system of ordinary nonlinear differential equations with periodic right parts is considered. Authors offered the method of the receiving of periodic solution in non-resonance case.

Keywords: ordinary differential equation, periodic solution, resonance.

Herreinstein Arkady Wasiljevich. — Cand.Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Applied Math. Department, South Ural State University.

Геренштейн Аркадий Васильевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет.

Herreinstein Evgenija Arkadjewna. — Cand.Sc. (Technics), Assistant of the Applied Math. Department, South Ural State University.

Геренштейн Евгения Аркадьевна — кандидат технических наук, ассистент кафедры прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет.

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Вынужденные колебания. Резонанс. Резонансные кривые

Вынужденные колебания. Резонанс.

До сих пор мы рассматривали собственные колебания, колебания, происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздействие было нужно лишь для того, чтобы вывести систему из состояния равновесия, после чего она предоставлялась самой себе. Дифференциальное уравнение собственных колебаний вообще не содержит следов внешнего воздействия на систему: это воздействие отражается лишь в начальных условиях.

Установление колебаний.

Но очень часто приходится сталкиваться с колебаниями, которые происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии. Особенно важен и в то же время достаточно прост для изучения случай, когда внешняя сила имеет периодический характер. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» свое начальное состояние, колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным процессом.

Синусоидальное воздействие.

Рассмотрим вначале наиболее простой случай вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы, изменяющейся по синусоидальному закону.

Такое внешнее воздействие на систему можно осуществить различными способами. Например, можно взять маятник в виде шарика на длинном стержне и длинную пружину с малой жесткостью и прикрепить ее к стержню маятника недалеко от точки подвеса, как показано на рис. 178.

Другой конец горизонтально расположенной пружины следует заставить двигаться по закону В с помошью кривошипно-шатунного механизма, приводимого в движение электромотором. Действующая на маятник со стороны пружины вынуждающая сила будет практически синусоидальна, если размах движения левого конца пружины В будет много больше амплитуды колебаний стержня маятника в точке закрепления пружины.

Уравнение движения.

Уравнение движения для этой и других подобных систем, в которых наряду с возвращающей силой и силой сопротивления на осциллятор действует вынуждающая внешняя сила, синусоидально изменяющаяся со временем, можно записать в видеЗдесь левая часть в соответствии со вторым законом Ньютона, является произведением массы на ускорение. Первый член в правой части представляет собой возвращающую силу, пропорциональную смещению из положения равновесия.

Для подвешенного на пружине груза это упругая сила, а во всех других случаях, когда ее физическая природа иная, эту силу называют квазиупругой. Второе слагаемое есть сила трения, пропорциональная скорости, например сила сопротивления воздуха или сила трения в оси. Амплитуду и частоту со раскачивающей систему вынуждающей силы будем считать постоянными.Разделим обе части уравнения на массу и введем обозначенияВ отсутствие вынуждающей силы правая часть уравнения обращается в нуль и оно, как и следовало ожидать, сводится к уравнению собственных затухающих колебаний.

Опыт показывает, что во всех системах под действием синусоидальной внешней силы в конце концов устанавливаются колебания, которые также происходят по синусоидальному закону с частотой вынуждающей силы со и с постоянной амплитудой а, но с некоторым сдвигом по фазе относительно вынуждающей силы. Такие колебания называются установившимися вынужденными колебаниями.Установившиеся колебания. Рассмотрим вначале именно установившиеся вынужденные колебания, причем для простоты пренебрежем трением. В этом случае в уравнении не будет члена, содержащего скорость.

Попробуем искать решение, соответствующее установившимся вынужденным колебаниям, в видеВычислим вторую производную и подставим ее вместе в уравнениеЧтобы это равенство было справедливо в любой момент времени, коэффициенты при слева и справа должны быть одинаковы. Из этого условия находим амплитуду колебаний. Исследуем зависимость амплитуды а от частоты со вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 179. Подставив сюда значения, видим, что постоянная во времени сила просто смещает осциллятор в новое положение равновесия, сдвинутое от старого.

Из следует, что при смещениеФазовые соотношения.

По мере роста частоты со вынуждающей силы от установившиеся коле- рис. 179. график зависимости происходят в фазе с вынуждающей силой, а их амплитуда постоянно увеличивается, сначала медленно, а по мере приближения к все быстрее и быстрее при амплитуда колебаний неограниченно возрастает .При значениях, превосходящих частоту собственных колебаний, формула дает для а отрицательное значение (рис. 179). Из формулы ясно, что при колебания происходят в противофазе с вынуждающей силой: когда сила действует в одну сторону, осциллятор смещен в противоположную. При неограниченном увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда колебаний стремится к нулю.

Амплитуду колебаний во всех случаях удобно считать положительной, чего легко добиться, вводя сдвиг фаз между вынуждающей Здесь а по-прежнему дается формулой , а сдвиг фазы равен нулю при. Графики зависимости от частоты вынуждающей силы показаны на рис. 180.

Резонанс.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы имеет немонотонный характер. Резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты со вынуждающей силы к собственной частоте со0 осциллятора называется резонансом.Формула дает выражение для амплитуды вынужденных колебаний в пренебрежении трением. Именно с этим пренебрежением связано обращение амплитуды колебаний в бесконечность при точном совпадении частот.

Реально амплитуда колебаний в бесконечность, конечно же, обращаться не может.Это означает, что при описании вынужденных колебаний вблизи резонанса учет трения принципиально необходим. При учете трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе получается конечной. Она будет тем меньше, чем больше трение в системе. Вдали от резонанса формулой можно пользоваться для нахождения амплитуды колебаний и при наличии трения, если оно не слишком сильное. Более того, эта формула, полученная без учета трения, имеет физический смысл только тогда, когда трение все же есть. Дело в том, что само понятие установившихся вынужденных колебаний применимо только к системам, в которых есть трение.

Если бы трения совсем не было, то процесс установления колебаний продолжался бы бесконечно долго. Реально это означает, что полученное без учета трения выражение для амплитуды вынужденных колебаний будет правильно описывать колебания в системе только спустя достаточно большой промежуток времени после начала действия вынуждающей силы. Слова «достаточно большой промежуток времени» означают здесь, что уже закончился переходный процесс, длительность которого совпадает с характерным временем затухания собственных колебаний в системе.

При малом трении установившиеся вынужденные колебания происходят в фазе с вынуждающей силой при со и в противофазе при, как и в отсутствие трения. Однако вблизи резонанса фаза меняется не скачком, а непрерывно, причем при точном совпадении частот смещение отстает по фазе от вынуждающей силы на (на четверть периода). Скорость изменяется при этом в фазе с вынуждающей силой, что обеспечивает наиболее благоприятные условия для передачи энергии от источника внешней вынуждающей силы к осциллятору.

• Какой физический смысл имеет каждый из членов в уравнении, описывающем вынужденные колебания осциллятора?

• Что такое установившиеся вынужденные колебания?

• При каких условиях можно использовать формулу для амплитуды установившихся вынужденных колебаний, полученную без учета трения?

• Что такое резонанс? Приведите известные вам примеры проявления и использования явления резонанса.

• Опишите сдвиг по фазе между вынуждающей силой и смешением при разных соотношениях между частотой в вынуждающей силы и собственной частотой осциллятора.

• Чем определяется длительность процесса установления вынужденных колебаний? Дайте обоснование ответа.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Векторные диаграммы.

Убедиться в справедливости приведенных выше утверждений можно, если получить решение уравнения, описывающее установившиеся вынужденные колебания при наличии трения. Поскольку установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающей силы со и некоторым сдвигом по фазе, то решение уравнения, соответствующее таким колебаниям, следует искать в видеПри этом скорость и ускорение, очевидно, тоже будут изменяться со временем по гармоническому закону.Амплитуду а установившихся вынужденных колебаний и сдвиг фазы удобно определять с помощью векторных диаграмм.

Воспользуемся тем обстоятельством, что мгновенное значение любой изменяющейся по гармоническому закону величины можно представить как проекцию вектора на некоторое заранее выбранное направление, причем сам вектор равномерно вращается в плоскости с частотой со, а его неизменная длина равна амплитудному значению этой осциллирующей величины. В соответствии с этим сопоставим каждому члену уравнения вращающийся с угловой скоростью вектор, длина которого равна амплитудному значению этого члена.

Поскольку проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов, то уравнение означает, что сумма векторов, сопоставляемых членам, стоящим в левой части, равна вектору, сопоставляемому величине, стоящей в правой части. Чтобы построить эти векторы, выпишем мгновенные значения всех членов левой части уравнения, учитывая соотношения.Из формул видно, что вектор длины, сопоставляемый величине, опережает на угол вектор, сопоставляемый величине. Вектор длины , сопоставляемый члену, опережает на вектор длины . эти векторы направлены в противоположные стороны.

Взаимное расположение этих векторов для произвольного момента времени показано на рис. 181. Вся система векторов вращается как целое с угловой скоростью со против часовой стрелки вокруг точки . Мгновенные значения всех величинполучаются проецированием соответствующих векторов на заранее выбранное направление. Вектор, сопоставляемый правой части уравнения, равен сумме векторов, изображенных на рис. 181. Это сложение показано на рис. 182.

Применяя теорему Пифагора, получаем откуда находим амплитуду установившихся вынужденных колебаний.Сдвиг фазы между вынуждающей силой и смещением, как видно из векторной диаграммы на рис. 182, отрицателен, так как вектор длины отстает от вектора. ПоэтомуИтак, установившиеся вынужденные колебания происходят по гармоническому закону, где определяются формулами.

Резонансные кривые.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Исследуем зависимость амплитуды колебаний от частоты со вынуждающей силы. При малом затухании у эта зависимость имеет очень резкий характер. Если, то при стремлении со к частоте свободных колебаний амплитуда вынужденных колебаний а стремится к бесконечности, что совпадает с полученным ранее результатом.

При наличии затухания амплитуда колебаний в резонансе уже не обращается в бесконечность, хотя и значительно превышает амплитуду колебаний под действием внешней силы той же величины, но имеющей частоту, далекую от резонансной. Резонансные кривые при разных значениях постоянной затухания у приведены на рис. 183.

Для нахождения частоты резонанса сорез, нужно найти, при каком со подкоренное выражение в формуле имеет минимум. Приравнивая производную этого выражения по со нулю или дополняя его до полного квадрата, убеждаемся, что максимум амплитуды вынужденных колебаний имеет место при Резонансная частота оказывается меньше частоты свободных колебаний системы. При малых у резонансная частота практически совпадает. При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности при , амплитуда а, как видно, стремится к нулю при действии постоянной внешней силы.

из положения равновесия под действием постоянной силы.Максимальная амплитуда. Амплитуду вынужденных колебаний в резонансе находим, подставляя частоту из в выражение.Амплитуда колебаний в резонансе тем больше, чем меньше постоянная затухания. При изучении вынужденных колебаний вблизи резонанса трением пренебрегать нельзя, как бы мало оно ни было: только при учете затухания амплитуда в резонансе яре, получается конечной.Интересно сравнить значение со статическим смещением под действием силы.

Составляя отношение, получаем при малом затуханииПодставляя сюда и учитывая, что есть время жизни собственных затухающих колебаний для той же системы в отсутствие внешних сил, находимНо есть число колебаний, совершаемых затухающим осциллятором за время жизни колебаний. Таким образом, резонансные свойства системы характеризуются тем же параметром, что и собственные затухающие колебания.Фазовые соотношения. Формула дает возможность проанализировать изменение сдвига фазы между внешней силой и смещением, при вынужденных колебаниях.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

При значение д близко к нулю. Это означает, что при низких частотах смещение осциллятора происходит в фазе с внешней силой. При медленном вращении кривошипа на рис. 178 маятник движется в такт с правым концом шатуна.Если стремится к нулю со стороны отрицательных значений,сдвиг фазы равен и смещение осциллятора происходит в противофазе с вынуждающей силой. В резонансе, как видно из, смещение отстает по фазе от внешней силы.

Вторая из формул показывает, что при этом внешняя сила изменяется в фазе со скоростью все время действует в направлении движения. Что именно так и должно быть, ясно из интуитивных соображений.Резонанс скорости. Из формулы видно, что амплитуда колебаний скорости при установившихся вынужденных колебаниях равна. С помощью получаемЗависимость амплитуды скорости от частоты внешней силы показана на рис. 184.

Резонансная кривая для скорости хотя и похожа на резонансную кривую для смещения, но отличается от нее в некоторых отношениях. Так, при при действии постоянной силы, осциллятор испытывает статическое смещение из положенияравновесия и скорость его после того, как закончится переходный процесс, равна нулю. Из формулы видно, что амплитуда скорости при обращается в нуль. Резонанс скорости имеет место при точном совпадении частоты внешней силы с частотой свободных колебаний.

Рис. 184. Амплитуда скорости при установившихся вынужденных колебаниях

• Как строятся векторные диаграммы для установившихся вынужденных колебаний при синусоидальном внешнем воздействии?

• Чем определяется частота, амплитуда и фаза установившихся вынужденных гармонических колебаний?

• Опишите различия резонансных кривых для амплитуды смещения и амплитуды скорости. Какими характеристиками колебательной системы определяется острота резонансных кривых?

• Как связан характер резонансной кривой с параметрами системы, определяющими затухание ее собственных колебаний?

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

📹 Видео

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Урок 347. Вынужденные колебания. Резонанс (часть 1)Скачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений ДИФФУРЫСкачать

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать