Решение дифференциальных уравнений методом простых итераций (8 видео)

Метод итераций

Содержание

Правила ввода функции
Достаточные условия сходимости метода итерации
Решение дифференциальных уравнений методом простых итераций
1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений
3.2.1. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)
📺 Видео

Правила ввода функции

Примеры
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).

Видео:Метод простой итерации Пример РешенияСкачать

Достаточные условия сходимости метода итерации

Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:

Получить шаблон с омощью этого сервиса.
Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).

Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .

Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

Решение дифференциальных уравнений методом простых итераций

Nickolay.info. Обучение. Лекции по численным методам. Приближённое решение нелинейных алгебраических уравнений

1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x₁*, x₂*, x₃*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности <x_n>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |x_n – x*| / (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

X₁== 0.268;

X₂== 3.732;

Так как f / ()>0, то f / (x)>0 при , f / (x) / (x)>0 при . Кроме того, f()= 0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x₁)= 3x₁ 2 -12x₁+3=11.39; на интервале — убывает до f(x₂)= 3x₂ 2 -12x₂+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2)= -27 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

f(1)= 9>0, f(3)= -7 / (x) 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Видео:Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать

3.2.1. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

Метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение (3.1). Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Уравнение ( 3.1) преобразуем к эквивалентному виду x=φ(x), (3.7)

Что можно сделать всегда и притом множеством способов.

Выберем начальное приближение x0Î [a;b].

Вычислим новые приближения:

Xi=φ(xi-1) , i=1,2,… где i − номер итерации. (3.8)

Последовательное вычисление значений xi по формуле (3.8) называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула — формулой итерационного процесса метода.

Если , то итерационный процесс Сходящийся .

Условие сходимости (3.9)

Точное решение x* получить невозможно, так как требуется Бесконечный Итерационный процесс.

Можно получить Приближенное Решение, прервав итерационный (3.8) при достижении условия

, (3.10)

Где ε — заданная точность; i — номер последней итерации.

В большинстве случаев условие завершения итерационного процесса (3.10) обеспечивает близость значения xi к точному решению:

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода простых итераций.

Уравнение (3.7) представим на графике в виде двух функций: y1 = x и y2= φ(x).

Возможные случаи взаимного расположения графиков функций, и соответственно, видов итерационного процесса показаны на рис. 3.7 – 3.10.

Рис. 3.7 Итерационный процесс для случая 0 1 xÎ[a, b].

Решение дифференциальных уравнений методом простых итераций

Рис. 3.10 Итерационный процесс для случая £ — 1 xÎ[a, b].

Из анализа графиков следует, что скорость сходимости растет при уменьшении значения

Метод достаточно прост, обобщается на системы уравнений, устойчив к погрешности округления (она не накапливается).

При разработке алгоритма решения нелинейного уравнения методом простых итераций следует предусмотреть защиту итерационного процесса от зацикливания: использовать в качестве дополнительного условия завершения итерационного процесса превышение заданного максимального числа итераций.

Рис 3.11. Алгоритм решения нелинейного уравнения методом
простых итераций:

Основной проблемой применения метода является обеспечение сходимости итерационного процесса: нужно найти такое эквивалентное преобразование (3.1) в (3.7), чтобы обеспечивалось условие сходимости (3.9) .

Простейшие эквивалентные преобразования, например:

F(x) = 0 => x+f(x) = x, т. е. φ(x) = x + f(x)

Или выразить явно x из (3.1)

F(x) = 0 => x — φ(x) = 0 => x = φ(x)

Не гарантируют сходимость.

Рекомендуется следующий способ получения формулы Сходящегося итерационного процесса.

Пусть .