Решение дифференциальных уравнений методом функции грина (3 видео)

Решение линейных дифференциальных уравнений методом свертки (формула Грина, формула Дюамеля)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях:

Пусть входное воздействие является импульсной функцией Поскольку , изображение выходного сигнала совпадает с передаточной функцией:

Функцией Грина (или функцией веса в теории управления) линейного дифференциального уравнения называют отклик системы на импульсное входное воздействие или оригинал передаточной функции:

Поскольку изображение выходного сигнала является произведением изображений, то и оригинал можно представить как свертку оригиналов и :

Таким образом, при известной функции Грина можно найти отклик системы на любое внешнее воздействие.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

Взяв в качестве правой части импульсную функцию и переходя к изображениям, получим передаточную функцию:

Возвращаясь к оригиналам, получаем функцию Грина:

Теперь, задавая любым образом правую часть x(t), можно найти решение дифференциального уравнения.

Пусть Тогда

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

, .

Правая часть уравнения задана функцией

0 2 2

x(t)

Для применения формулы свертки следует записать , используя ступенчатые функции Хевисайда:

С учетом того, что функция Грина для этого уравнения имеет вид получаем решение :

Другой способ записи решений дифференциальных линейных уравнений с использованием свертки основан на формуле Дюамеля. Характеристикой системы в этом случае служитпереходная функция , которая определяется как реакция (отклик) системы на постоянное воздействие

Из последнего выражения и свойства интегрирования оригинала следует, что функция и связаны соотношениями:

С учетом того, что

можно записать по формуле Дюамеля следующим образом:

Заметим, что при условии две первых формы записи решения совпадают с записью

Также напомним, что в силу условий вывода формулы Дюамеля приведенные формулы можно непосредственно использовать для непрерывных функций . В том случае, если функция имеют точки разрыва первого рода, следует точно записывать эту функцию, учитывая скачкообразное изменение функции в точках разрыва или другим способом учесть эти изменения. Например, если правая часть имеет вид:

то и формула Дюамеля принимает вид:

Переходя к оригиналам, получаем

Применим формулу Дюамеля для решения примера 9.

Пример 9 (продолжение)

x¢(t)

2 t

1/2

Производная функции, стоящей в правой части уравнения равна:

Переходная функция системы имеет вид:

Видео:Метод функции ГринаСкачать

Тогда вычисляя по формуле

с учетом того, что , получаем:

ЗАДАЧИ

1. Решите линейные дифференциальные уравнения с использованием свертки (формула Грина, формулы Дюамеля)

а) Решите дифференциальное уравнение для правых частей различного вида

Ответы:

b) f)

Контрольные вопросы:

1. Модуль и аргумент комплексного числа

2. Запись комплексного числа в показательной и тригонометрической формах

3. Степенная функция комплексного аргумента. Свойства

4. Показательная функция комплексного аргумента. Свойства

5. Логарифмическая функция комплексного аргумента. Свойства

6. Тригонометрические функции комплексного аргумента. Свойства.

7. Гиперболические функции комплексного аргумента. Свойства

8. Обратные тригонометрические функции комплексного аргумента. Свойства.

9. Обратные гиперболические функции комплексного аргумента. Свойства.

10. Понятие аналитической функции. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей

11. Ряд Тейлора. Область сходимости. Ряд Лорана. Область сходимости

12. Классификация изолированных особых точек.

Видео:Краевая задача.Функция Грина.Дифференциальное ур.Скачать

13. Вычет аналитической функции в изолированной конечной особой точке. Вычет аналитической функции в бесконечно удаленной особой точке

14. Применение вычетов к вычислению контурных интегралов

15. Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов

16. Определите характер особой точки для функций

17. Вычислить

18. Вычислить

19. Вычислить

20. Особенности ряда Фурье для четной и нечетной функции

21. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал.

22.Обратное преобразование Лапласа. Теоремы разложения.

23. Решение линейных дифференциальных уравнений операторным методом

24. Формулы Грина и Дюамеля. Применение к решению линейных дифференциальных уравнений

25. Установите соответствие между комплексным числом и его модулем
1.
2.
3.
4.

Варианты ответов:

5 , 2 , 3 , 13 , ,

26. Установите соответствие между комплексным числом и его аргументом
1.
2.
3.

Варианты ответов:

, , ,

27.Установите соответствие между комплексным числом и его аргументом
1.
2.
3.

Варианты ответов:

, , ,

28.Установите соответствие между комплексным числом и его аргументом
1.
2.
3.

Варианты ответов:

, , ,

29.Установите соответствие между комплексными числами и их аргументами

1.
2.
3.

Варианты ответов:

, , , ,

30.Произведение комплексного числа на сопряженное число равно…

31.Частное от деления двух комплексно сопряженных чисел, где , равно…

32.Дано: , тогда равно …

33.Произведение комплексного числа и сопряженного числа равно …

34.Произведение комплексного числа и сопряженного числа равно …

35.Значение функции в точке равно…

36.Значение функции в точке равно…

37.Значение функции в точке равно…

38.Значение функции в точке равно…

39.Значение функции в точке равно…

40.Дана функция , . Тогда коэффициент b₄ разложения в ряд Фурье равен…

41.Дана функция , . Тогда коэффициент b₃ разложения в ряд Фурье равен…

42.Дана функция , . Тогда коэффициент а₂ разложения в ряд Фурье равен…

43.Дана функция , . Тогда коэффициент b₄ разложения в ряд Фурье равен…

44. Комплексное число можно представить в виде …

Варианты ответов:

Должен быть указан не менее двух вариантов ответа

1) , 2) , 3)

РГР № 15 (0,556 ЗЕ)

Видео:Функция Грина 19122Скачать

Теория вероятностей и математическая статистика

Содержание работы

1.Алгебра случайных событий.

2.Случайные величины. Законы распределений. Числовые характеристики.

3.Математическая статистика. Оценки числовых характеристик. Определения закона распределения по выборке. Критерии согласия.

4.Математическая статистика: оценка коэффициента корреляции по выборочным данным, уравнение линейной регрессии.

Список литературы [2,5,12, 15, 18 ]

Номера задач указаны согласно сборнику задач по математике для втузов

, часть 3 « Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. Ефимова А.В.М., « Наука», 1990 (№ 15 в списке литературы, имеется в библиотеке в достаточных количествах)

1. Основные понятия. Алгебра событий. № 14.1, 14.68, 14.69, 14.70,14.5, 14.7 (14.148), 14.80,4.87, 14.139, 14.191, 14.198, 14.207, 14.208-14.211, 14.214, 14.226, 14.227, 14.231, 14.233, 14.243.

2.Случайные величины. Законы распределений. Основные характеристики.

№ 14.312, 14.313, 14.323, 14.352, 14.353, 14.354, 14.278, 14.279, 14.294, 14.297, 14.300, 14.365-14.367,14.536-14.539, 14.558, 14.559, 14.560, 14,570

3.Данные для статистической обработки (задания № 3, 4) каждый студент получает от преподавателя или получает самостоятельно (утверждает у преподавателя). Подробное рассмотрение в электронном пособии (№ 18 в списке литературы)

Лабораторная работа № 1

« Статистическое описание результатов наблюдений. Числовые оценки выборочного распределения. Интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии. Проверка гипотезы о виде распределения»

1. Получите выборку из чисел

2. Постройте вариационный ряд (упорядочите элементы выборки по величине). При этом можно использовать соответствующую команду на панели инструментов Excel.

Видео:Одномерная функция ГринаСкачать

3 .Представьте выборку в виде группированного статистического ряда (с.178- 181)

· определите размах выборки

· определите число интервалов группировки одним из способов:

· а) Способ 1: выбираете число интервалов , а затем находите шаг (ширину интервала группировки) , б) Способ 2: выбираете шаг (ширину интервала группировки) по формуле .

· Определите границы интервалов группировки , и так далее до тех пор, пока наибольший элемент выборки не попадет в последний интервал ( наилучшая ситуация, если он точно совпадает с верхней границей последнего интервала)

· Найдите середину каждого интервала

· Определите частоты — число элементов выборки, содержащихся в каждом -м интервале. При этом элемент, совпадающий с верхней границей интервала, условимся относить к следующему интервалу.

· Найдите накопленные частоты . При этом сумма частот по всем интервалам должна совпадать с объемом выборки . Если сумма частот по всем интервалам не совпадает с объем выборки, то следует проверить, правильно ли найдены частоты.

· Найдите относительные частоты , которые служат оценкой вероятности попадания элемента выборки в данный интервал

· Найдите относительные накопленные частоты . Значения накопленных частот служат оценкой функции распределения и определяют эмпирическую ( выборочную) функцию распределения

· Все полученные характеристики заносим в таблицу, которую называют статистическим рядом ( табл. 1.1 на стр. 181)

Номер интервала	Границы интервала	Середина Интервала	Частота	Накопленная Частота	Относитель- ная частота	Накопленная Относитель- ная частота
·	·	·	·	·	·	·
·	·	·	·	·	·	·

· Представить выборку графически (стр. 182-183)

· строим полигон частот— ломаную с вершинами в точках ( )

· строим полигон относительных частот— ломаную с вершинами в точках ( )

· строим гистограмму —кусочно-постоянную функцию, которая на каждом интервале группировки принимает значение . Площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки .

Полигон относительных частот является статистическим аналогом функции плотности вероятности. Гистограмма и полигон частот отличаются от указанной характеристики растяжением в раз. Поэтому все данные функции также являются характеристиками закона распределения генеральной совокупности .

Примечание. Все перечисленные выше операции можно провести вручную или с использованием компьютерных программ. Самое доступное математическое обеспечение – Microsoft Excel при помощи команд: . При этом карманы (интервалы группировки) надо задать отдельно.