Про уравнения - легко » Статьи

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Обновлено
Дифференциальные уравнения по-шагам
Содержание
  1. Результат
  2. Примеры дифференциальных уравнений
  3. Правила ввода
  4. Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
  5. Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
  6. Алгоритм решения дифференциальных уравнений
  7. Примеры решения дифференциальных уравнений
  8. 🌟 Видео

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Результат

Примеры дифференциальных уравнений

  • Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
  • Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
  • Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
  • Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
  • Уравнения в полных дифференциалах
  • Решение дифференциального уравнения заменой
  • Смена y(x) на x в уравнении
  • Другие

Указанные выше примеры содержат также:

  • квадратные корни sqrt(x),
    кубические корни cbrt(x)
  • тригонометрические функции:
    синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
  • показательные функции и экспоненты exp(x)
  • обратные тригонометрические функции:
    арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
  • натуральные логарифмы ln(x),
    десятичные логарифмы log(x)
  • гиперболические функции:
    гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
  • обратные гиперболические функции:
    asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
  • число Пи pi
  • комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Видео:Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Видео:Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.schoolСкачать

Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.school

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

Решение дифференциальных уравнений dx dt

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Далее интегрируем полученное уравнение:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

В данном случае интегралы берём из таблицы:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Решение дифференциальных уравнений dx dt

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Если – это константа, то

Решение дифференциальных уравнений dx dt0]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Ответ

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение дифференциальных уравнений dx dt

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Получаем общее решение:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение дифференциальных уравнений dx dt

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

можно выразить функцию в явном виде.

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

Решение дифференциальных уравнений dx dt

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Подставим полученное частное решение

Решение дифференциальных уравнений dx dt

и найденную производную в исходное уравнение

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Ответ

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Подставляем в общее решение

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Ответ

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Левую часть интегрируем по частям:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

В интеграле правой части проведем замену:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Ответ

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Решение дифференциальных уравнений dx dt

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

🌟 Видео

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.

Дифференциал функцииСкачать

Дифференциал функции

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравнений

1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать

1. Что такое дифференциальное уравнение?

Системы дифференциальных уравненийСкачать

Системы дифференциальных уравнений

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: