Решение дифференциальных уравнений через дискриминант (8 видео)

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.

1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:

то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа

(например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть

3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа

(например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде

Примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

Составляем характеристическое уравнение: k²-7k+12=0. Его дискриминант D=b²-4ac=1>0, поэтому корни — различные действительные числа.

Отсюда, общее решение этого однородного ДУ 2-го порядка есть

Составим и решим характеристическое уравнение:

Корни действительные и различные. Отсюда имеем общее решение данного однородного дифференциального уравнения:

В этом случае характеристическое уравнение

Корни различны и действительны. Поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка здесь

Поскольку корни действительны и равны, для этого дифференциального уравнения общее решение записываем как

Характеристическое уравнение здесь

Так как дискриминант — отрицательное число, корни характеристического уравнения — комплексные числа.

Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

Отсюда находим общее решение данного диф. уравнения:

Примеры для самопроверки.

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Содержание

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в математике
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Пример:
🔍 Видео

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в математике

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим метод решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Линейной комбинацией функций и называется выражение вида

где — некоторые произвольные постоянные.

Функции и называются линейно независимыми, если если их линейная комбинация обращается в нуль тогда и только тогда, когда коэффициенты равны нулю.

Теорема 7.2. Если и — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то общее решение данного уравнения является линейной комбинацией этих частных решений.

Следовательно, чтобы найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, надо знать два его частных линейно независимых решения: и .

Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде . Подставляя эту функцию в уравнение, выводим:

Очевидно, функция будет решением дифференциального уравнения, если число к является корнем квадратного уравнения

которое называется характеристическиль уравнением исходного дифференциального уравнения.

Как известно, для корней данного квадратного трехчлена возможны три случая.

Если дискриминант больше нуля , то корни характеристического уравнения действительные, простые:

Если дискриминант равен нулю ( = 0), то корни характеристического уравнения действительные, кратные:

Если дискриминант меньше нуля (

где — действительная, — мнимая часть комплексного числа; — мнимая единица.

Теорема 7.3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка строится в зависимости от дискриминанта и корней характеристического уравнения:

где — некоторые произвольные постоянные.

Пример:

Найти частные решения заданных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющие начальным условиям:

► Составим характеристическое уравнение, заменяя в дифференциальном уравнении производные неизвестной функции у соответствующими степенями неизвестного заменим на — на а на 1. В результате получим квадратное уравнение: