Решение дифференциального уравнения второго порядка в simulink

Дифференциальные уравнения и системы уравнений

Необходимо решить уравнение:

Попробуем решить его с помощью программы Simulink пакета MATLAB.

Метод решения дифференциальных уравнений отличается от традиционного. Нам необходимо создать схему уравнения. Необходимо будет создать обратную связь между выходными значениями интегратора и новым значением переменной. У нашего уравнения линейно изменяется x от 0 до 20. Поэтому для решения уравнения необходимо использовать блок Ramp . В конце обязательно должен быть интегрирующий блок, а из него результат выходит на осциллограф.

Решение уравнения выглядит так:

Результатом будет график x от y :

Рассмотрим из каких библиотек взяты использованные блоки.

Ramp – из Sources. Формирует линейный сигнал . В параметрах необходимо задать 1.

Add – Math Operations. В параметрах выбираем необходимые нам операции.

Gain – Math Operations . Коэффициент усиления сигнала. В параметрах ставим значение 3/2.

Sine Wave Function – Sources. Т.к. нам необходим косинус, то в параметрах Phase ставим pi/2.

Integrator – Continuous . Выполняет интегрирование входного сигнала.

Scope – Sinks . Выводим результат – график сигнала в функции времени.

Дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Дана система уравнений:

Решим ее с помощью программы Simulink пакета MATLAB.

Решаем аналогично предыдущему случаю.

В данной системе уравнений линейно изменяется x от 1 до 10. Также необходимо сделать обратную связь между выходными значениями интеграторов и новым значение переменной x . Обязательно надо в интеграторах задать начальные значения y₁(0) = 0.1; y₂(0) = 0.5.

Результатом будут два графика:

Рассмотрим из каких библиотек взяты использованные блоки.

Ramp – из Sources . Формирует линейный сигнал. В параметрах необходимо задать все значения 1.

Integrator – Continuous . Выполняет интегрирование входного сигнала. Необходимо задать начальные значения Initial condition для y ₁ 0.1, для y ₂ 0.5.

Add – Math Operations . В параметрах выбираем необходимые нам операции.

Divide — Math Operations . Деление первой входной величины на вторую.

Dot Product — Math Operations. Перемножение .

Scope – Sinks. Выводим результат – график сигнала в функции времени.

Видео:Как в MATLAB Simulink моделировать уравнения (Структурная схема САУ)Скачать

Решение дифференциального уравнения различными методами, доступными SIMULINK

Страницы работы

Содержание работы

Файл МоделиСАМРаботы02САМ06а.doc 5 стр. 200 Кбайт

1. Решение дифференциального уравнения различными методами, доступными SIMULINK.

Пусть, к примеру, требуется решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью

. (П7.01)

При использовании SIMULINK это уравнение можно решить несколькими способами.

Первый способ решения.

а) Разрабатывается блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения модулей Gain раздела Linear. Начнем с того, что разрешим его относительно второй производной

(П7.02)

Полученное решение в модулях SIMULINK можно изобразить в виде

Рис. П7.1 Блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения модулей Gain[1].

Для решения уравнения нами использованы 2 интегратора, 1 сумматор и 2 усилителя из раздела Linear библиотеки SIMULINK.

Вторая производная, согласно П7.02, должна получится путем вычитания из y₀ равного 6/12, производных, умноженных на соответствующие коэффициенты.

Вид и значение параметров решения можно наблюдать на экране блока Scope раздела Sinks [siŋks — получатели] «y(t)».

b) Блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения блоков Constant раздела Sources библиотеки SIMULINK и организации решения правой части уравнения в виде подсистемы.

Решение левой части уравнения по-прежнему представим в виде цепочки двух интеграторов, соединенных последовательно.

Для решения правой части уравнения соберем из модулей SIMULINK блок-схему и преобразуем ее в подсистему.

Рис. П7.2. Блок-схема решения правой части уравнения.

Составим блок-схему решения уравнения с использованием подсистемы.

Рис. П7.3. Блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения модулей Constant[2].

Второй способ решения.

Используя SIMULINK, можно представить другой способ решения этого уравнения. Решение можно получить, используя модуль Transfer Fcn [‘trænsfə: Fkn] (Передаточное звено). В качестве входного сигнала будем использовать блок Constant раздела Sources [so:s — источники]

Рис. П7.4. Решение уравнения с использованием типовых структурных схем[3].

Вид и значение параметров решения можно наблюдать на экране блока Scope раздела Sinks [siŋks — получатели] «Интеграл».

Третий способ решения.

SIMULINK может предложить еще один способ решения данного дифференциального уравнения. Воспользовавшись методами структурных преобразований, данное уравнение можно представить в виде структурной схемы, состоящей из типовых модулей.

Рис. П7.5. Решение уравнения с использованием структурных преобразований[4].

Проведем исследование дифференциального уравнения 2 порядка

(П8.01)

методами фазовой плоскости, используя возможности SIMULINK.

Начнем с того, что разрешим уравнение относительно старшей производной.

(П8.02)

Решение левой части уравнения представим в виде цепочки из двух интеграторов соответственно настроенных.

Для решения правой части уравнения создадим 2 подсистемы. Одну для формирования значений коэффициентов уравнения, разрешенного относительно старшей производной и вторую для решения собственно правой части уравнения.

Рис. П8.1 Блок-схема формирования коэффициентов уравнения.

Рис. П8.2. Решатель правой части уравнения.

Решение дифференциального уравнения с учетом созданных подсистем будет иметь вид

Рис. П8.3. Блок-схема решения дифференциального уравнения[5].

Исследование фазового портрета.

Для наблюдения за фазовыми траекториями включим в качестве смотрового окна в блок-схему решения уравнения рис. П7.3 дополнительно модуль XY Graph из раздела Sinks библиотеки SIMULINK.

Сущность метода фазовой плоскости заключается в построении фазовых траекторий по дифференциальным уравнениям в системе координат: ось x — значение исследуемой величины u, ось y – скорость ее изменения du/dt. Процесс изменения траектории представляет собой движение изображающей точки на фазовой плоскости. Начальные условия определяют первоначальное положение изображающей точки на фазовой плоскости. Совокупность фазовых траекторий в плоскости (x, y) носит название фазовый портрет. Подробнее с методами фазовой плоскости можно ознакомиться по «Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. Учебник для вузов. Изд. 4-е, перераб. и доп. М., «Машиностроение», 1978. Стр. 485-495».

Задачей нашего исследования является построение некоторых наиболее характерных фазовых портретов.

Рассмотрим следующие случаи характерные для уравнения 2 порядка:

[1] Программа расположена на файле «Мои документыПрогSIMПосГлава1gla1_06 p7ris1»

[2] Программа расположена на файле «Мои документыПрогSIMПосГлава1gla1_06 p7ris3»

[3] Программа расположена на файле «Мои документыПрогSIMПосГлава1gla1_06 p7ris4»

[4] Программа расположена на файле «Мои документыПрогSIMПосГлава1gla1_06 p7ris5»

[5] Программа расположена на файле «Мои документыПрогSIMПосГлава1gla1_06 p8ris3»

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Моделирование дифференциальных уравнений в среде matlab & Simulink Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Решение систем диф уравнений 2 порядка в среде SimulinkСкачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бадасян Тигран Смбатович

Пакет программ MatLab предназначен для аналитического и численного решения различных математических задач, а также для моделирования сложных электротехнических и электромеханических систем. Одним из инструментальных средств является среда MatLab, которая оснащена мощными возможностями структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования (Simulink). Система инженерных и научных расчётов MatLab (Matrix Laboratory матричная лаборатория) способна решать задачи линейной алгебры, интегральные и дифференциальные уравнения, выполнять преобразования Лапласа и Фурье, Z-преобразования. Предусмотрено решение статистических и оптимизационных задач. Благодаря программе Simulink имеется возможность анализа и синтеза современных систем управления во временной и частотной областях. Графические возможности пакета позволяют строить двухи трёхмерные графики в различных координатах. При решении дифференциальных уравнений, в частности, для дифференциальных уравнений в частных производных применять Simulink и инструментарий Partial diferencial Equations Toolbox [3, 4]. Вложенный в него метод конечных элементов (finite elements method FEM) позволяет моделировать решение задачи на плоскости или в пространстве.

Видео:Решение систем Д/У: 1. Знакомство с функциями odeXYСкачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Бадасян Тигран Смбатович

Видео:ТАУ. Matlab/SIMULINK Фазовые портреты систем нелинейных диф. уравненийСкачать

MODELING OF DIFFERENTIAL EQUATIONS ENVIRONMENT MATLAB & SIMULINK

The MatLab software package is designed for analytical and numerical solutions of various mathematical problems, as well as for modeling complex electrical and electromechanical systems. One of the tools is the MatLab environment, which is equipped with powerful structural, object-oriented and visual programming (Simulink) capabilities. MatLab (Matrix Laboratory) is capable of solving linear algebra problems, integral and differential equations, performing Laplace and Fourier transforms, and Z-transformations. The solution of statistical and optimization problems is provided. Thanks to the Simulink program, it is possible to analyze and synthesize modern control systems in the time and frequency domains. The graphical capabilities of the package allow you to build two and three-dimensional graphs in different coordinates. When solving differential equations, in particular, for partial differential equations, use Simulink and the Partial diferencial Equations Toolbox [3,4]. The finite element method (FEM) embedded in it allows you to simulate a solution to a problem on a plane or in space.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Текст научной работы на тему «Моделирование дифференциальных уравнений в среде matlab & Simulink»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ

MATLAB & SIMULINK Бадасян Т.С. Email: Badasyan1166@scientifictext.ru

Бадасян Тигран Смбатович — магистрант, факультет прикладной математики и физики, Национальный политехнический университет Армении, г. Ереван, Республика Армения

Аннотация: пакет программ MatLab предназначен для аналитического и численного решения различных математических задач, а также для моделирования сложных электротехнических и электромеханических систем. Одним из инструментальных средств является среда MatLab, которая оснащена мощными возможностями структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования (Simulink).

Система инженерных и научных расчётов MatLab (Matrix Laboratory — матричная лаборатория) способна решать задачи линейной алгебры, интегральные и дифференциальные уравнения, выполнять преобразования Лапласа и Фурье, Z-преобразования. Предусмотрено решение статистических и оптимизационных задач. Благодаря программе Simulink имеется возможность анализа и синтеза современных систем управления во временной и частотной областях. Графические возможности пакета позволяют строить двух- и трёхмерные графики в различных координатах. При решении дифференциальных уравнений, в частности, для дифференциальных уравнений в частных производных применять Simulink и инструментарий Partial diferencial Equations Toolbox [3, 4]. Вложенный в него метод конечных элементов (finite elements method FEM) позволяет моделировать решение задачи на плоскости или в пространстве.

Ключевые слова: среда, сигнал, блок интегрирования, линейное уравнение, однородное уравнение.

MODELING OF DIFFERENTIAL EQUATIONS ENVIRONMENT

MATLAB & SIMULINK Badasyan T.S.

Badasyan Tigran Smbatovich — Undergraduate Student, FACULTY OF APPLIED MATHEMATICS AND PHYSICS, NATIONAL POLYTECHNIC UNIVERSITY OF ARMENIA, YEREVAN, REPUBLIC OF ARMENIA

Abstract: the MatLab software package is designed for analytical and numerical solutions of various mathematical problems, as well as for modeling complex electrical and electromechanical systems. One of the tools is the MatLab environment, which is equipped with powerful structural, object-oriented and visual programming (Simulink) capabilities.

MatLab (Matrix Laboratory) is capable of solving linear algebra problems, integral and differential equations, performing Laplace and Fourier transforms, and Z-transformations. The solution of statistical and optimization problems is provided. Thanks to the Simulink program, it is possible to analyze and synthesize modern control systems in the time and frequency domains. The graphical capabilities of the package allow you to build two and three-dimensional graphs in different coordinates. When solving differential equations, in particular, for partial differential equations, use Simulink and the Partial diferencial Equations Toolbox [3,4]. The finite element method (FEM) embedded in it allows you to simulate a solution to a problem on a plane or in space. Keywords: medium, signal, integration unit, linear equation, homogeneous equation.

Введение. Задачи различных отраслей часто сводятся к дифференциальным уравнениям или системам дифференциальных уравнений [1, 2]. Часто возможно бывает решить дифференциальные уравнения аналитически, однако немало случаев, когда уравнение не

имеет точного аналитического решения и возникает необходимость обратиться к численным методам. Разработан ряд численных методов, которыми возможно решить дифференциальные уравнения. Однако ошибочно думать, что решение любого дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений численными методами — это легкая задача. Причина в том, что нет разработанного численного метода, который позволил бы решить произвольное дифференциальное уравнение. Необходимо иметь четкое представление о том, какой численный метод является более эффективным для решения данного дифференциального уравнения.

Целью статьи является демонстрация возможностей пакета Simulink при компьютерном моделировании дифференциальных уравнений, имитационного моделирования динамических систем. Simulink — один из самых мощных компонентов числового пакета МАТЬАВ, предназначенный для компьютерного моделирования и анализа систем, поведение которых зависит от времени [3, 4].

Моделирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Исследование, как правило, начнем с простейшего типа — уравнение вида 4у = f (х) с

дискретными переменными, интегральным уравнением которого будет у = J f (х)4х + у(0) . Удовлетворяя начальному условию у(x0 ) = У0 частное

решение будет представлено в виде у = J f (х)4х + у(0) . В частном случае, если

уравнение имеет вид

то частное решение, удовлетворяющее начальному

условию у(х0 ) = Уо , будет иметь вид у = а(х — х0 ) + у0 , которое является уравнением прямой, проходящей через точку (Хо, Уо) на плоскости Я2. Модель s

уравнения 4У = f (х) будет иметь следующий вид (рис.1):

Рис. 1. Решение дифференциального уравнения: структурная схема в Simulink

Далее рассмотрим линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида

= р(х) у + / (х). Модель s задачи будет иметь следующий вид (рис. 2):

Рис. 2. Решение дифференциального уравнения первого порядка: структурная схема в Simulink

Основным конструктивным элементом модели линейного уравнения является блок интегрирования, который посредством обратной связи получает на входе решение уравнения. В блоке Product сигнал y(x) умножается на p(x), результат передается блоку Sum для суммирования с f(x).

Обсудим более подробно этапы создания схемы, используемые блоки содержатся в библиотеках. Ramp (библиотека Sources) дает непрерывный линейный сигнал. Sum (библиотека Math Operations) — в параметрах выбираем нужные действия: сложение или вычитание. Product (библиотека Math Operations) — умножает входящие сигналы. Integrator (библиотека Continuous) — выполняет интегрирование входного сигнала. Scope, Graph (библиотека Sinks) — строит графики сигнала и производного сигнала в зависимости от времени: Graph (библиотека Sinks) — Возвращает фазовый сигнал производной, то есть зависимость значения функции от производной функции в техже точках. В меню Simulation редактора выберем Configuration Parameters. В открывшемся окне выберем Solver и введем следующие параметры. Start Time: 0, Stop Time: 10.0, Type: Variable-step, Solver: ode45 (Dormand-Prince). Для проверки результата возьмем программный код той же задачи в среде Matlab, с применением функции dsolve. Очевидно, что в обоих случаях графики совпадут. syms x y

Exp = ‘2*x/(1+xA2)*y+1+xA2’; % определение правой части уравнения Expression = [‘Dy = ‘,char(Exp)];

y = dsolve(Expression,’y(0)=0′,’x’); % решение дифференциальногоуравнения Message = [‘y = ‘,char(y)]; pretty(y); % выводит решение уравнения grid on; hold on; % строит сетку

xlabel(‘X axis’); ylabel(‘Y axis’); % разместить наименование осей x и y x_new = 0:0.1:10; % получает вектор x_new

Cx = symvar(y,1) % функция возвращает количество

y_new = subs(y,,); % создается новый вектор y_new plot(x_new,y_new); Title = [‘Itegral Curves of Equation: ‘,char(Expression)]; title(Title); % название графика

legend(Message); % таблица ссылок графика

Более детально рассмотрим такой мощный инструмент, как механизм сокрытия подсистемы. Механизм сокрытия подсистем позволяет спроектировать подсистему как единный блок, которое хранится в библиотеке, то есть ему можно добавить окно параметров, объекты и справочную систему.

Чтобы скрыть существующую подсистему, нужно сначала выполнить следующие шаги:

■ определить, какие параметры подсистемы использовать в окне будущих пераметров. Определить те параметры, которые надо использовать в подсистеме (Greate subsysten from selection),

■ установить параметр в диалоговом окне,

■ разработать визуализацию блоков,

■ создать комментарии по использованию подсистемы.

Скрытие подсистемы осуществляется посредством редактора Mask Editor. Чтобы запустить редактор скрытия, выберите подсистему скрытия из контекстного меню Diagram, выбрать команду Mask или правой кнопкой мыши открыть окно Explore и выполнить директиву Mask Subsystem for selection. В случае выполнения команды откроется окно редактирования.

Первая из вкладок окна предназначена для отображения подсистем, вторая — для создания окна диалога входных параметров, третья — для инициализации входных параметров, четвертая — для создания окна справки.

Для блоков Fcn и Fcnl модели (см. Рис.2) создадим две подсистемы. С помощью первой подсистемы введем значения a и d, а второй — значения b и с. Отметим часть схемы, которую мы сделаем подсистемой и из меню, открытого правой кнопкой мыши, выполним Edit->Create Subsystem Selection или из главного меню директиву Diagram->Subsystem и Model Reference.

Ниже приведена схема модели и двух подсистем а также структура подсистем (рис. 3).

Рис. 3. Решение дифференциального уравнения: схема модели с двумя подсистемами

Рис. 3-а. Структурная схема подсистемы для ввод параметров а, d

Рис. 3-б. Структурная схема подсистемы для ввод параметров b, c

Теперь организуем ввод параметров a, d, b, и с. Директивой Diagram->Mask->Create Mask. мы можем запустить окно редактирования модели. Выполним двойной щелчок мышью по блоку подсистемы, откроется окно подсистемы и директивой Diagram->Mask->Create Mask. мы можем запустить окно редактирования модели.

Для формирования окна для ввода параметров в окне Dialog box разместим Groop box и два элемента edit. Директивой Apply рассмотрим вид входных окон (Рис. 4-a и Рис. 4-б).

Mask Editor : Subsystem

Icon & Ports] Parameters & Dialog Initialization Documentation

Controls Dialog box

* Parameter [Type Prompt Name

m Edit 0> Checkbox f(x)=a+duA2 DescGroupVar

3-CJ Parameters Conta inerâ

1=3 Popup (flj Radio button «0» Slider hi #1 ЧИ #2 Input Parameter a Input Parameter d a d

Рис. 4-а. Формирование входного окна: для ввода параметров а и d

Mask Editor : Subsystem!

Icon & Ports I Parameters & Dialog [^Initialization Documentation]

S3 Edit Щ Checkbox Popup Radio button «0» Slider

Type Prompt Name

•CJ p(x) = bu(c+uA2) DescGroupVar

ÉO Parametrs Contain er3

[■mm. Input Parameter b b

H3II #2 Input Parameter с с

Рис. 4-б. Формирование входного окна: для ввода параметров b и c

Двойным щелчком мыши по блоку подсистемы открыть окно, созданное директивой Mask, и ввести значения констант (Рис. 5).

Рис. 5. Вид блоков входных параметров: а и d, b и c

Запустив модель, мы получим фазовую траекторию функции, и графики функций ) У () в зависимости от t (Рис. 6).

Рис. 6. Фазовая траектория функции, и графики функций у() и У ()

в зависимости от

Рассмотрим следующее логистическое дифференциальное уравнение первого порядка у'(0 =-3у(/ -1)(1-у(/)). Ниже приведены модель (Рис.7-а) и результат решения (Рис. 7-б).

Рис. 7-а. Структурная схема решения дифференциального уравнения

Рис. 7-б. Результат решения логистического дифференциального уравнения

Здесь использован блок Transport Delay, который задерживает входной сигнал на фиксированное время. В окне настройки параметров блока указывается время задержки сигнала (Time Delay — 1), начальное значение выходного сигнала (Initial input), объем памяти, где будет записан задержанный сигнал (Buffer size — дано в байтах -1024).

Моделирование линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Самый

простой вид свободных колебаний задается посредством уравнения

уравнения состоит из двух блоков интегратора, которые интегрируют входной сигнал два раза.

В системе вынужденные колебания задаются в виде уравнения

блоках с обратной связью t (Рис. 8).

= p(x)y + f (x) . S-модель этого уравнения основана на двух интегральных

Рис. 8. Структурная схема дифференциального уравнения вынужденных колебаний Если уравнение вынужденных колебаний, заданно в виде ^ У = р(х) + у(х) имеет

следующую S- модель (Рис. 9):

Рис. 9. Структурная схема дифференциального уравнения вынужденных колебаний для второго

Особенностью этой модели является обратная связь двух интеграторов, где сигнал от второго интегратора передается на вход первого интеграта. В этой модели уже участвует производная первого порядка данной функции.

вынужденных колебаний имеет вид

В общем случае уравнение

Рассмотрим моделирование задачи свободных и вынужденных колебаний математического маятника.

Если на колебательную систему действуют момент внешней силы и силы трения вязкости, то дифференциальное уравнение, описывающее колебания маятника, может быть записано в следующем виде:

+ 2(—+ с0 sin V = с^в0 sinсt,

где Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

📹 Видео

Решение_дифференциальных_уравнений_1_порядка_в_Matlab.wmvСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

Решение систем диф уравнений 1 порядка в среде SimulinkСкачать

Дифференциальные уравнения второго порядка, примеры, решениеСкачать

ТАУ. Matlab/SIMULINK Фазовые портреты нелинейных и линейных диф. уравненийСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Интегрирование систем дифференциальных уравнений. Механический объект. MATLAB, Simulink, Arduino.Скачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

5 Численное решение дифференциальных уравнений Part 1Скачать