Решение дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Лекция №8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.6. Затухающие гармонические колебания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движения, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости

где μ − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.

Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармонических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид

Учитывая , что a= $$d^2xover dt^2$$ , а υ= $$dxover dt$$ и разделив на массу m , получим

Применив обозначения $$ = ω_0$$ , $$ = 2β$$ и $$ = f_0$$ получим

дифференциальное уравнение затухающих колебаний . Отметим, что ω₀ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды. Эта частота называется собственной частотой .

Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку

Проведем замену переменных

Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)

Преобразуем , сократив на e -βt

Рассмотрим случай, когда сопротивление среды настолько мало, что ω₀ 2 -β 2 >0 есть величина положи мы можем ввести тельная, и обозначение ω₀ 2 -β 2 =ω 2 , после чего уравнение (5.6.8) примает вид

В случае большого сопротивления среды ω₀ 2 -β 2 , движение становится непериодическим.

Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде

Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний (5.6.4)

В соответствии с видом полученной функции движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой

и амплитудой, изменяющейся по закону

На рисунке показан график данной функции. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t) , причем величина A₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение зависит от A₀ и также от начальной фазы φ , т.е. x₀=A₀cosφ .

5.7. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

и называется декрементом затухания .

Для характеристики системы обычно используется колебательной логарифмический декремент затухания , т.е. логарифм декремента затухания

Скорость затухания колебаний определяется величиной называем коэффициентом затухания $$β=$$ .

Найдем время, называемое временем релаксации τ , за которое амплитуда уменьшается в e раз

т. е. коэффициент затухания обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

За время релаксации τ система успевает совершить $$N_e=$$ колебаний

Следовательно, $$δ=$$ логарифмический декремент затухания обратно пропорционален по величине числу колебаний, за которые амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы используется величина

которая называется добротностью колебательной системы.

Величина Q , пропорциональная числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

5.8. Вынужденные колебания.

До сих пор мы рассматривали свободные колебания, когда выведенная из положения равновесия система совершает колебания будучи предоставленной самой себе. Рассмотрим колебательную систему, которая подвергается действию внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону F=F₀cosωt . Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями . В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид

Учитывая , что a= $$d^2xover dt^2$$ , а υ= $$dxover dt$$ и разделив на массу m , получим

Применив обозначения $$ = ω_0$$ , $$ = 2β$$ и $$ = f_0$$ получим

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Будем искать решение уравнения (5.8.3) в виде

предполагая, что результирующее колебание будет совершаться с частотой внешней вынуждающей силы.

Подставим (5.8.4) и (5.8.5) в уравнение (5.8.3)

Чтобы уравнение (69) обратилось в тождество необходимо, чтобы коэффициенты при cosωt и sinωt были равны нулю.

Из выражения (71) получаем

Возведем в квадрат уравнения (70) и сложим

Подставив полученные выражения (71) и (73) в выражение (64) получим уравнение вынужденных колебаний

5.9. Резонанс.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы называется резонансом , а соответствующая частота − резонансной частотой.

Найдем резонансную частоту. Амплитуда вынужденных колебаний будет max, когда выражение $$(ω_0-ω^2)^2 + 4β^2ω^2$$ в уравнении $$A=<f_0over sqrt <(ω_0-ω^2)^2 + 4β^2ω^2>>$$ (5.8.13) будет минимальным.

Продифференцируем это выражение по ω и приравняем к нулю

Полученное уравнение имеет три решения: ω=0 и ω=± $$sqrt <ω_0-2β^2>$$ . 2 . Первое решение соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, резонансная циклическая частота

Подставив это значение в выражение для амплитуды (5.8.13), получим выражение для амплитуды при резонансе

Из последнего уравнения (5.9.3) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность, а резонансная частота, согласно (5.9.2), при тех же условиях (при β=0 ), совпадала бы с собственной частотой колебаний системы ω₀

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы показана графически на рис. 5.9.1. В соответствии с (5.9.2) и (5.9.3), чем меньше параметр β , тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Изображенная на рис. 5.9.1 совокупность графиков функций (5.8.13), соответствующих различным значениям параметра β , называется резонансными кривыми .

При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному f₀ω₀ 2 . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F₀

При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

Наконец, отметим, что чем меньше β , тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум. При малом затухании (т. е. β ) амплитуда при резонансе приближенно равна A_pes≈f₀/2βω₀ . Разделим это выражение на смещение x₀ из положения равновесия под действием постоянной силы F₀ , равное x₀=f₀/ω_p 2 . В результате получим

где δ = βТ – логарифмический декремент затухания (5.7.2); Q – добротность колебательной системы (5.7.6).

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. Следует отметить, что это справедливо лишь при небольшом затухании.

Видео:70. Затухающие колебанияСкачать

Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

В любой реальный колебательной системе есть силы сопротивления (трения), действия которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие колебания называют затухающими.

В этом случае, уравнение движения для системы на рис.27.3 будет иметь вид

.

Учитывая, что а силу сопротивления, которая обычно пропорциональна скорости, можно записать как где r – коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления, уравнение движения приобретает вид

.

Перенося члены из правой части в левую, поделив уравнение на m и обозначив, получим уравнение в виде

где — частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствии сопротивления среды (собственная частота системы).

Коэффициент , характеризующий скорость затухания

колебаний, называется коэффициентом затухания.

Решение уравнения (9) имеет вид

где и — постоянные, определяемые начальными условиями — частота затухающих колебаний

График функции (10) показан на рис.27.10.

В линейных системах изохронность практически соблюдается только в области достаточно малых амплитуд.

Другое замечание. Если то процесс называется апериодическим (непериодическим). Выведенная из положения равновесия система, возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний (рис.27.11, кривая 1). Кривая 2 получается в том случае, если выведенной из положения равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положе-

Это отношение называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм – логарифмическим декрементом затухания

где Т – период затухающих колебаний. Для выяснения физического смысла возьмем некоторое время за которое амплитуда уменьшается в е раз (время релаксации). Тогда т.к. (из (11) ), то . Обозначим количество колебаний за время , тогда и , т.е. логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Кроме того, для характеристики колебательной системы часто употребляется такая величина

называемая добротностью колебательной системы (добротностью осциллятора). Добротность пропорциональна числу колебаний , совершаемых системой за то время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

7. Вынужденные механические колебания. Свободные колебания реальной колебательной системы являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные силами сопротивления. Это можно сделать, воздействуя на систему (рис.27.3) внешней силой, изменяющейся по гармоническому закону где — частота вынуждающей силы. Уравнение движения запишется с учетом всех сил ( ) запишется в виде

Поделив обе части на m и перенося первые два члена из правой части в левую, получим

Обозначив, как и в п.6 , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Уравнение является неоднородным. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

.

Общее решение однородного уравнения (правая часть (13) равна нулю) нам уже известно

.

Слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса (рис.27.12). С течением времени из-за экспоненциального множителя

ного уравнения (без вывода)

Функция (14) описывает установившиеся вынужденные гармонические колебания с частотой, равной частоте вынужденной силы.

Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных и ) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы.

8. Механический резонанс. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

Чтобы найти резонансную частоту , нужно найти максимум амплитуды функции (14), т.е. максимум функции

(15)

Или, что-то же самое, найти минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе (15). Продифференцировав выражение

по и приравняв к нулю, получим

.

Проведя дальнейшие простые преобразования, получим

,

а т.к. частота по своему смыслу не может быть отрицательной, то выбираем решение со знаком «+». Итак, резонансная частота

(16)

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты изменения вынуждающей силы в соответствии с выражением (15) представлен на рис.27.13. При →0 все кривые приходят к одному и тому же значению , . При , . Чем меньше , тем острее максимум.

стремится замедлить движение. При резонансе же фазы силы и скорости совпадают, так что сила «подталкивает» движение.

9. Понятие об автоколебаниях. Автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, не обладающего колебательными свойствами. Свойства колебаний определяются самой системой.

Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в такт с ее колебаниями.

Форма, амплитуда и частота колебаний задаются самой системой.

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Энергия берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза, но ни пружина, ни груз не являются вынуждающей силой, формулирующей колебания(внешняя сила не обладает колебательными свойствами). Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей. Другие примеры – электрический звонок, скрипка и т.п.

Вопросы для самоконтроля.

1. Какие колебания называются гармоническими? Приведите примеры гармонических колебаний.

2. Дайте определение следующих характеристик гармонического колебания: амплитуды, фазы, начальной фазы, периода, частоты, циклической частоты.

3. Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний и напишите его решение.

4. Как изменяются со временем кинетическая и потенциальная энергии гармонического колебания? Почему полная энергия гармонического колебания остается постоянной?

5. Выведите дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания и напишите его решение.

6. Что такое логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы?

7. Выведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и проанализируйте решение.

8. Что такое резонанс? Нарисуйте график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы, когда эта сила является простой гармонической функцией времени.

9. Что такое автоколебания? Приведите примеры автоколебаний.

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Затухающие колебания

4.2 Затухающие колебания

4.2.1 Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

Если кроме возвращающей силы на систему действует ещё и сила сопротивления (например, сила трения в механической системе или сопротивление проводника в контуре), то энергия колебательной системы будет расходоваться на преодоление этого сопротивления. Вследствие этого амплитуда колебаний будет уменьшаться и колебания будут затухать. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Рассмотрим затухание на примере пружинного маятника с коэффициентом упругости k, массой m, колеблющегося в среде, например, в жидкости, с коэффициентом сопротивления r. Предположим, что колебания малы и что маятник испытывает вязкое трение. В этом случае можно считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости:

Знак минус указывает на противоположные напра­вления силы трения и скорости. Закон движения маятника при данных условиях будет иметь вид:

Преобразуем это выражение:

(51)

Обозначим: w02 = = d, где w0 — циклическая частота собственных колебаний пружинного маятника при отсутствии сил сопротивления, d — коэффициент затухания. Дифференциальное уравнение затухающих коле­баний маятника примет вид:

(52)

Получили однородное дифференциальное уравнение, второго порядка, описывающее малые затухающие колебания в системе с вязким трением. Его решение имеет вид:

где ω — частота затухающих колебаний:

w = . (54)

Уравнение (52) справедливо для любой системы, как механической, так и немеханической, например, для электромагнитного контура. Действительно, для колебательного контура с сопротивлением R второе правило Кирхгофа имеет вид уравнения (29), которое после преобразований принимает вид:

.

Из сравнения с уравнением (52) следует:

Таким образом, дифференциальное уравнение затухающих колебаний

любой линейной системы в общем виде задается уравнением:

+ 2d+w02S = 0. (55)

где S — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d = const – коэффициент затухания, w0 — собственная циклическая частота колебательной системы, т. е. частота свободных незатуха­ющих колебаний той же колебательной системы (при отсутствии потерь энергии) Решение уравнения (55) имеет вид:

амплитуда затухающих колебаний; A0 — начальная амплитуда.

Таким образом, затухающие колебания описываются функцией с экспоненциально убывающей амплитудой, т. е. затухающие колебания не являются гармоническими.

Зависимость (56) показана на рисунке 10 сплошной линией, а зависимость (57) — штриховыми линиями. Если пропорциональность силы трения и скорости не выполняются, то и закон убывания амплитуды будет другим. Например при сухом трении Fтр ≠ ƒ(t), Fтр = const и амплитуда убывает согласно геометрической прогрессии. Во многих измерительных приборах наряду с вязким трением (наличие смазки) присутствует и сухое трение (напр. в подшипниках). Пока амплитуды колебаний велики, в затухании доминирует вязкое трение. При малых амплитудах преобладает влияние сухого трения.

4.2.2 Параметры затухающих колебаний

1) Период затухающих колебаний:

Т = (58)

При δ β2 , согласно формуле (58) Т → 2π/ ωo. Такой режим затухания называют периодическим или колебательным (рисунок 10). В этом случае для характеристики процессов в системе можно использовать параметры гармонических колебаний.

2) При ωo2 ≈ β2 наступает критический режим колебаний. В формуле (58) ω → 0, Т → ∞. Наличие большого затухания в системе приводит к большим потерям энергии, поэтому, перейдя положение равновесия, система не в состоянии отойти от него на сколь-нибудь заметное расстояние и возвращается к равновесию (рисунок 11). Условие наблюдения критического режима можно получить из соотношений:

а) для механической системы

rk = 2 (67)

в) по аналоги для электрической системы

. (68)

3) При ωo2 wо2) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает. Изображенная на рисунке 13 совокупность графиков функции (79), соответствующих различным значениям параметра d, называется резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых можно сделать еще следующие замечания. При стремлении wо к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному fо/wо2, т. е. Fo/k. Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины Fo. При w → ∞ все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что чем меньше d, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» по­лучается максимум. Из формулы (79) вытекает, что при малом зату­хании (т. е. при d > w 0, tgj = -2δ/ω и сдвиг фаз становится равным p. Зависимость j от w при разных значениях d показана графически на рисунке 14.

При слабом затухании wрез» w0, и значение j при резонансе можно считать равным p/2.Сдвиг фаз на p/2 при резонансе означает, что вынуждающая сила опережает смещение на Т/4. При этом условии работа вынуждающей силы всегда положительна и приток энергии к колебательной системе максимален.

С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота колебаний этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий. В противном случае возникают вибра­ции, которые могут вызвать катастрофу. Известны слу­чаи, когда обрушивались мосты при прохождении по ним марширующих колонн солдат. Это происходило потому, что собственная частота колебаний моста оказывалась близкой к частоте, с которой шагала колонна.

Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике и т. д.

4.4 Автоколебания

Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струёй.

Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т. д.

4.5 Переменный ток

4.5.1 Вынужденные электромагнитные колебания. Закон Ома для переменного тока.

Переменный ток можно рассматривать как установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор. Мы будем рассматривать квазистационарные токи, для которых мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи, содержащей последовательно включённые резистор, катушку индуктивности, конденсатор и источник переменной Э. Д.С., изменяющейся по гармоническому закону:

где εo — амплитуда электродвижущей силы.

В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL, UC . Будем считать, что внутреннее сопротивление источника э. д.с. пренебрежимо мало по сравнению с R. По закону Ома для участка цепи 1- L— R-2 имеем:

где φ2 — φ1 = q/C — мгновенное значение разности потенциалов обкладок

конденсатора, q — его заряд в этот же момент времени, — L(dI/dt) — э. д.с. самоиндукции в контуре. Возьмём производную по времени от обеих частей равенства (145). Учитывая, что dq/dt = I — ток в контуре, получим:

Учитывая, что R/L = 2δ, 1/ (ωC) = ωo2 и введя обозначение — εoω/L = еo уравнение (84) запишем в виде:

Решение уравнения (85) аналогично решению ранее рассмотренного уравнения (71). Ищем решение уравнения (84) для установившегося режима в виде:

где Iо — амплитуда переменного тока в контуре, j — сдвиг фаз между э. д.с. источника тока и силой тока. По аналогии с определением формул (74) и (75) найдём выражения для Iо и j :

(86)

(87)

Соотношение (86) называется законом Ома для переменного тока. Величина

(88)

называется полным сопротивлением цепи.

RL = ωL — индуктивное сопротивление;

RC = 1/ (ωC) — ёмкостное сопротивление;

— реактивное сопротивление. Реактивное сопротивление не вызывает тепловых потерь в цепи переменного тока. Оно создаёт сдвиг фаз между током и вынуждающей э. д.с.

R — активное сопротивление; за счёт него возникают тепловые потери в контуре.

Падение напряжения на отдельных участках цепи, представленной на рис. 15, можно получить, используя выражение (85):

UC = q/ С = U0C cos(ωt — φ — π/2);

По второму правилу Кирхгофа:

На рисунке 16 представлена векторная диаграмма амплитуд колебаний на всех элементах рассматриваемой цепи (см. рис. 15).

Из выражения (86) следует, что амплитуда тока зависит от частоты вынуждающей э. д.с. (рисунок 18). Максимального значения I0 достигает при частоте ωрез, равной:

(89)

Явление достижения током максимального значения I0рез при ω = ωрез называется резонансом напряжений. Это вызвано тем, что при ω = ωрез падения напряжений на индуктивном и ёмкостном сопротивлениях достигают максимальных значений равных по модулю и противоположных по фазе, поэтому суммарное падение напряжение на реактивном сопротивлении равно нулю. Падение напряжения на активном сопротивлении максимально, его амплитудное значение

Векторная диаграмма для резонанса напряжений при­ведена на рис.17.

Подставив в формулу (91) значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим:

( UL )рез= ( UС )рез= I0 = U0 = Q U0, (92)

где Q — добротность контура.

Так как доброт­ность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонан­са на конденсаторе, можно получить напряжение с амплитудой QUm ( в данном случае Q — добротность контура, которая может быть значительно больше Um. Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонанс­ной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции элект­рических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.

4.5.2 Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Полное мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений э. д.с. и силы тока. P(t) = ε(t) I(t), где

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что =1/2, sinw t.cosw t = 0, получим

= I0 ε0 cosj (93)

Из векторной диаграммы (см. рис. 16) следует, что ε0 cosj = RI0. Поэтому

.

Такую же мощность развивает постоянный ток . Величины Iэф = I0 /, Uэф = U0 / называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и на­пряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения. Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности можно записать в виде:

(94)

где множитель cosj называется коэффициентом мощности,

Формула (94) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cosj =1 и P = Iэф εэф. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cosj = 0 и средняя мощ­ность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cosj имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cosj, наименьшее допустимое значение которого для промышленных уста­новок составляет примерно 0,85.

📸 Видео

71. Вынужденные колебанияСкачать

Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Честный вывод уравнения колебанийСкачать

Затухающие колебания Лекция 11-1Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

5.4 Уравнение гармонических колебанийСкачать

Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)Скачать

Механика. Л 10.1. Колебания. Вывод дифференциального уравнения пружинного маятникаСкачать

Как решить уравнение колебаний? | Олимпиадная физика, механические гармонические колебания, 11 классСкачать

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

ЧК_МИФ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В СЛУЧАЕ МАЛЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПОТЕРЬСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать