Решение биквадратных уравнений и неравенств (6 видео)

Теория: 07 Биквадратные неравенства

(displaystyle x^4-61x^2+900 ge 0)

Представим (displaystyle x^4) как (displaystyle (x^2)^2) в биквадратном трехчлене (displaystyle x^4-61x^2+900 )

Сделаем замену (displaystyle t=color ) Получаем многочлен второй степени:

Найдем его корни и разложим на множители.

Решим квадратное уравнение:

Разложим многочлен второй степени на множители по правилу.

Содержание

Разложение на множители
Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.
Формула биквадратного уравнения:
Как решаются биквадратные уравнения?
Решение уравнений четвертой степени
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Решение биквадратного уравнения
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
🎦 Видео

Разложение на множители

где (displaystyle t_1 ) и (displaystyle t_2 ) – корни квадратного уравнения (displaystyle colort^2+bt+c=0)

В нашем случае старший коэффициент (displaystyle color=color ) а корни равны (displaystyle 36) и (displaystyle 25 )

Получили неравенство (displaystyle (t-36)(t-25)ge 0 ) Решим это неравенство.

Все решения неравенства (displaystyle (t-36)(t-25)ge 0) получаются, когда

либо (displaystyle t-36ge 0, t-25ge 0) – оба множителя неотрицательны;
либо (displaystyle t-36le 0, t-25le 0) – оба множителя неположительны.

Если это переписать в виде систем, то:

Преобразовывая линейные неравенства, получаем:

Решим получившиеся системы.

Неравенство (displaystyle tge 36) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство (displaystyle tge 25) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная (displaystyle t) одновременно больше либо равна (displaystyle 36) и больше либо равна (displaystyle 25)

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – (displaystyle tin [36;+infty) )

Или, записывая в виде неравенства,

Неравенство (displaystyle tle 36) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство (displaystyle tle 25) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная (displaystyle t) одновременно меньше либо равна (displaystyle 36) и меньше либо равна (displaystyle 25)

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – (displaystyle tin (-infty;25] )

Или, записывая в виде неравенства,

Объединяя получившиеся решения, получаем:

(displaystyle tle 25) или (displaystyle tge 36 )

Поскольку (displaystyle t=x^2 ) то, возвращаясь к переменной (displaystyle x ) получаем объединение неравенств

(displaystyle x^2le 25 ) или (displaystyle x^2ge 36 )

Решим эти неравенства.

Преобразуем неравенство (displaystyle x^2le 25)

Запишем получившееся неравенство в виде систем эквивалентных неравенств:

Преобразовывая линейные неравенства, получаем:

Решим получившиеся системы.

Неравенство (displaystyle xge 5) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство (displaystyle xle -5) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная (displaystyle x) одновременно больше либо равна (displaystyle 5) и меньше либо равна (displaystyle -5)

Так как в пересечении общих точек нет, то система неравенств решений не имеет.

Значит, множество решений пусто.

Неравенство (displaystyle xle 5) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство (displaystyle xge -5) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная (displaystyle x) одновременно меньше либо равна (displaystyle 5) и больше либо равна (displaystyle -5)

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – (displaystyle xin [-5;5] )

Объединяя полученные решения, получаем:

Преобразуем неравенство (displaystyle x^2ge 36)

Запишем получившееся неравенство в виде систем эквивалентных неравенств:

Преобразовывая линейные неравенства, получаем:

Решим получившиеся системы.

Неравенство (displaystyle xge 6) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство (displaystyle xge -6) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная (displaystyle x) одновременно больше либо равна (displaystyle 6) и больше либо равна (displaystyle -6)

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – (displaystyle xin [6;+infty) )

Неравенство (displaystyle xle 6) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство (displaystyle xle -6) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная (displaystyle x) одновременно меньше либо равна (displaystyle 6) и меньше либо равна (displaystyle -6)

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – (displaystyle xin (-infty;-6] )

Объединяя полученные решения, получаем:

(displaystyle xin (-infty;-6]cup [6;+infty) )

Объединим решения неравенств (displaystyle x^2le 25) и (displaystyle x^2ge 36)

Тогда (displaystyle xin [-5;5] ) или (displaystyle xin (-infty;-6]cup [6;+infty) )

Объединяя, получаем ответ:

(displaystyle xin (-infty;-6]cup [-5;5]cup [6;+infty) )

Ответ: (displaystyle xin (-infty;-6]cup [-5;5]cup [6;+infty) )

Видео:5 Лайфхаков Которые Помогут Решить Биквадратное УравнениеСкачать

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Видео:Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
(x^=t,;tgeq0)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

(t^-5t+6=0)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
(D=b^-4ac=(-5)^-4times1times6=25-24=1)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: (x^=3)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
(D=b^-4ac=(-4)^-4times1times4=16-16=0)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
(t=frac=frac=2)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить (x^=4) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
(begin
&x^=4\
&x_=2\
&x_=-2\
end)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
(x^-16=0)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
(begin
&x^=4\
&x_=2\
&x_=-2
end)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Видео:Биквадратные уравнения. 8 класс алгебра.Скачать

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Видео:Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3

Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .

Решим первое уравнение:

x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4

Решим второе уравнение:

x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2

Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .

Видео:КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ПОНЯТНЫМ ЯЗЫКОМСкачать

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .

Решение

Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3

Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .

Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .

Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Решение

Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9

Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .

Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .

Видео:Решение биквадратных уравнений. Практическая часть. 1ч. 8 класс.Скачать

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Видео:Биквадратное уравнениеСкачать

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .

Решение

Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0

Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .

Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0

Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .

Ответ: x 1 , 2 = — 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = — 2 .