проект по алгебре (8 класс)
Учебный материал представляет разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные).
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- Разложение левой части уравнения на множители………………. …..6
- Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»
- Просмотр содержимого документа «Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»»
- Проект по математике на тему «Квадратные уравнения» (8 класс)
- 📺 Видео
Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Учебный материал представляет разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные). | 327.12 КБ |
Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
гимназия №19 им. Н.З. Поповичевой г. Липецка
Выполнили: Александрова Анастасия
учащиеся 8а класса
Руководитель проекта: Алябьева Елена Анатольевна
- Введение. 2
- Классические способы решения квадратных уравнений………………..3
- Решение квадратных уравнений по формулам. .4
- Графический способ решения квадратного уравнения……………….5
Видео:Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать
Разложение левой части уравнения на множители………………. …..6
- Нестандартные способы решения квадратных уравнений………………. 8
- Геометрический способ решения квадратных уравнений …….……. 8
- Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения……….8
- Выводы………………………………………………. …………. ……….…10
- Заключение………………………………………………………………….…12
- Библиографический список. 13
В прошлом году темой нашего исследования была «Геометрическая алгебра древних греков». В процессе работы мы изучили способ решения квадратных уравнений с использованием метода геометрической алгебры Древней Греции. Задача решения квадратных уравнений заинтересовала нас, и мы решили поподробнее разобраться в этом вопросе уже в этом году. Так и возникла идея нашего проекта.
Актуальность темы «Квадратные уравнения» заключается в том, что она является одной из самых важных в математике. Уравнения – это язык алгебры, квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики и применяются в других науках. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения.
В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Это позволило нам выдвинуть гипотезу: существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры.
Изученные способы решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных.
Цель проекта: изучить разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные) и создать сборник «Квадратные уравнения».
- Обобщить и систематизировать имеющийся материал о квадратных уравнениях и способах их решения.
- Изучить дополнительные литературу и источники информации.
- Установить связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения и найти нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений.
- Систематизировать найденные способы решения квадратных уравнений.
- Разработать дидактический материал.
- Классические способы решения квадратных уравнений
В школе изучаются классические способы решения квадратных уравнений с использованием формул корней квадратных уравнений, теоремы Виета. Также имеются и другие способы решения квадратных уравнений – графический, разложение квадратного трёхчлена на множители, выделение квадрата двучлена, которые также позволяют решать квадратные уравнения.
Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где коэффициенты, а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или/и с равен нулю.
Корнем квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + вх + с обращается в нуль.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Ниже мы рассмотрим классические способы решения квадратных уравнений.
Видео:Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать
Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»
Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»»Муниципальное учреждение «Отдел образования администрации муниципального района Мишкинский район
Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное
Учреждение Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино
Тема: 10 способов решения квадратных уравнений
Выполнила: ученица 9 В класса
МБОУ Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино
Руководитель: учитель математики
МБОУ Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино
Алексеева Гузель Фанавиевна
Мишкино 2017 год
Исторические сведения о квадратных уравнениях……………………..стр.4
Определение квадратного уравнения………………………………. стр.7
Способы решения квадратных уравнений…………………………. стр.8
Разложение на множители левой части……………………………. стр.10
Метод выделения полного квадрата…………………………………стр.10
Решение квадратных уравнений по формуле…………………. стр.11
Решение уравнений с использованием теоремы Виета………. стр.11
Решение уравнений способом «переброски»…………………. стр.12
Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………….стр.13
Графическое решение квадратного уравнения……………………. стр.13
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки….стр.14
Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу)….стр.15
Геометрический способ решения квадратных уравнений…………стр.15
Тренировочные задания для отработки различных способов решения квадратных уравнений…………………………………………………. стр.16
Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
В школьной программе рассматривается только 3 способа их решения. Готовясь к предстоящим экзаменам, я заинтересовался другими способами их этих уравнений. Поэтому я выбрала тему «10 способов решения квадратных уравнений».
Актуальность темы: на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно, и рационально решать квадратные уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов. Плюс выбранная тема мне очень интересна.
Цель работы: выявить способы решения уравнений второй степени и рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.
1) Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений;
2) Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений;
3) Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;
4) Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов;
5) Провести кружок для одноклассников.
Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов;
анализ полученной информации;
сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность.
Время исследования: с 12 октября 2016 года по 20 декабря 2016 года.
Исторические сведения о квадратных уравнениях.
Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Квадратные уравнения в древнем Вавилоне
В математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решение «типовых» задач, из которых решение аналогичных задач получались заменой числовых данных.
Необходимость решать квадратные уравнения возникла ещё в древности, была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных квадратных уравнений и полные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общее методы решения квадратных уравнений.
Квадратные уравнения у ал-Хорезми
В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений. Основная идея для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-Джабр и ал-Мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII века., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
XIII-XVII ввКвадратные уравнения в Европе . Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII в.
Квадратные уравнения в ИНДИИ
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «АРИАБХАТТИАМ», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом АРИБХАТТОЙ. Другой индийский ученый, БРАХМАГУПТА VII век, изложил общее правило решения квадратных уравнений приведенных к единой канонической форме. В уравнении коэффициенты, кроме положительных, могут быть и отрицательными. Правило БРАХМАГУПТЫ по существу совпадает с современным решением. В древней ИНДИИ были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующие: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать повисая…
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Часть страницы из алгебры Бхаскары (вычисление корней).
2.Определение квадратного уравнения
Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причем, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.
Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения
Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.
Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.
Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство (0=0).
Решить квадратное уравнение – найти все его корни или установить, что их нет.
3.Способы решения квадратных уравнений
Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.
Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Проект по математике на тему «Квадратные уравнения» (8 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
МБОУ – СОШ «Рязанские сады»
Проект по математике
решения квадратных уравнений»
Выполнила: ученица 8 класса
Фомина Екатерина Петровна
Руководитель: учитель математики
I квалификационной категории
Ярославцева Людмила Егоровна
История возникновения и развития квадратных уравнений………………..5
Что такое квадратное уравнение………………………………………………8
Способы решения квадратных уравнений……………………………………9
Разложение левой части уравнения на множители…………………………..9
Выделение квадрата двучлена…………………………………………………9
Решение квадратных уравнений по формуле………………………………..11
Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета………………13
Свойства коэффициентов квадратного уравнения…………………………..16
Графический способ решений квадратных уравнений………………………17
Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………….20
Список используемых источников и литературы…………………………….24
В школе на уроках математики мы изучили несколько способов решения квадратного уравнения. От учителя я узнала, что существуют и другие способы, но мы не рассматриваем их в школьной программе. Меня это заинтересовало, и я решила узнать, какие еще способы решения квадратного уравнения существуют и сколько их всего.
Познакомиться с биографией великих математиков, занимавшихся решением квадратных уравнений.
Найти различные способы решений квадратных уравнений.
Практическое применение способов решения квадратных уравнений в современной жизни.
Найти исторический материал решений квадратных уравнений.
Систематизировать знания о различных способах решения квадратных уравнений.
Подготовить презентацию своего проекта.
Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.
У.У. Сойер (английский математик XX века)
Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
Решение квадратных уравнений – одна из важнейших тем курса алгебры 8 класса.
В школьном курсе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать данные уравнения.
Часто первый избранный способ бывает далеко не самым удачным, поэтому задача каждого ученика — научиться находить не только верные, но и наиболее рациональные способы решения квадратного уравнения. В некоторых случаях их можно решать и устно, только для этого необходимо помнить алгоритм, который может пригодиться как на экзамене, так и в различных жизненных ситуациях.
Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра? Какие есть еще способы решения квадратных уравнений, и сколько их? Ответа на эти вопросы я не нашла на страницах школьного учебника. Чтобы разобраться и глубже изучить данную тему, я решила провести исследование.
Изучением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков. Мне захотелось узнать историю развития квадратных уравнений.
В школьных учебниках дана не полная информация о квадратных уравнениях и способах их решения.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: способы решения квадратного уравнения.
Работа с учебной и научно-популярной литературой, интернет-рессурсами.
Наблюдение, сравнение, анализ.
Ожидаемые результаты: в ходе изучения данной работы я реально смогу оценить свой интеллектуальный потенциал, расширить свой кругозор, заинтересоваться математикой и историей ее развития и, соответственно, в будущем определиться с выбором профессии. Я смогу создать проектный продукт по исследуемой теме в форме компьютерной презентации, что позволит мне компенсировать недостаточность знаний по этому вопросу.
Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики для повышения математической грамотности, и учителя на факультативных занятиях.
История возникновения и развития квадратных уравнений
Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет.
Г.В. Лейбниц (немецкий математик XVII-XVIII веков)
Уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:
Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.
Найденные древние вавилонские глиняные таблички (около 2 тысяч лет до н.э.) являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На них изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения этих уравнений совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax 2 = c и ax 2 + bx = c и привел методы их решения.
Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.
Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:
ах 2 + bx = c , где a > 0 . В этом уравнении коэффициенты (кроме а) могут быть и отрицательными. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В его книгах «Арифметика» нет систематического изложения алгебры, однако в них содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений различных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Основоположником алгебры считают среднеазиатского математика Мухаммед бен Муса аль — Хорезми (787 – 850 г. г.).
Аль-Хорезми — не фамилия, это своеобразное прозвище, означающее, что Мухаммед, сын Мусы, происходит из Хорезма. (Хорезм — это крупный оазис в низовьях Амударьи, был заселён людьми в глубочайшей древности, там ещё в I тысячелетии до нашей эры существовала высокая культура). В VIII веке арабы завоевали Хорезм и уничтожили эту древнюю культуру.
Об Аль-Хорезми известно лишь, что он написал ряд трудов по астрономии и географии. И самое главное — он написал сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мухабала», что в переводе на русский язык означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки — алгебра.
Аль-Хорезми в своем алгебраическом трактате дает классификацию линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т.е. а = b х.
2) «Квадраты равны числу», т.е. а = с.
3) «Корни равны числу», т.е. вх = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. а + с = b х.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. а + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = а.
Аль-Хорезми избегает употреблений отрицательных чисел, поэтому члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Он первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с , при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в 1544 г. немецким математиком М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Декарт Жирар Ньютон Никколо Тарталья
Франсуа Виет (1540-1603) первым догадался обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Это скромное, казалось бы, новшество внесло огромный вклад в развитие математики. Ведь если не использовать букв для обозначения коэффициентов квадратного уравнения, то записать даже несложную формулу для его решения будет довольно трудно. Недаром Виета часто называют «отцом алгебры».
Что такое квадратное уравнение?
Квадратное уравнение – это алгебраическое уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х – переменная ; коэффициенты а, b и с – любые действительные числа, причем, а ≠ 0 .
Квадратные уравнения бывают трёх видов:
1. Полные квадратные уравнения (ax 2 + bx + c = 0, где) .
2. Неполные квадратные уравнения – это уравнение вида
3. Приведенные квадратные уравнения – это уравнения вида x 2 + px + q = 0 , в котором старший коэффициент a=1, р – коэффициент при х (p= ) , q – свободный член ( q = ).
Способы решений квадратных уравнений.
способ: разложение левой части уравнения на множители.
Этот метод не всегда удобен, т.к. не всегда удается применить способ группировки .
способ: выделение квадрата двучлена.
Цель метода — привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. В этом нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:
Рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений, т. е. таких уравнений, у которых все три коэффициента отличны от нуля. Начнём с уравнений, в которых первый коэффициент равен единице. Такие уравнения называют приведёнными квадратными уравнениями.
Решим приведённое квадратное уравнение
Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получим:
Решим еще одно приведенное квадратное уравнение:
Если к разности х 2 — 6х прибавить число 9, то получим выражение, которое можно записать в виде (х — 3) 2 , т. е. в виде квадрата двучлена. Прибавим к левой части число 9, а чтобы равенство не нарушилось, вычтем 9 из левой части.
x – 3 = -4 или х – 3 = 4
Пример3: рассмотрим общий случай – не приведенное квадратное уравнение
Этот метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Чаще всего используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.
c пособ: решение квадратных уравнений по формуле.
Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают упавнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение:
Разделив обе его части на а, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение:
Преобразуем это уравнение:
Получившееся уравнение равносильно начальному. Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4а 2 — положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком её числителя, т. е. выражения b 2 — 4ас.
Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ах 2 +вх+с=0
( «дискриминант» по-латыни — различитель).
Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости от D .
📺 Видео
Решение задач с помощью рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать
Алгебра 8 класс с нуля | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать
Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать
Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать
Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
Математика это не ИсламСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№32 - Решение задач с помощью рациональных уравнений.)Скачать
Квадратное уравнение. Практическая часть. 1ч. 8 класс.Скачать
Решение биквадратных уравнений. Практическая часть. 1ч. 8 класс.Скачать
Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать
НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8 классСкачать
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ дискриминантСкачать
Как решают уравнения в России и США!?Скачать
Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать
