Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в excel (3 видео)

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ В MICROSOFT EXCEL

Содержание

Скачать:
Подписи к слайдам:
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel
Презентация к уроку
Решение уравнений в excel — примеры решений
Первый метод
Второй метод
Третий метод
Четвертый метод
📸 Видео

Видео:Решение системы уравнений в ExcelСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
В данной статье рассматриваются решения алгебраических и трансцендентных уравнений, с применением электронных таблиц Micr	931.01 КБ

Предварительный просмотр:

Видео:Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать

Подписи к слайдам:

Тема: АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ В MICROSOFT EXCEL Выполнил: Мурзин Дмитрий Алексеевич, студент 2 курса Научный руководитель: преподаватель специальных дисциплин Соколова Марина Анатольевна Серпухов 2022г . ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ «СЕРПУХОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Актуальность На практике при решении различных физических и технических задач составляются и решаются уравнения. Уравнения – аналитическая запись задачи о нахождении значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны . Аргументы-неизвестные, а значение неизвестных-корни уравнения. В школьном курсе математике рассматриваются различные способы аналитического решения простейших уравнений. Но существуют алгебраические уравнения ,для которых нет общего случая решения в радикалах, их решение можно найти только приближенно. Например, ш ар радиуса r плавает в воде, погрузившись на глубину d .Пусть r =10см, сделан он из сосны, имеющей плотность 0,638 г / .Плотность воды 1 г / . Требуется найти глубину погружения шарика d . В своей работе я буду рассматривать различные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, с применением электронных таблиц Microsoft Excel .

Объект исследования: уравнения; Предмет исследования: методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Цель работы: Выполнить в Microsoft Excel различные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Задачи работы: 1. Изучить и провести анализ литературы, интернет-ресурсов теоретической и практической основы методов решения уравнений; 2. Исследовать различные методы решения трансцендентных и алгебраических уравнений; 3. Выполнить в Microsoft Excel различные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Введение: Возможности электронных таблиц не ограничиваются вычислениями по формулам и построением графиков и диаграмм. В своей работе я рассмотрю практическое применение Microsoft Excel . Остановимся на решении уравнений. Конечно, это не означает, что Microsoft Excel решит уравнение в алгебраическом виде и выдаст все его корни. В Microsoft Excel встроены методы нахождения приближенных значений. Один из них называется методом подбора параметра. Она подберет один из корней уравнения. Электронные таблицы располагают серьезными возможностями по оптимизации решений, то есть нахождению наилучшего результата при заданных условиях. Для этого в Microsoft Excel можно рассмотреть различные методы приближенного решения уравнений.

Общая постановка задачи Найти действительные корни уравнения f(x) = 0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция. Точные методы решения уравнений подходя только для узкого класса уравнений (квадратные, биквадратные и т. д.). Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов: 1. Отделение (локализация) корня; 2. Приближенное вычисление корня до заданной точности (уточнение корней). Уточнение корня может производить разными методами[1][3]: 1. Графический метод; 2.Метод подбора параметра; 3. Метод половинного деления; 4. Метод итераций; 5. Метод хорд (метод секущих); 6. Метод касательных (метод Ньютона); 7. Комбинированный метод. Применяя электронные таблицы Microsoft Excel , я выполнил решение задачи перечисленными методами.

Пример: Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией с точностью е=0,001 . Представьте графически поставленную задачу;

Графический метод . X= 1,100586 Отрезок [ 0 , 1 ]

Метод подбора параметра: Подбор параметра — простейший метод нахождения оптимального желаемого решения за счет изменения одного из параметров. Алгоритм для программной реализации : 1.Составить таблицу значений данной функции . 2.Построить график функции . 3.По графику грубо приближенно определить корень уравнения . 4.Выяснить в какой ячейке находится это значение (адрес ячейки будет использоваться далее ) 5.Ввести команду Сервис – Подбор параметра . 6.На панели Подбор параметра в поле Значение ввести требуемое значение функции . 7.В поле Изменяя значение ячейки ввести адрес ячейки, в которой будет производиться подбор значения аргумента (адрес ячейки определенный в пункте 4 ) 8.На панели Результат подбора параметра будет выведена информация о величине подбираемого и подобранного значений. Щелкните кнопку ОК . 9.В ячейке аргумента из пункта 4 появится подобранное значение. Это и есть корень уравнения, найденный с заданной точностью. Точность подбора зависит от заданной точности представления чисел в ячейках таблицы . Однако не все задачи могут быть решены путем подбора параметра. Решение не будет найдено, если изменяемая и целевая ячейки логически связаны. При такой сходимости в окне Результат подбора параметра можно установить Шаг ( Step ) и Паузу ( Pause ) и с их помощью осуществлять процесс подбора параметра.

Таблица. Расчет уравнения по методу подбора параметра: x= 1,001

Метод половинного деления: Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) — интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью. Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов. Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия — сопоставленность или противопоставленность двух частей целого): Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b) , либо справа от середины, либо — слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b) . Алгоритм для программной реализации: а:=левая граница b:= правая граница m:= ( a+b )/2 середина определяем f(a) и f(m) если f(a)*f(m) e повторяем , начиная с пункта2 m- искомый корень.

Таблица. Расчет уравнения по методу половинного деления: x= 1,00586

Метод простой итерации: Смысл метода простой итерации состоит в том, что мы представляем уравнение f(x) в виде ) и по формуле будем строить итерации, которые сходятся к искомому корню с интересующей степенью точности, но тут есть проблемы: возможно f(x) очень сложно представить в таком виде, да и не факт, что любая будет строить сходящиеся итерации, поэтому алгорим сводится к тому, чтобы оптимально найти . Подготовка: Ищем числа m и M такие, что на (a, b) ; Представляем , где ; Алгоритм: 1. Выбираем х0 из (a, b) ; 2.Вычисляем ; 3.Проверяем условие , где q=(M-m)/( M+m ) ; 4.Если оно ложно, то переходим к пункту 7; 5. х0=х1; 6.Переходим к пункту 2; 7. х1–искомый корень.

Таблица. Расчет уравнения по методу простой итерации: x^3-10x+1=0,

Метод хорд Метод хорд заключается в замене кривой у = f ( x ) отрезком прямой, проходящей через точки ( а , f ( a )) и ( b , f ( b )) . Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение. Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки ( a , f ( a )) и ( b , f ( b )) и, приравнивая у к нулю, найдем х : Алгоритм метода хорд : 1) П усть k = 0; 2) В ычислим следующий номер итерации: k = k + 1. Найдем очередное k -e приближение по формуле: x k = a — f ( a )( b — a )/( f ( b ) — f ( a )). Вычислим f ( x k ); 3) Е сли f ( x k )= 0 (корень найден), то переходим к п. 5. Если f ( x k ) × f ( b )>0, то b = x k , иначе a = x k ; 4) Е сли |x k – x k -1 | > ε , то переходим к п. 2; 5) В ыводим значение корня x k ; 6) К онец.

Таблица. Расчет уравнения по методу хорд: x= 0,1001

Метод касательных В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных: Теорема. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия: 1) функция f(x)и ее производные f ‘(х)и f »(x)непрерывны; 2) производные f ‘(x)и f »(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки; 3) f(a)× f(b) 0, то итерационная последовательность сходится монотонно

Таблица. Расчетное уравнение по методу касательных: x= 0,1001

Результаты: Исследование методов показало различные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений с помощью электронной таблицы Microsoft Excel . Следующие методы были изучены: • Графический метод; • Подбор параметра; • Метод половинного деления; • Метод итераций; • Метод хорд (метод секущих); • Метод касательных (метод Ньютона); • Комбинированный метод.

Вывод: Я изучил методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений на примере задачи с физическим содержанием с помощью Microsoft Excel . В данной работе я показал методы решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel : 1)методом бисекции;2)методом итераций;3)методом секущих;4)методом Ньютона;5)метод подбора параметра;

Видео:Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хордСкачать

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (641 кБ)

В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

1. Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);

2. Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);

3. Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);

4. Отладка и использования программы на ЭВМ (этап реализации);

5. Анализ полученных результатов (этап интерпретации).

В данной работе показано решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel. Уточнения корня производилось различными методами: методом бисекции; методом итераций; методом секущих; методом Ньютона.

Самый простейший из методов уточнения корня является метод половинного деления и используется во многих стандартных программных средствах.
Метод хорд в отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения. Он требует, чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень был не подвижен. Берется один из концов отрезка. Метод является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя. Метод хорд использует пропорциональное деление интервала.

В методе касательных в отличие от методов дихотомии и хорд задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

У метода хорд и у метода Ньютона имеется общий недостаток: на каждом шаге проверяется точность значения.

Видео:Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать

Решение уравнений в excel — примеры решений

Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.

Видео:Численное решение уравнений, урок 5/5. Комбинированный метод хорд и касательныхСкачать

Первый метод

Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».

1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.

2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля

3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.

4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Второй метод

Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

1. Создаете два диапазона.

На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

Видео:Решение уравнений с помощью ExcelСкачать

Третий метод

Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.

1. Записываете произвольную систему уравнений.

2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.

3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.

Видео:Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в ExcelСкачать

Четвертый метод

Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.

Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.

1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.

2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).

Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.

3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.

4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.

5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу

=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.

6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78

7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77

8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76

9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.

Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.

Жми «Нравится» и получай только лучшие посты в Facebook ↓