Реферат по теме уравнения с двумя переменными

Видео:9 класс, 8 урок, Уравнения с двумя переменнымиСкачать

Реферат: Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными — методом подстановки

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Алматинская область Карасайский район

ТЕМА: Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными — методом подстановки

Школа им. Ш. Кудайбердыулы

Ученик 8 класса

Басов Ярослав Андреевич

Нигматуллина Ирина Ильдаровна

Поселок Нурлытау 2009 г.

Глава 1. Цель исследования

Глава 2. Методика исследования данной работы

Глава 3. Результаты исследования и их практическая значимость

Список использованной литературы

Видео:ГРАФИК ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСС видеоурокСкачать

Введение

Основная цель при решении систем линейных уравнений — решить систему уравнений, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются:

2. способ подстановки,

3 — способ сложения.

Практическое применение этих способов — это решение задач, по алгебре, физике, химии, геометрии.

1 — Кроме этого умение определить без построения графиков число решений системы линейных уравнений с числовыми коэффициентами. Основная цель, которая ставится при изучении темы — понять, то, что вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений (если исключить выраженный случай а=0, в=0 для линейного уравнения ах + ву = с) сводиться к определению числа общих точек прямых, являющимися графиками уравнений системы.

Известно, что графиком линейного уравнения является прямая.

Рассмотрим три случая расположения прямой.

Прямые, являющиеся графиком уравнения, входящих в эту систему, пересекаются. Решим систему уравнений:

Уравнениями у = — 1, Iх + 12 и у = — 6х + 18 задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками этих функций, различны. Значит, эти прямые пересекаются, и система имеет единственное решение. Прировняв правые части уравнений, найдем точку пересечения Данная система имеет единственное решение: пара чисел.

Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны. Решим систему уравнений:

Прямые, являющиеся графиками линейных функций у = — О,4х+О,15 и

У = — О,4х+3,2, параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений

Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают.

Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел (х; у), в которой х — произвольное число, а у = — 2,5х — 9, является решением системы. Система имеет бесконечно много решений.

Главная проблема при решении системы линейных уравнений графическим способом у учащихся это?

не умения, выражать одну переменную через другую.

не правильное построение системы координат (различный единичный отрезок на осях ординат и абсцисс).

Рассмотрим способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными, называемый способом подстановки. Начнем с задачи.

Ученик задумал два числа. Первое число на 7 больше второго. Если от утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 27 Какие числа задумал ученик?

Решение: Пусть х — первое число, у — второе число. По условию задачи составим систему уравнений.

В первом уравнении выразим х через у: х = у + 7.

Подставив во второе уравнение вместо переменной х выражение х = у + 7, получим систему

Второе уравнение системы представляет собой уравнение с одной переменной.

Подставив в первое уравнение системы вместо переменной у ее значение, равное 6, получим:

6) является решением системы. Ответ: (13;

Главная проблема при решении системы линейных уравнений способом подстановки у учащихся это?

не умения, выражать одну переменную через другую.

не умение, подставить уже полученную переменную (не видят)

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Решим систему уравнений:

В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами. Сложив почтенно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением 3х=33. Получим систему:

Система (2) равносильна системе (1). Решим систему (2). Из уравнения 3х=33 находим, что х=11. Подставив это значение х в уравнение х-3у=38, получим уравнение с переменной у:

Решим это уравнение:

Пара (11; — 9) — решение системы (2), а значит, и данной системы (1).

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы (1) коэффициенты при у являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (2), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Геометрически равносильность систем (1) и (2) означает, что графики уравнений 2х+3у= — 5 и х-3у=38 пересекаются.

Главная проблема при решении системы линейных уравнений способом подстановки у учащихся это?

1) не умение, подставить уже полученную переменную (не видят)

Проанализировав основные проблемы решение линейных систем уравнений с двумя переменными, можно сделать вывод:

Главная проблема при решении систем линейных уравнений различными способами у учащихся это?

не умения, выражать одну переменную через другую. (в трех случаях)

не умение, подставить уже полученную переменную (в двух случаях)

И обе эти проблемы встречаются при решении линейных систем уравнений способом подстановки.

Почему я решил проводить исследование в этой области?

Проанализировав основные проблемы решение линейных систем уравнений с двумя переменными, можно сделать вывод.

Главная проблема при решении систем линейных уравнений различными способами у учащихся это?

не умения, выражать одну переменную через другую. (в трех случаях)

не умение, подставить уже полученную переменную (в двух случаях)

И обе эти проблемы встречаются при решении линейных систем уравнений способом подстановки.

Кроме этого, решение задач составлением систем уравнений, по физике, алгебре, геометрии и химии для таких учащихся останутся недоступными. Поэтому я решил, заняться, поиском более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными — методом подстановки.

Я считаю, что моя работа, в этом направлении очень актуальна.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Глава 1. Цель исследования

1. Найти более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными — методом подстановки.

Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй степени и одно линейное в древневавилонских текстах, написанных в III-II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени.

Задача 1 “Площади двух своих квадратов я сложил: . Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5″.

Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:

Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат и согласно формуле квадрата суммы, которая ему, видимо, была известна, получает:

Подставляя это значение у в первое из системы уравнений (1), автор приходит к квадратному уравнению:

Решая это уравнение по правилу, применяемому нами в настоящее время, автор находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и не имели алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его “Арифметики».

Задача 2. “Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов — 208″.

Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:

Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, получает (в современных обозначениях):

Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант производит устно), получаем

x = 2 + 10; у = 10 — 2. Далее, х2 + у2 = (г + lO) 2 + (10 — г) 2 == 2z2 + 200.

z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8.

В поисках различных решений я обнаружил следующее.

Основные методы решения рациональных уравнений.

1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле

Также используется теорема Виета:

x1 + x2 = — b / a; x1x2 = c / a.

2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

3) Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение (x2 + x — 5) / x + 3x / (x2 + x — 5) + 4 = 0,легко решается с помощью подстановки (x2 + x — 5) / x = t, получаем t + (3/t) + 4 = 0. Или: 21/ (x2 — 4x + 10) — x2 + 4x = 6. Здесь можно сделать подстановку x2 — 4 = t. Тогда 21/ (t + 10) — t = 6 и т.д.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение

(x2 + 2x) 2 — (x +1) 2 = 55.

Переписав его иначе, а именно (x2 + 2x) 2 — (x2 + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x2 + 2x=t.

Имеем t2 — t — 56 = 0, t1 = — 7, t2 = 8. Осталось решить x2 + 2x = — 7 и x2 + 2x = 8. В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее». Например

1) Уравнение (x + a) 4 + (x + b) 4 = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

2) Симметрическое уравнение (возвратное) a0xn + a1xn — 1 + … + a1x + a0 = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1/x = t, если n — чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = — 1.

3) Уравнение вида (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = l сводится к квадратному, если a + b = c + d и т.д.

4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения anxn + an — 1xn — 1 + … + a1x + a0 = 0 ищем в виде p / q, где p — делитель a0, q — делитель an, p и q взаимно просты, pÎZ, qÎN.

5) “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать свой метод», догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что

f (x), если f (x) ³ 0,| f (x) | =

f (x), если f (x) z (в противном случае первая сестра не смогла бы выручить столько же, сколько третья).

Видео:Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

Реферат: по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными»

РЕФЕРАТ ПО МАТЕМАТИКЕ.

«ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ».

УЧЕНИК 9 КЛАССА «Б»

ГОУ ГИМНАЗИИ № 1505

БАТАЛОВА ВЕРА ИВАНОВНА.

ГОД РЕАЛИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ:

2) ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ РЕФЕРАТА………………………….стр. 3-9

ГЛАВА I: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ……………. стр.3-7

а) ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ………………………………стр.3

б) ГРАФИЧЕСИЙ МЕТОД………………………………………стр.3-4

в) СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ………………………………….стр.4-6

г) СПОСОБ ПОЧЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ…стр.6

д) СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ……………………………………стр.6-7

ГЛАВА II: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ………………………………………………………стр.7-8

а) ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ………………..стр.7-8

б) СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ……………стр.8

4) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………..стр.10

I. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА………………………………. стр.11-12

а) СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ………………………………….стр. 12-14

б) СПОСОБ ПОЧЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ..стр. 14

в) ГРАФИЧЕСИЙ МЕТОД………………………………………стр. 14-16

г) СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ …………..стр. 16

д) ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ….……………стр. 16

Тема моего реферата «Основные методы решения систем уравнений с двумя переменными». Эта темя изучается в школьном курсе алгебры: в 7 классе изучаются системы линейных уравнений, а в 9 классе – системы нелинейных уравнений. Решение многих задач по алгебре, физике, геометрии приводит к составлению системы уравнений. Умение решать эти системы означает успешное изучение курсов алгебры, физики, геометрии. Решение систем уравнений включено в государственный экзамен 9 и 11 класса.

Цель моего реферата: разобрать основные методы решения систем уравнений. Для реализации моей цели я ставлю перед собой следующие задачи:

1) Ознакомление с литературой по теме реферата;

2) Обобщить основные методы решения систем линейных уравнений;

3) Познакомиться с некоторыми методами решения систем нелинейных уравнений;

4) Рассмотреть вопросы равносильности систем уравнений.

В результате изучения этой темы я составлю решебник систем уравнений. Я надеюсь что, мой решебник сможет помочь учащимся 8-9 классов лучше подготовиться к выпускным экзаменам. А основные методы решения систем с параметром я буду изучать в 10-м классе.

ГЛАВА I : МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Для начала выясню, что такое линейные и нелинейные уравнения с двумя переменной:

1) Линейные уравнения с двумя переменной – уравнение первой степени.

2) Нелинейные уравнения с двумя переменной – уравнение второй степени.

Теперь выясним, что такое решение системы уравнения с двумя переменными:

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство, называют решением системы [1] .

Осталось только два вопроса: во-первых, что является графиком уравнения и, во-вторых, вопрос о равносильности систем уравнений:

1) Графиком уравнения с двумя переменными является изображение точек её решений на плоскости[2] .

2) Две системы называются равносильными , если множества их решений совпадают. Если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными[3] .

Теперь, когда все основные понятия и определения разобраны, можно приступать к решению систем разных видов основными методами, которые мне известны на данный момент.

Основная цель при решении систем уравнений — решить эту систему, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются:

1) графический способ;

2) способ замены переменной и алгебраического сложения и вычитания;

3) способ почленного умножения и деления;

4) способ подстановки.

Все эти способы используются во всех предметах, где необходимы знания математики: алгебра, физика, химия, геометрия.

Рассмотрим способ № 1 : Известно, что графиком линейного уравнения является прямая. Вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений сводиться к определению числа общих точек прямых, являющимися графиками уравнений системы. Рассмотрим три случая расположения прямой.

Случай 1 : Прямые, которые являются графиком функции, входящих в данную систему, пересекаются.

Решим эту систему:

Уравнениями у=-1,1х+12 и у=-6х+18 задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых этих функций различны. Следовательно, эти прямые пересекаются, и система имеет единственное решение. Прировняв правые части уравнений, найдем точку пересечения. Данная система имеет единственное решение: пара чисел равная (1,2; 10,7).

Случай 2 : Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны.

Решим систему уравнений:

Прямые, являющиеся графиками линейных функций у=-0,4х+0,15 и у=-0,4х+3,2, параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений.

Случай 3 : Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают.

Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел (х; у), в которой х — произвольное число, а у = — 2,5х — 9, является решением системы. Система имеет бесконечно много решений.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин:

1) не умение, выражать одну переменную через другую;

2) не правильное построение системы координат (различный единичный отрезок на осях ординат и абсцисс).

Рассмотрим способ № 2(замена переменной): Легче всего это сделать, решив задачу, что мы сейчас и сделаем:

Условие задачи : Ученик задумал два числа. Первое число на 5 больше второго. Если от удвоенного первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 25. Какие числа задумал ученик?

Решение : Пусть х — первое число, у — второе число. По условию задачи составим систему уравнений.

В первом уравнении выразим х через у: х=у+5 .

Подставив во второе уравнение вместо переменной х выражение х = у + 7, получим систему

Очевидно, что получившееся второе уравнение является уравнением с одной переменной.

Подставив в первое уравнение системы вместо переменной у ее значение, равное 6, получим:

Ответ : ученик задумал числа равные -6 и -11, т. е. пара чисел (-6; -11) является решением данной системы.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин:

1) не умение, выражать одну переменную через другую;

2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).

Рассмотрим способ № 2(алгебраическое сложение): Как и в методе подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Решим систему уравнений:

В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами (+3y и -3y). Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

Заменим одно из данных нам уравнений системы, например первое, уравнением 2x = 18. Получим систему:

Полученная система равносильна данной системе. Решим полученную систему:

Из уравнения 2х=18 находим, что х=9. Подставив это значение х в уравнение 4х-3у=12 , получим уравнение с переменной у.

Решим это уравнение:

Пара чисел (11; — 9) — решение полученной системы, а значит, и данной нам системы.

Воспользовавшись тем, что в уравнениях данной нам системы коэффициенты при у являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Геометрически равносильность систем означает, что графики уравнений 4 x + 3 y = 12 и -2 x — — 3у=38 пересекаются.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по одной причине:

1) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).

Рассмотрим способ № 3 : Если при решении систем уравнений учащийся не может ни заменить переменную, ни алгебраически сложить, то можно прибегнуть к этому способу. Разберём на примере.

Решим систему уравнений:

Домножим верхнее уравнение на 3. Получим:

Очевидно, что и в первом и во втором уравнениях есть 3y, только с разными знаками. Дальше решаем так же, как и прошлой системе (см. 3 разбор).

В конце получаем, что пара чисел (4,2; -4,8) является решением данной нам системы.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по ряду причине:

1) не видят, что и насколько надо домножить;

2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).

Рассмотрим способ подстановки : Этот метод или способ решения систем уравнений используется чаще всех. Грубо говоря, этот способ мы разобрали во всех остальных, т.к. заменяя одну систему на равносильную ей, мы находим одну переменную, а затем подставляем её значение в одно из уравнений данной нам системы. А, следовательно, возникающие проблемы при решении систем уравнений этим способом такие же, как и у всех остальных методов:

1) не умения, выражать одну переменную через другую;

2) не умение, подставить уже полученную переменную;

Итак, из всего выше сказанного можно сделать вывод:

во время решения систем нелинейных уравнений у учащихся возникают проблемы по ряду двум причинам:

1) не умения, выражать одну переменную через другую;

2) не умение, подставить уже полученную переменную;

3) не видят, что и насколько надо домножить.

В этой части реферата я рассмотрю два основных метода решения систем нелинейных уравнений:

1) Однородные системы уравнений;

2) Симметричные системы уравнений.

1) Однородные системы уравнений:

Уравнения называются однородными, если все слагаемые, содержащие неизвестные, имеют одну и ту же степень (показатели степеней разных неизвестных в слагаемых складываются).

Почему же мы выделяем такие системы? Оказывается, существует стандартная подстановка x = t×y (y ≠ 0), которая позволяет решить систему.

Пусть x = t×y (y ≠ 0), тогда

Зная t, легко сразу найти , учитывая, что . Используя это, найдём y, а затем и x.

b) t =

При y = 0 решения нет.

2) Системы симметричных уравнений:

Выражение с двумя неизвестными называется симметричным, если при замене одного неизвестного на другое и наоборот выражение не изменяется.

Любое симметричное выражение с двумя неизвестными может быть представлено, как алгебраическая комбинация, через два простейших симметричных выражения: a + b = t и a×b = z.

Пусть , тогда система имеет вид: .

Вычтем из первого уравнения второе уравнение:

a)

По теореме, обратной теореме Виета, данная система порождает квадратное уравнение + 4m + 3 = 0, корнями которого являются x и y. В силу симметричности имеем: (1; 3); (3; 1).

b)

Из порождённого квадратного уравнения — 4n + 3 = 0 следует решения (-3; -1); (-1; -3).

Итак, в своём реферате я, во-первых, обобщил основные методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными, во-вторых, рассмотрел некоторые методы решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными, в-третьих, составил решебник, который, я надеюсь, поможет читающим мой реферат лучше понять тему, которую я выбрал, и сформирует навык решения систем уравнений. Другими словами я решил все задачи, которые стояли передо мной, и справился с моей целью. Надеюсь, мой реферат был интересен для чтения, повторения прошлого и знакомства с частью нового материала. Я постараюсь продолжить работу над этой темой в 10 классе в качестве дипломной работы.

Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

Доклад «Методика обучения решению систем двух линейных уравнений с двумя переменными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МУНИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«УСАДОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

СТУПИНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

« Методика обучения решению систем двух линейных уравнений с двумя переменными»

учитель математики МБОУ «Усадовская СОШ»

Шарапова Лариса Ивановна

ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме

§ 1. Логико-математический анализ содержания темы

§ 2. Психолого — педагогическое обоснование изучения темы «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными»

ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме

§ 3. Примеры разработки обобщающего урока по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными»

§ 4. Дидактические материалы по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными»

Цель проекта: разработать практическое руководство по изучению и обобщению темы «Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными» позволяющее формировать математическую образованность учащихся, соответствующую социальному заказу.
Задачи исследования:

1.Выявить теоретические основы методики изучения темы.

2. Описать используемые методы, приёмы и формы организации деятельности учащихся.

3.Разработать сценарии уроков по теме.

4.Подготовить дидактический материал для закрепления темы.

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике, посещение профессиональных сайтов.

Логико-математический анализ содержания темы.

В курсе алгебры 7 класса учащиеся неоднократно встречаются с равенствами содержащими две переменные.

При изучении темы «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными» расширяется представление учащихся о таких равенствах. Вводится новое понятие «система уравнений». Важно отметить, что изучение всех вопросов темы существенно опирается на знания учащихся о функциях и графиках. Особенно на знания и умения, полученные при изучении линейной функции, поэтому необходимо организовать планомерное повторение опорных понятий.

При изучении этой темы школьники получают новый мощный аппарат решения задач, широко используемый в последующем изучении предмета. Кроме того, совершенствуются представления учащихся о взаимосвязи алгебраических и геометрических образов.

На первом уроке в разделе « Системы линейных уравнений» вводится понятие уравнения с двумя переменными и даётся определение решения такого уравнения как упорядоченной пары чисел- значений переменных, обращающих уравнение в верное равенство. Данное определение должно быть хорошо понято и усвоено учащимися. Учащиеся имеют большой опыт работы с числовыми парами, однако в новых условиях у некоторых из них вновь могут возникнуть ошибки: запись значений переменной на «чужом» месте, в частности не различение пар вида (1;4) и (4;1). Предупреждению этих ошибок следует уделить внимание при решении устных упражнений.

Понятие решения уравнения с двумя переменными следует отрабатывать на достаточно большом числе упражнений, при этом важно обратить внимание на упражнения , которые позволят избежать неверного представления учащихся о том, что уравнение с двумя переменными всегда имеет бесконечно много решений.

В седьмом классе учащиеся впервые начинают знакомиться с понятием равносильных уравнений с двумя переменными. Далее происходит развитие понятия равносильности – равносильность систем уравнений. Завершается тема введением понятия графика уравнения с двумя переменными. Обращается внимание учащихся на то, что график линейного уравнения можно строить по двум точкам и графиком всегда является прямая вне зависимости от коэффициента. При построении графиков целесообразно повторить расположение графика в системе координат в зависимости от коэффициентов.

И наконец после всей предварительной подготовки использование геометрических представлений , связанных с уравнениями с двумя переменными , позволяет перейти к графическому способу решения систем уравнений. Решая графически системы уравнений с двумя переменными, учащиеся наглядно убеждаются, что системы могут не иметь решения, иметь конечное число решений, иметь бесконечно много решений. Ежеурочно перед графическим решением систем следует повторять следующий теоретический блок вопросов: а) что является графиком линейной функции; б) каков геометрический смысл коэффициентов в формуле линейной функции; в) алгоритм выражения переменных ( х и у ).

После того, как учащиеся усвоили графический метод решения систем уравнений, следует показать, что его использование не всегда удобно и даёт желаемый результат (приближённые значения) и как альтернативу предложить «способ подстановки». С самого начала учащиеся должны ясно представлять себе цель преобразования — добиться того, чтобы одно из уравнений системы содержало только одну переменную.

При разборе решения систем способом подстановки надо специально остановиться на этапе выбора той переменной, которую мы будем исключать из одного из уравнений: от этого часто существенно зависит сложность преобразования уравнений. Учащимся следует предложить алгоритмы решения, что значительно упростит задачу учителя по формированию прочных знаний. При решении первых систем от учащихся следует требовать полных и подробных объяснений выполняемых действий по образцу. Очень полезно 2-3 системы решить двумя способами – графическим и способом подстановки, тем самым закрепить ранее изученную тему и одновременно убедиться в большей эффективности аналитического способа решения.

Нельзя в математике двигаться дальше без опоры на ранее полученные знания, и как говорила в начале раздела постоянно необходимо повторять теоретический материал и выполнять устные упражнения по его закреплению, а именно в данной теме: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение общего множителя.

Изучив два способа решения систем уравнений, учащимся следует показать возможные сложности их использования для отдельных систем уравнений и таким образом познакомить с третьим способом – «Способ сложения». Здесь, как и при решении систем, способом подстановки необходим чёткий алгоритм.

Изучив все три способа, учитель должен подобрать достаточное количество систем уравнений, на примере которых необходимо отработать выбор способа решения с предварительным анализом.

В зависимости от возможностей учащихся класса, их уровня подготовки целесообразно познакомить их с методом определителей и ввести уравнения с двумя переменными содержащие параметр.

Завершается раздел традиционно решением задач на составление систем линейных уравнений. При решении задач особое место следует отвести самоконтролю: проверке реальности ответа по содержанию задачи.

Данная последовательность изучения материала соответствует учебнику «Алгебра 7» Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Мендюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворовой. В соответствии с авторской программой на раздел «Системы линейных уравнений» отводится 17 часов, которого вполне достаточно, чтобы качественно изучить материал.

Не могу не сказать о том, что данная тема входит в кодификатор заданий ГИА, причём предлагаемые задания не всегда сводятся к решению конкретной системы, а имеют достаточно глубокий смысл требующий от учащегося умения анализировать и использовать знания в определённой ситуации. Предлагаемый далее практический материал можно использовать и в 9 классе на уроках повторения.

При изучении темы использую различные методы и средства обучения, а также различные формы организации учебной деятельности: словесные методы обучения, наглядные методы, практические методы, активные методы, индуктивный и дедуктивный.

Психолого — педагогическое обоснование изучения темы «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными».

Возраст учащихся 7 класса, когда впервые появляется в курсе алгебры данная тема относится к подростковому. В это время отмечается мощный подъем жизнедеятельности, глубокая перестройка организма. Происходит формирование личности, переход от детства к юности. Семиклассники характеризуются резким возрастанием познавательной активности и любознательности, развитием познавательных интересов. Подростки способны к самостоятельному творческому мышлению, рассуждению, сравнению, к выводам и обобщениям. Внимание и память приобретают характер организованных и управляемых процессов. Быстро развиваются смысловая логическая память, понятийное мышление. Мышление подростка приобретает способность строить логичные рассуждения на основе выдвинутых гипотез.

Волевые проявления у подростков имеют свои особенности: резко возрастает смелость, но снижается выдержка и самообладание, настойчивость проявляется только в интересной работе, снижается дисциплинированность, усиливается проявление упрямства.

Основным в этот период развития личности является становление самостоятельности. Подростки начинают ощущать способность ставить перед собой и самостоятельно решать некоторые практические задачи.

Происходит развитие самосознания и самооценки, возникновение интереса к себе, к своим качествам, потребность сравнивать себя с другими. С развитием самосознания возникает стремление к самовоспитанию.

Эти особенности возрастного развития создают предпосылки для включения подростков в активную познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата).

Эмоциональное состояние подростка связанно с эмоциональным климатом всего коллектива. Занятия раскрывают привлекательность совместной деятельности, осознание понятия «мы», развивают чувство долга, ответственности перед товарищами, веру в свои силы. При проведении уроков в 7 классе следует использовать парную и групповую работу, дав, тем самым возможность учащимся общаться друг с другом, научиться слушать собеседника, отстаивать свою точку зрения, совместно находить оригинальное решение поставленной задачи.

Содержание следующей главы позволяет предлагать учащимся задания на развитие понятийного мышления, развитие способности строить логичные рассуждения, мысленно решать задачи.

В 9 классе происходит формирование сознательного отношения к процессу обучения, и имея уже определённые знания, учащиеся иначе воспринимают данную тему. На данном этапе урока целесообразно использование ИКТ (компьютер, проектор ) – презентация (приложение 1) или файл Microsoft Office Word , так как учащиеся владеют знаниями, и разбор с записью на доске займёт лишнее время.

🔍 Видео

Видеоурок ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСССкачать

7 класс, 8 урок, Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Урок СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСССкачать

График линейного уравнения с двумя переменными. 6 класс.Скачать

Системы уравнений с двумя переменными - 9 класс алгебраСкачать

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Неравенства с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 6 класс.Скачать

7 класс, 37 урок, Системы двух линейных уравнения с двумя переменными. Основные понятияСкачать

Алгебра 9 класс (Урок№23 - Уравнение с двумя переменными и его график.)Скачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Системы уравнений с двумя переменными. Алгебра 9 классСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать