Реферат по математике на тему тригонометрические уравнения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 20»

РЕФЕРАТ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

Ф. И.О. учащегося Клинцова Елизавета

Руководитель Козак Татьяна Ивановна,

учитель математики I категории

1.1 История тригонометрии как науки

1.2 Тригонометрия как учебный предмет

1.3 Тригонометрия в школе до 1966 года

1.4 Тригонометрия в школе после 1966 года

1.5 тригонометрия в современной школе

Тригонометрические уравнения в школьном курсе алгебры

2.1 Простейшие тригонометрические уравнения

2.2 Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

2.3 Однородные уравнения

2.4 Уравнения, решаемые разложением на множители

2.5 Задачи на повторение

Тригонометрические уравнения на экзаменах

3.1 Специфика выпускного экзамена за курс средней полной школы

3.2 Тригонометрические уравнения на выпускном экзамене

3.2.1 Тригонометрические уравнения на обязательном уровне обучения

3.2.2 Тригонометрические уравнения из раздела 4

3.2.3 Тригонометрические уравнения повышенной сложности

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.

Тригонометрия, как и любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Тригонометрия изучает важный класс функций – так называемых тригонометрических, а также их применение в геометрии. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающие «измерение треугольника»: τρіγωνоν (тригонон) – треугольник, μετρειω (метрейн) – измерение, показывает что этот раздел математики связан с задачами решения треугольников, т. е. с задачами нахождения одних элементов треугольника по другим его известным элементам. Исторически тригонометрия и возникла из таких задач, но ими далеко не исчерпывается широкое применение тригонометрических функций в самых различных разделах математики, естествознания и техники.

В школьном курсе математики знакомство с тригонометрией начинается в 8 классе на уроках геометрии, когда вводится понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Затем идёт расширение этого вопроса, и мы уже знакомимся с понятием синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла. Рассматриваются теоремы синуса и косинуса, позволяющие решать треугольники.

На уроках алгебры в 9 классе помимо этих понятий мы рассматриваем ряд формул, позволяющих преобразовывать тригонометрические выражения; находить их значения; вычислять значения тригонометрических функций по заданному значению одной из функций и другие вопросы, связанные с тригонометрией.

В курсе алгебры и начала анализа в 10 классе начинается изучение темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». На уроках мы рассмотрели приёмы решения тригонометрических уравнений и неравенств, но их оказалось немного. Я задумалась над тем, а есть ли другие приёмы решения тригонометрических уравнений. И выбирая в 11 классе экзамен по выбору, я решила исследовать этот вопрос и попытаться выяснить: что же предлагает (по типам) школьный курс алгебры и начал анализа, выпускной экзамен за курс средней полной школы.

Итак, цель моей работы:

¨ систематизировать, обобщить, расширить знания и умения, связанные с решением тригонометрических уравнений.

· повторить решение простейших тригонометрических уравнений;

· провести классификацию тригонометрических уравнений, предлагаемых в школьном курсе алгебры и начал анализа;

· рассмотреть тригонометрические уравнения, предлагаемые на выпускном экзамене.

¨ научный (изучение литературы);

1. История тригонометрии

1.1 История тригонометрии как науки

Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще за долго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установились понятия синуса, косинуса, тангенса угла.

Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н. э. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинения «великое построение» (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея жившего во второй половине II в. до н. э.

Эти таблицы являются таблицами значений удвоенного синуса половины соответствующего центрального угла. В них были даны значения хорд для всех углов (через каждые пол градуса) от 0° до 180°. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку» а считалась частью астрономии.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V-X1I в. н. э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть «линию синусов»). Линия синусов именовалась ими «архаджива», что буквально означало “половина тетивы лука”. Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 0° до 90° (через каждые 3°45′). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея.

В Х1-ХШ вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки. И в дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела способствовали развитию тригонометрии как науки. Особенно усиленно тригонометрия развивалась в средние века, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азербайджане и Таджикистане (Насирад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арабии (Ахмад, ибн-Абдаллах, ал-Баттани). Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насирад-Дину Мухаммаду ат-Туси (), написавшему «Трактат о полном четырехугольнике». Работы ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела математики. Однако в их трудах еще не было необходимой символики, и поэтому развитие тригонометрии происходило медленно.

С XV в. и в Европе появляются работы, посвященные вопросам тригонометрии. Немецкий ученый Иоганн Мюллер ( гг.), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о треугольниках всех видов», сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Здесь дано систематическое изложение тригонометрии как самостоятельной научной дисциплины. Региомонтан составил таблицы синусов с точностью уже до 10-7. В его таблицах радиус круга принимался за 107 вместо числа кратного 60, то есть по сути был совершен переход от шестидесятеричной системы измерения к десятичной. В 1696 г. появился труд Варфоломея Питискуса «Тригонометрия, или Краткий обзорный трактат о решении треугольников «.

В XV-XVII в. в Европе было составлено и издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (), И. Кеплер (), Ф. Виет () и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии .

Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи sin α, cos α, tg α, ctg α. Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого .

1.2 Тригонометрия как учебный предмет

Тригонометрия состоит их двух различных частей:

а) первой (ее обычно называют гониометрией) – части математического анализа, где независимо от геометрических соображений аналитически раскрывается учение о трансцендентных тригонометрических функциях с их свойствами;

б) второй – собственно тригонометрии, где соединяются математический анализ и геометрия того или иного пространства.

В XVIII в., и особенно в XIX в., в связи с бурным развитием дифференциального исчисления, возникает новый предмет – математический анализ, и тригонометрия становится его составной частью. А учебный предмет тригонометрия с его первоначальной геометрической основой продолжает существовать самостоятельно. То есть возникают два направления учебного предмета тригонометрии: аналитическое решение треугольников и изучение свойств круговых (тригонометрических) функций.

В 1848 г. академик предложил систему индуктивного изучения тригонометрии:

а) сначала (в младших классах) изучается тригонометрия острого угла как учение о вычислительных приемах решения треугольников и фигур, сводимых к ним;

б) затем (в старших классах) обобщаются понятия тригонометрии острого угла, то есть излагаются основы теории тригонометрических функций любого действительного аргумента.

С тех пор эта система успешно применялась в отечественной методике обучения тригонометрии в школе

1.3 Тригонометрия в школе до 1966 года

Основательное изучение тригонометрии начиналось очень рано, уже в 14 лет.

В Программе 1921 г. предписывалось во втором полугодии 7-го класса (2 часа в неделю) изучить раздел «Тригонометрия».

Изучение тригонометрического материала в семилетней школе было нацелено, прежде всего, на освоение практических методов решения определенных вычислительных геометрических задач, на расширение возможности вычисления элементов треугольников – на тригонометрию треугольника. При этом раннее введение тригонометрии треугольников существенно повышало требования к числовой культуре школьника и, прежде всего, требовало знания элементов теории приближений и измерений.

Несколько позже, уже в программе средней десятилетней школы (например, в программе 1949 г.), начало изучения тригонометрии перемещается в курс геометрии 8-го класса, а в 7-м классе, также в курсе геометрии, обращается особое внимание (в пояснительной записке замечено даже «в особенности в сельских школах») на необходимость проведения измерительных работ на местности: провешивание линий, промер линий, проведение перпендикуляров эккером, измерение углов, определение расстояний и высот. Тем самым, с одной стороны, серьезно усиливался прикладной характер изучаемого в массовой школе математического материала, а с другой – создавалась хорошая опора для изучения формального материала курса тригонометрии.

А вот в 9-м классе (десятилетней школы) данной программы тригонометрия начинает обретать черты отдельной школьной дисциплины. Внимание сосредотачивается на четырех тригонометрических функциях: синус, косинус, тангенс и котангенс. Секанс и косеканс даются в ознакомительном порядке. В 10-м классе предусматривается «решение косоугольных треугольников, основанное на теоремах синусов, косинусов и тангенсов с применением в соответствующих случаях различных таблиц».

Роль тригонометрического материала в школьном образовании оценивалась столь высоко, что до 1966 г. в 9-х и 10-х классах изучалась отдельная дисциплина «Тригонометрия», на которую выделяли 2 часа в неделю. Этот курс изучался параллельно с курсом алгебры. Для этой дисциплины был подготовлен и введен отдельный учебник ( «Тригонометрия. Учебник для 9-10 классов средней школы, выдержавший десять изданий).

Учебник тригонометрии предназначался для старшей ступени обучения, то есть для тех школьников, кто планировал поступать в высшие учебные заведения страны.

Тригонометрическим уравнениям уделялось совсем немного внимания. В учебнике рассматривались простейшие тригонометрические уравнения, способ приведения к одной функции, способ разложения на множители и иллюстрировались возможности потери решений и появления посторонних решений при выполнении преобразований. Вместе с тем выделялся целый параграф, посвященный приближенным решениям тригонометрических уравнений.

1.4 Тригонометрия в школе после 1966 года

Начиная с середины шестидесятых годов в ходе подготовки и осуществления реформы школьного математического образования, получившей в дальнейшем название «реформа «, отношение к тригонометрии стало меняться и со временем изменилось принципиально.

Прежде всего, это выразилось в изменении программных целей изучения данного раздела науки в школе. В программах основной школы семидесятых годов (например, в программе 1978 г. для десятилетней школы) о начале изучения такого специфического раздела математики, как тригонометрия, даже не упомянуто. Просто в пояснении к отдельным темам сказано, что в 8-м классе изучаются четыре темы, одна из которых «Поворот и тригонометрические функции».

Тригонометрия утратила свое значение как отдельная школьная дисциплина и стала просто одним из многих разделов курса математики, который надлежало осваивать в силу того простого факта, что вопросы тригонометрии «традиционно» присутствовали в школьных программах и учебниках.

Обучение проводилось по учебнику , . В поддержку этого учебника был издан сборник задач , , .

Но эти учебник и задачник переходного периода проработали в школе менее 10 лет. Вскоре им на смену пришел учебник «Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы» (1975) под редакцией . В нем тригонометрия изучалась в конце 9-го в начале 10-го классов. Формально содержание обучения в целом было сохранено и даже расширено. Здесь вводилось радианное измерение угловых величин, тригонометрические функции и их свойства, формулы сложения, производные и исследование тригонометрических функций, тригонометрические уравнения и неравенства. В дальнейшем, после перехода к одиннадцатилетней школе, тригонометрический материал в основной ступени был значительно усилен.

1.5 Тригонометрия в современной школе

К концу XX в. в примерных программах основного общего образования объем рекомендуемого к изучению в массовой школе тригонометрического материала заметно сократился. Например, в программе подготовленной в 1998 г. предлагается рассмотреть в основной школе:

1. в курсе алгебры — синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла, основные тригонометрические тождества, формулы приведения;

2. в курсе геометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла, решение прямоугольных треугольников, метрические соотношения между элементами произвольного треугольника: теорема синусов и теорема косинусов.

В старшей ступени обучения для общеобразовательных классов тригонометрические формулы сложения и их следствия, тождественные преобразования тригонометрических выражений получили статус необязательного материала. Оставлены лишь тригонометрические функции числового аргумента, свойства и графики тригонометрических функций. А более серьезные вопросы тригонометрии отнесены к программам повышенного уровня. Но и здесь преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму отнесено к необязательному материалу.

Таким образом, после 1966 г. тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» не только из основной школы, но и из курса старшей ступени обучения для общеобразовательных классов.

Введение всеобщего и обязательно десятилетнего образования в 1966 г. и последовавший затем переход к «знаниевой» педагогике принципиально изменили ситуацию, прежде всего в старшей и основной ступенях. Возникло две проблемы.

Во-первых, это проблема обучения всех детей в течение одиннадцати лет одному и тому же содержанию. Разные способности детей не дают возможности качественно решить эту проблему, если не признать необходимость принципиально понизить уровень среднего образования. Отсюда и все споры вокруг стандартов, и учебная перегрузка детей, и отвращение многих из них к математике как к наиболее формализованному учебному предмету. А тригонометрические функции действительного аргумента в курсе математики по части формализации занимают не последнее место. Отсюда и стремление исключить этот материал из обязательного минимума содержания образования.

Одновременно с этим тригонометрический материал традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и при отборе математически одаренных учащихся, поскольку он чрезвычайно удобен для усложнения заданий.

Другими словами, тригонометрический материал, теряя свое общеобразовательное значение в представлениях некоторых специалистов в области методики обучения математике, на практике все больше обретает характер селективного инструмента. Соответственно возрастает потребность определенной части учащихся и их родителей в хорошей организации обучения этому разделу в школьный период обучения. По крайней мере, к этой части учащихся можно отнести тех, кто заинтересован в продолжении обучения в учреждениях среднего и высшего профессионального образования. А в настоящее время это не менее половины выпускников.

Таким образом, вторая проблема – подготовка в массовой школе одаренных в академическом смысле детей к поступлению и обучению в вузе.

До шестидесятых годов такие понятия как «репетитор», «факультатив», «класс (школа) с углубленным изучением предмета» и т. п. не были известны школьным работникам и их родителям. Действительно, поскольку только половина детей переходили на обучение в старшую ступень, а в ней допускалось отчисление за неуспеваемость, то необходимости понижать уровень образования в старшей ступени даже не возникало. В так организованной школе добравшийся до выпуска школьник в основном был весьма серьезно обучен и имел широкий кругозор.

В семидесятых-восьмидесятых годах стали возникать классы, а затем и школы с углубленным изучением какого-либо предмета, в девяностых – лицеи и гимназии.

В общеобразовательных классах, и в классах с углубленным изучением того или иного предмета или цикла предметов освоение опыта «создания» фрагмента науки, безусловно, должно присутствовать. А тригонометрия для этого, как и прежде, наиболее естественный раздел школьной математики.

2. Тригонометрические уравнения в школьном курсе алгебры

2.1 Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнением называется равенство, содержащее переменную. А уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими уравнениями.

Решением уравнения с неизвестным х называют число хо, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Отличительная особенность тригонометрических уравнений – бесконечное множество корней. Эта особенность связана с характерным свойством тригонометрических функций – периодичностью. Решить уравнение – это значит найти все его решения или показать, что их нет.

Решение любого уравнения: сводится к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax2 + вx + c =0.

Необходимость классификации уравнений вызывается невоз­можностью найти общий метод их решения. Известно, что целые алгебраические уравнения со времен Декарта () клас­сифицируются по степени уравнения. Чем выше степень таких уравнений, тем сложнее взаимная связь неизвестного с коэффи­циентами уравнения и тем труднее выразить это неизвестное че­рез коэффициенты.

В тригонометрии предпринимались попытки создавать свою спе­цифическую классификацию. Пример такой классификации, со­держащей восемь типов тригонометрических уравнений, приво­дится в пособии , «Курс тригоно­метрии». Классифицировать тригонометрические уравнения по степени не имеет большого смысла, так как тригонометрические уравнения допускают повышение и понижение степени за счет использования формул половинного и двойного аргумента. Оче­видно, что классифицировать тригонометрические уравнения имеет смысл с опорой на методы их решения. Здесь я попытаюсь показать, с какими методами решения тригонометрических уравнений мы сталкиваемся в учебнике для 10-11 классов общеобразовательных учреждений «Алгебра и начала анализа» под редакцией (2001 г.).

Решение тригонометрических уравнений выполняется в большинстве случаев (с помощью различных преобразований) путём сведения их к простейшим тригонометрическим уравнениям. Поэтому и работу с тригонометрическими уравнениями естественно на­чинать с простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением. В школьном курсе рассматриваются следующие простейшие тригонометрические уравнения: sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = a.

Рассмотрим, при каких значениях а простейшие тригонометрические уравнения разрешимы (имеют решения) и как правильно находить все решения таких уравнений.

Так как множество значений функции у = sinx – отрезок [– 1; 1], то уравнение sin t = a разрешимо только в том случае, когда |а| ≤ 1. И тогда решение данного уравнения находится по формуле: t = (– 1)narcsin a + πn, где n Î Z. Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней. Это обстоятельство следует хорошо помнить, т. к. забывая об этом, часто допускают ошибки. Например, при решении уравнения sin t = часто, не обращая внимания на то, что > 1, пишут ответ: t = (– 1)narcsin+ πn, где n Î Z, который не имеет никакого смысла, т. к. функция arcsin a не определена в точке а = (эта точка не принадлежит области определения функции arcsin a).

Если а = – 1; 0; 1, то рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда |а| ≤ 1. Если это условие выполнено, то все решения уравнения cos t = a записываются в виде: t = ± arccos а + 2πn, где n Î Z. Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней.

Если а = – 1; 0; 1, то также рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

Данное уравнение имеет решения при любом значении а Î (– µ; µ). Все решения уравнения задаются формулой t = arctg а + πn, где n Î Z. Частные случаи здесь не рассматривают.

Данное уравнение имеет решения при любом значении а Î (– µ; µ). Все решения уравнения задаются формулой t = arсctg а + πn, где n Î Z. Частные случаи здесь также не рассматривают.

Ряд уравнений путём элементарных преобразований: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей уравнения на одно и тоже число, отличное от нуля, также очень легко сводятся к простейшим.

При решении простейших тригонометрических уравнений вида Аsin(вх + с) = d, Аcos(вх + с) = d, Аtg(вх + с) = d, Аctg(вх + с) = d следует обратить внимание на то, что они приводятся к виду sin(вх + с) = а, cos(вх + с) = а, tg(вх + с) = а, ctg(вх + с) = а.

Сведение тригонометрических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям выполняется различными способами. Первоначально надо рассмотреть тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрических функций стоит более сложное выражение, зависящее от х. для решения таких уравнений можно обозначить выражение, стоящее под знаком тригонометрической функции, одной буквой; решить простейшее тригонометрическое уравнение, а потом найти х, решая алгебраическое уравнение.

К таким уравнениям относятся уравнения:

№ 000, 139, 142(а, в), 143(а), 144(а), 145(б, г), 146(б), 173(в)

№ 000, 137, 142(б, г), 143(б), 144(в), 145(а), 146(г), 172(б)

№ 000(а, в, г), 141(а, в), 143(г), 144(б), 145(в), 146(в), 173(б)

№ 000(б), 141(б, г), 143(б), 144(г)

Покажу на примерах, как решаются такие уравнения с применением выше указанных формул.

х = (– 1)n + 1 + πn, n Î Z.

Ответ: х = (– 1)n + 1 + πn, n Î Z.

= + πn, n Î Z,

х = + 2πn, n Î Z.

Ответ: х = + 2πn, n Î Z.

= + πn, n Î Z,

= πn, n Î Z,

Проблема решения тригонометрических уравнений состоит не в большом количестве разнообразных формул, а в выборе направления, по которому необходимо двигаться для решения уравнения. Первый шаг на пути решения тригонометрического уравнения – это попытка отнести его к какому-либо типу, и если это удаётся, то применить характерный для данного типа уравнения приём. Рассмотрим основные типы уравнений, предлагаемых в школьном учебнике под редакцией . В учебном пособии приёмы решения тригонометрических уравнений не конкретизируются, а рассматриваются на нескольких конкретных примерах.

Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используется два метода: введения новой переменной и разложения на множители.

Одним из самых общих методов решения тригонометрических уравнений является сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции с использованием тригонометрических формул: cos2х = 1 – sin2х, sin2х = 1 – cos2х,

Уравнения вида sin ах ± sin вх = 0, cos ах ± cos вх = 0 решаются заменой суммы (разности) синусов и косинусов произведением.

Часто, особенно при решении квадратного уравнения относительно одной из тригонометрических функций, используется метод введения новой переменной.

2.2 Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

Сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции – один из самых общих методов решения тригонометрических уравнений. В этом разделе рассмотрим уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные. К таким уравнениям можно отнести уравнения вида: asin2x + вsin x + c = 0, аcos2x + вsin x + c = 0 и т. д. Но в большинстве случаев приходится исходное уравнение преобразовать так, чтобы оно приобрело нужный вид. Для этого чаще всего используется основное тригонометрическое тождество sin2х + cos2х = 1.

В учебнике это: № 000, 165, 166, 167, 168(б, г), 171(б, г).

Покажу на примерах, как решаются такие уравнения.

Введём новую переменную: t = sin х. Тогда данное уравнение можно записать в виде: 2t2 + t – 1 = 0. это квадратное уравнение. Его корни: t1 = – 1; t2 = . Тогда sin х = –1 и sin х = – . Решим каждое из получившихся простейших уравнений.

1) sin х = –1 (это частный случай),

Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Реферат на тему» Виды тригонометрических уравнений»

В данной работе указаны способы решения тригонометрических уравнений

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Скачать:

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Предварительный просмотр:

Реферат на тему:

“Виды тригонометрических уравнений”

ученицы 11 класса МОУ районной вечерней (сменной) общеобразовательной школы

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x — p/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x — p/4).

sin(3x — p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим

3х — p/4 = (-1)n arcsin 1/2 + np, nÎZ.

Зх — p/4 = (-1)n p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1)n p/6 + p/4 + np, nÎZ;

x = (-1)n p/18 + p/12 + np/3, nÎZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = — p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.

Ответ: х 1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x 2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.

Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение примет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x — p/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х — p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;

x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;

x2 = — p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.

2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x — sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

3. Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx

Решение. cosx ¹ 0; x ¹ p/2 + pn, nÎZ.

sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx — sin2x = 0; sinx(cosx + 1 — sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx — sinx +1=0;

x1 = pn, nÎZ; cosx — cos(p/2 — x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 — x) = -1;

Ö2 · sin(p/4 — x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 — x = (-1) n+1 arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;

x2 = p/4 — (-1) n+1 · p/4 — pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) n · p/4 + pn, nÎZ.

Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I)n · p/4 + pn, nÎZ.

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.

Решение. 2sin2x — 3cosx = 0; 2 (l — cos2x) — 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx — 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z2 + 32z — 2=0.

Д = 9+16 = 25; ÖД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 —

-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.

Пример 1. Ö3sin2 2x — 2sin4x + Ö3cos22x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение Ö3sin22x — 4sin2xcos2x + Ö3cos22x = 0.

Разделим на cos22x. Уравнение примет вид Ö3 tg22x – 4tg2x + Ö3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда Ö3z2 — 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2.

z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3

tg2x = Ö3 или tg2x = 1/Ö3

2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ;

x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nÎZ.

Ответ: x = p/2 — arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.

7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(Ö3-tgx) – 1/(Ö3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx ¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.

(Ö3 + tgx — Ö3 + tgx)/3 — tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 — tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)

Второе уравнение имеет вид

2tg2x — 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.

8. Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Пример 1. Ö( cos2x + Ѕ) + Ö( sin2x + Ѕ) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos2x + Ѕ + 2 Ö(( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ)) + sin2x + Ѕ = 4

Ö(( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ)) = 1; ( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ) = 1

( Ѕ + Ѕ cos2x + Ѕ)( Ѕ — Ѕ cos2x + Ѕ) = 1; (1 + Ѕ cos2x) (1 — Ѕ cos2x) = 1;

1 – ј cos22x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nÎz

Ответ: x = p/4 + pn/2, nÎz.

9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + pn, nÎZ; х2 + 5х — (6+pn) = 0, nÎz;

Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nÎZ; х1,2 = (-5 ± Ö(49 + 4pn))/2, nÎz

Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n ³ -49/4p; n ³ -3.

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.(стр. 116 — 125)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев, С . И . Шварцбурд, 1993 г.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Реферат на тему: Тригонометрия

У вас нет времени на реферат или вам не удаётся написать реферат? Напишите мне в whatsapp — согласуем сроки и я вам помогу!

В статье «Как научиться правильно писать реферат», я написала о правилах и советах написания лучших рефератов, прочитайте пожалуйста.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

1. Реферат на тему: Воздух
2. Реферат на тему: Вселенная
3. Реферат на тему: Автомат Калашникова
4. Реферат на тему: Шок

Видео:Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

Введение

Я заинтересовался этой темой, потому что хотел узнать больше о тригонометрии и особенно о ее истории.

Я поставил перед собой цель: определить на основе отобранного материала, где тригонометрия, за исключением школьного курса, встречается в решении проблем и идентичностей.

Прочитав литературу, я узнал, что тригонометрические вычисления используются практически во всех областях геометрии, физики и технологии. Большое значение имеет метод триангуляции, который может быть использован для измерения расстояний до далеких звезд в астрономии, между географическими достопримечательностями для управления спутниковыми навигационными системами.

Также стоит отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансового рынка, электроника, теория вероятности, статистика, биология, медицина (в том числе ультразвук и компьютерная томография), фармация, химия, теория чисел (и), как следствие криптографии), сейсмологии, метеорологии, океанографии, картографии, многих областях физики, топографии и геодезии, архитектуры, фонетики, экономики, электротехники, машиностроения, компьютерной графики, кристаллографии, а также я узнал много нового, чего раньше не знал.

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

По истории тригонометрии

Тригонометрия — греческое слово и буквально означает измерение треугольников (Триггунон — треугольник и измерение Метрю).

В этом случае под измерением треугольников следует понимать треугольное решение, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, но также и задачи планаметрии, стереометрии, астрономии и другие даны задачам решения треугольников.

Появление тригонометрии связано с астрономией и строительством.

Хотя название науки появилось сравнительно недавно, многие понятия и факты, связанные с тригонометрией, были известны уже две тысячи лет назад.

Решения для треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были впервые найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (II в. до н.э.) и Клавдием Птолемеем (II в. н.э.). Позже отношения между сторонами треугольника и его углами стали называться тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые ал-Батани (850-929 гг.) и абу-л-Вафа Мухаммад бин Мухаммад (940-998 гг.), создавшие таблицы с синусоидальными кривыми и касательными после 10′ с точностью до 1/604 гг. Индийский ученый Бхаскара (род. 1114 г., год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насираддин Туси Мухаммад (1201-1274 гг.) уже знали теорему синуса. Кроме того, Насираддин Туси представил плоскую и сферическую тригонометрию как отдельную дисциплину в своем труде «Трактат о полном квадричастии».

В долгой истории существует понятие синуса. Фактически, различные соотношения сечений треугольника и круга (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н.э. в трудах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлонии Пергусской. В римский период эти отношения систематически изучались Менелаем (I в. н.э.), хотя конкретное название им не давалось. Современный синус a, например, изучался как полуаккорд, на котором центральный угол лежит в размере a, или как двухдуговой аккорд.

Уже в IV-V веке в астрономических трудах великого индийского ученого Ариабхаты, чье имя было дано первому индийскому спутнику Земли, существовал особый термин. Он назвал отрезок АМ (рис. 1) аргаджива (арга — половина, джива — луковая струна, которая напоминает аккорд). Позже появилось более короткое имя Джива. Арабские математики в IX в. заменили это слово на арабское слово jib (выпуклость). В переводе арабских математических текстов в этом столетии он был заменен на латинский синус (синус — кривизна, изгиб).

Слово «косинус» намного моложе. Косинус — это аббревиатура латинского термина для полного синуса. «лишний синус» (или иначе «лишняя дуга»).

Касательные появились в связи с решением задачи определения длины тени. Тангент (как и кокангент) был введен в X. столетие арабский математик Абу-л-Вафа, который создал первые таблицы для нахождения тангенса и кокангента. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенты были заново открыты только в XIV веке немецким математиком и астрономом Реджимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему о тангенте. Regimontan также сделал подробные тригонометрические таблицы, благодаря его работам плоские и сферические тригонометрии стали отдельной дисциплиной в Европе.

Название «касательные», происходящее от латинского tangens (to touch), появилось в 1583 году, тангенс переводится как «касание» (линия касания — касательная к одному кругу).

Дальнейшее развитие тригонометрии состоялось в трудах выдающегося астронома Николая Коперника (1473-1543) — создателя мировой гелиоцентрической системы Тихо Браге (1546-1601) и Иоганна Кеплера (1571-1630), а также в трудах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу определения всех элементов плоского или сферического треугольника на три даты.

Долгое время тригонометрия была чисто геометрической. Факты, которые мы сейчас формулируем в виде тригонометрических функций, были сформулированы и доказаны с помощью геометрических концепций и высказываний. Так было уже в средние века, хотя иногда использовались аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольший стимул для развития тригонометрии возник в связи с решением астрономических задач, представлявших большой практический интерес (например, для решения задач определения положения корабля, прогнозирования отключения электроэнергии и т.д.). Астрономов интересовали отношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо сказать, что математики древнего мира успешно справились с поставленными задачами.

С XVII века тригонометрические функции стали использоваться для решения уравнений, задач механики, оптики, электротехники, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, изучения переменного тока и др. Поэтому тригонометрические функции были всесторонне и глубоко исследованы и приобрели значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций была разработана в основном Леонардом Эйлером (1707-1783), выдающимся математиком XVIII века, членом Санкт-Петербургской Академии наук. Большое научное наследие Эйлера включает в себя блестящие результаты, связанные с математическим анализом, геометрией, теорией чисел, механикой и другими математическими приложениями. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, начал рассматривать функции любого угла, и получил формулы редукции. По словам Эйлера, тригонометрия получила форму расчета: различные факты стали доказываться формальным применением формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее.

Таким образом, тригонометрия, зародившаяся как наука о разрешении треугольников, со временем переросла в науку о тригонометрических функциях.

Позже часть тригонометрии, изучающую свойства тригонометрических функций и связь между ними, стала называться гониометрией (в переводе — наука об измерении угла, с греческого gwnia — угол, metrew — мера). В последнее время термин «гониометрия» практически не используется.

Видео:СЕКРЕТНЫЙ ЛАЙФХАК С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #тригонометрияСкачать

Тригонометрические функции

Элементарные функции, которые исторически возникали при взгляде на прямоугольные треугольники и выражают зависимость сторон этих треугольников от острых углов гипотенузы (или, эквивалентно, зависимость аккордов и высоты от центрального угла в круге). Эти функции нашли самое широкое применение в различных областях науки. В результате было расширено определение тригонометрических функций, и их аргументом теперь может быть любое реальное или даже сложное число.

Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

Ссылка на тригонометрические функции:

Во-первых, прямые тригонометрические функции:

Во-вторых, противоположные тригонометрические функции:

В-третьих, производные тригонометрические функции:

В западной литературе загар х, кроватка х, цхх называются загаром, кроватка х, цхх.

В дополнение к этим шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (верна и т.д.) и обратные тригонометрические функции (арксин, аркозин и т.д.), которые рассматриваются в отдельных статьях.

Синусоидальный и косинусоидальный вещественные аргументы являются периодически непрерывными и бесконечно дифференцируемыми вещественными функциями.

Остальные четыре функции на реальной оси также являются материально значимыми, периодическими и бесконечно различимыми в областях определения, но не непрерывными.

Тангенты и секанты имеют паузы второго поколения на ±rp, в то время как катангенсы и секанты имеют паузы на ±rp.

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 классСкачать

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Укажем декартовую систему координат на плоскости и сформируем окружность радиусом R, центр которой находится в начале координат O. Измеряем углы как вращения от положительного направления оси абсциссы к акустическому пучку. Направление против часовой стрелки считается положительным, направление по часовой — отрицательным. Если мы обозначим абсциссой точку B с xB, то мы обозначим ординату с yB.

Понятно, что значения тригонометрических функций не зависят от радиуса окружности R из-за свойств подобных фигур.

Следует также отметить, что этот радиус часто принимается равным значению одного сечения.

Исходя из этого, синус является просто ординатой yB, а косинус — абсциссой xB.

Если b является вещественным числом, то в математическом анализе синус b называется угловым синусом, радиан которого равен b, аналогично другим тригонометрическим функциям.

Рассмотрим графическое изображение этого явления на рисунке 3.

Видео:КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений, уравнений функций и по ряду

Во многих учебниках элементарной геометрии тригонометрические функции острого угла до сих пор определялись как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть ОАБ будет треугольником с углом b.

Ну, тогда:

• Синус угла b называется отношением AB/OB (отношение противоположного катетера к гипотенузе);
• Козин угла b называется отношением OA/OB (отношение смежного катетера к гипотенузе);
• Касательная угла b называется отношением AB/OA (отношение противоположного катетера к соседнему катетеру);
• Катангензис угла b называется отношением OA/AB (отношение смежного катетера к противоположному катетеру);
• Секанс угла b называется отношением ОВ/ОА (отношение гипотенузы к соседнему катетеру);
• Угол cosecansome b называется отношением OV/AB (отношение гипотенузы к контркатетеру).

После того, как мы построили систему координат с началом в точке О, изменили направление оси абсциссы вдоль ОА и, при необходимости, ориентацию треугольника (перевернув его) так, чтобы он лежал в первой четверти системы координат, а затем построили окружность с радиусом, равным гипотенусе, сразу замечаем, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

На основании геометрии и свойств предельных значений можно доказать, что производная синуса равна косинусу, а производная косинуса равна минус синус. Затем можно использовать преимущества теории рядов Тейлора и представить синус и косинус как сумму степенных рядов.

Видео:Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7Скачать

Самые простые личности

Тригонометрические тождества — это математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются по всем значениям аргумента (из общего диапазона определений).

Поскольку синус и косинус являются ординатой и абсциссой точки, соответствующей единичной окружности впадин, то в соответствии с уравнением единичной окружности или пифагорейской теоремой.

Это соотношение называется базовой тригонометрической идентичностью.

Мы делим это уравнение на квадрат косинуса и синуса.

Синус и косинус являются непрерывными функциями. У тангентов и секантов есть точки перелома: катангенез и косекансы.

Где f — произвольная тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (т.е. косинус для синуса, синус для косинуса и подобная для других функций), n — целое число. Полученной функции предшествует знак, который имеет начальную функцию в данной координатной четверти, при условии, что угол b острый.

Формулы для работы с касательными и катангами трех углов получены путем деления правой и левой частей соответствующих уравнений, представленных выше.

Вид одного параметра.

Все тригонометрические функции могут быть выражены полукруглым касательным.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и бесконечно дифференцируются по всему диапазону определения:

Интегралы тригонометрических функций в домене выражаются элементарными функциями следующим образом.

Большинство из вышеперечисленных свойств тригонометрических функций были сохранены даже в сложном случае.

Некоторые дополнительные свойства: тригонометрическое уравнение идентичности:

• Сложные синусоидальные и косинусоидальные значения, в отличие от реальных, могут принимать любое количество значений модуля;
• Все нули сложного синуса и косинуса лежат на оси материала.

Видео:Тригонометрические уравнения. Задание 12 | Профильная математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Заключение

В данной работе были выполнены все задачи: получены более подробные сведения о тригонометрических функциях, приведены доказательства теорем косинуса и синуса, а также теоремы о площади треугольников, применены при решении задач по нахождению неизвестных элементов треугольника, научились применять эти теоремы при измерении работы на местности. Представленные проблемы представляют большой практический интерес, закрепляют полученные знания в области геометрии и могут быть использованы в практической работе.

Видео:Тригонометрические уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

Список литературы

1. Анатасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9 класс — 12-е изд. М.: Разведка, 2005 , с.157-159, 256-261
2. Массовый М.Б., массовый Г.Д. «Математика после школы», М., Просвещение, 1971, с.56-57.
3. 1964, Берманд А.Ф. Тригонометрия, с.4-6.
4. Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9-ый класс — 13-е изд. -М.: Разведка, 2003, с.112-114.
5. Понарин Дж.П. Элементарная геометрия. ИКНМО, 2004, СТР. 84-85.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📽️ Видео

Решение тригонометрических уравнений №12 | Математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Как решать тригонометрические уравнения? 3 способа решения для ЕНТ по математике 2023Скачать

Решение тригонометрических уравнение в ЕГЭ для новичков | ЕГЭ Математика | Аня Матеманя | ТопскулСкачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Вся Тригонометрия для Чайников, 10 класс, урок 1Скачать

САМЫЕ СЛОЖНЫЕ Задания #6 ЕГЭ 2024 (Тригонометрические Уравнения) | Школа ПифагораСкачать