Реферат по математике на тему линейные уравнения (2 видео)

Линейные уравнения

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Мая 2013 в 23:26, реферат

Содержание

Линейные уравнения.doc
Линейные уравнения
Уравнения с одной переменной.
Системы уравнений с двумя переменными.
Доклад по математике на тему: «Виды уравнений и способы их решения»
1.1. Линейное уравнение
1.2 Квадратное уравнение
1.2.1 Неполное квадратное уравнение
1.2.2 Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета
2. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
2.1 Графический способ решения системы уравнений
Методы решения линейных уравнений
Нет нужной работы в каталоге?
Требуются доработки? Они включены в стоимость работы
💥 Видео

Краткое описание

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.

Прикрепленные файлы: 1 файл

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Линейные уравнения.doc

Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Линейные уравнения

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Уравнения с одной переменной.

Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+5=8х-1. Уравнение х2+1=0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) =0 имеет два корня: х1= -3, х2=4.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.

При решении уравнений используются следующие свойства:

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если а¹0, то уравнение имеет единственное решение .

Если а=0, b=0, то уравнению удовлетворяет любое значение х.

Если а=0, b¹0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0х=b не выполняется ни при одном значении переменной.

Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+40=3(5х-4)

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:

Пример 2. Решить уравнения:

Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.

3х2-5х=0; х(3х-5)=0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х1=0; х2= .

Разложить на множители левую часть уравнения:

х2(х-2)-9(х-2)=(х-2)(х2-9)=(х- 2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)=0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х1=2, х2=3, х3=-3.

с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+12=0, х(х+3)+4(х+3)=0, (х+3)(х+4)=0, отсюда х1=-3, х2=- 4.

Пример 3. Решить уравнение: ½х+1ç+½х-1ç=3.

Напомним определение модуля числа:

Например: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда ½х+1½=-х-1. А если х>-1, то ½х+1½=х+1. При х=-1 ½х+1½=0.

а) Рассмотрим данное уравнение½х+1½+½х-1½=3 при х£-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+1=3, -2х=3, х= , это число принадлежит множеству х£-1.

b) Пусть -1 ю х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

с) Рассмотрим случай х>1.

х+1+х-1=3, 2х=3, х= . Это число принадлежит множеству х>1.

Ответ: х1=-1,5; х2=1,5.

Пример 4. Решить уравнение:½х+2½+3½х½=2½х-1½.

Покажем краткую запись решения уравнения, раскрывая знак модуля «по промежуткам».

–2 1, х+2+3х=2(х-1), 2х=- 4, х=-2Ï(1; +¥)

Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.

В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а.

Если а=1, то уравнение имеет вид 0×х=0, этому уравнению удовлетворяет любое число.

Если а=-1, то уравнение имеет вид 0×х=-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число.

Если а¹1, а¹-1, тогда уравнение имеет единственное решение .

Ответ: если а=1, то х – любое число;

если а=-1, то нет решений;

Видео:Урок СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСССкачать

Системы уравнений с двумя переменными.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой системы или они обе не имеют решений.

При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Для решения этой системы применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х и подставим это значение во второе уравнение системы, получим

Пример 2. Решить систему уравнений:

Для решения этой системы применим метод сложения уравнений. 8х=16, х=2. Подставим значение х=2 в первое уравнение, получим 10-у=9, у=1.

Пример 3. Решить систему уравнений:

Эта система равносильна одному уравнению 2х+у=5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: (х; 5-2х), х–любое.

Пример 4. Решить систему уравнений:

Умножим первое уравнение на –2 и сложим со вторым уравнением, получим 0×х+0×у=-6. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Следовательно, эта система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 5. Решить систему:

Из второго уравнения выражаем х=у+2а+1 и подставляем это значение х в первое уравнение системы, получаем . При а=-2 уравнение не а=-2 имеет решения, если а¹-2, то .

Ответ: при a=-2система не имеет решения,

при а¹-2 система имеет решение .

Пример 6. Решить систему уравнений:

Нам дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Применим метод Гаусса, который состоит в том, что равносильными преобразованиями приводят данную систему к треугольной форме. Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на –2.

Далее к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на –3,

наконец прибавим к этому уравнению уравнение у-z=-1, умноженное на 2, получим — 4z=-12, z=3. Итак получаем систему уравнений:

z=3, которая равносильна данной.

Система такого вида называется треугольной.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Доклад по математике на тему: «Виды уравнений и способы их решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ КАМЧАТСКОГО КРАЯ

КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ «КАМЧАТСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»

Доклад по математике на тему:

«Виды уравнений и способы их решения»

Малиновская Вероника Андреевна

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположила материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попыталась показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стала ограничиваться только действительным решением, но и указала комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто не законченно. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений.

Математика. выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

1. УРАВНЕНИЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв). Для записи тождества наряду со знаком также используется знак .

Пример: 5 *7 – 6 = 20 + 9

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: ,, c , . – или теми же буквами, снабженными индексами:, , . или , , . ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: x , y , z . По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с одним, двумя, тремя и т. д. неизвестными

Решением уравнения называют такой буквенный или числовой набор неизвестных, которые обращает его в тождество (соответственно числовое или буквенное). Часто решение уравнения называют его также его корнем.

Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

1.1. Линейное уравнение

Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

ax + b = c , где a ≠ 0

Это уравнение имеет единственное решение:

Видео:Урок 79 Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений (7 класс)Скачать

1.2 Квадратное уравнение

Квадратным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

a + bx + c = 0, где a ≠ 0

Дискриминантом квадратного уравнения называют число D =

Справедливы следующие утверждения

Если D 0 , то уравнение решений не имеет

Если D = 0 , то уравнение имеет единственное решение

Если D 0, то уравнение имеет 2 решения

Обе эти формулы часто записывают в виде

1.2.1 Неполное квадратное уравнение

Неполным квадратным уравнением называют квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

При c =0, уравнение принимает вид:

a+ bx = 0 или x (ax + b) = 0

т.е. либо х=0, либо ax + b = 0, откуда х=0,

При b =0, уравнение принимает вид: a + c = 0

если выражение 0, то уравнение решений не имеет

если с=0, то уравнение имеет единственное решение: х=0

если выражение, 0,то решений два:

1.2.2 Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета

Приведённым квадратным уравнением называют уравнение вида

т.е. квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице.

Любое квадратное уравнение можно сделать приведённым. Для этого достаточно каждый коэффициент данного уравнения разделить на первый коэффициент, т.е. на а

Теорема Виета : Если приведённое квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –p, а их произведение- свободному члену q.

Теорема, обратная теореме Виета : Если сумма двух чисел и равна числу –p, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведённого квадратного уравнения + px + q =0

Пример: Используя теорему, обратную теореме Виета, найти корни уравнения

Это уравнение имеет целые корни, Корни легко угадать: это действительно: (-1) * (-2) = 2 и (-1) +(-2) = -3. Значит, числа -1 и -2 являются корнями данного уравнения.

Уравнение вида a + b + c = 0 называют биквадратным

Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим , тогда . Заметим что t ≥ 0, так как t = исходное уравнение имеет вид

Т.е. является обыкновенной квадратным уравнением, которое решается по приведенной выше схеме.

Пусть и – корни полученного квадратного уравнения. Если > 0 и , исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

Если одно из чисел или отрицательно, а другое неотрицательно, то имеем два корня, либо один ( x = 0).

Введение нового переменного – наиболее распространенный метод решения самых разных уравнений.

Решение. Обозначим и заметим, что t ≥ 0

Тогда исходное уравнение примет вид:

Так как D > 0, то полученное квадратное уравнение имеет два корня

Оба эти корня удовлетворяют условию (*) следовательно, уравнение имеет четыре действительных решения

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Из теоремы Виета следует очень важное утверждение:

теорема о разложении квадратного трёхчлена на множители.

Если квадратное уравнение a + bx + c = 0, где a ≠ 0 имеет действительные корни то квадратный трёхчлен

a + bx + c = 0 раскладывается на множители следующим образом: a + bx + c = а ( х- ) ( х — )

Пример: Разложить н множители выражение 3 + 5 x

Решение: Найдём корни уравнения 3 + 5 x = 0

_{По теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители имеем:}

Уравнение, содержащие переменную под знаком модуля

Модулем числа называют само это число, если оно неотрицательно, либо число — | |.

Формальная запись этого определения такова:

При решении уравнений, содержащих переменную плд знаком модуля, используется определение модуля.

пример: решить уравнение: | |=

решение: по определению модуля:

Говорят, что выражение модулем меняет свой знак в точке x =1, поэтому все множество чисел разбивается на два числовых промежутка.

а) При x ≥ 1 исходное уравнение принимает вид:

Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени

Возведение обеих частей уравнения в степень

При возведении обеих частей уравнения в четную степень (в частности, в квадрат) получается уравнение, неравносильному исходному.

Кроме корней исходного уравнения могут появиться посторонние корни, т.е. числа, являющиеся решениями возведенного в четную степень уравнения, но не являющимися корнями исходного уравнения.

Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляет в начальное уравнение и проверяют, верное ли получается числовое неравенство.

Пример. Решить уравнение

Решение возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем:

Проверка. При но 1 ≠ -1 следовательно корень x =-1 посторонний

При x = 2; так как 2=2, то проверяемое число действительно является корнем исходного уравнения

1.7 Тригонометрические уравнения

Решение: так как то уравнение можно переписать следующим образом:

2 ( 1 — ) + 7 — 5 = 0, т.е. 27

Полагая, что = y , приходим к квадратному уравнению

2 – 7 y + 3 = 0, откуда = = 3, и получаем совокупность двух простейших уравнений

Первое из них имеет решение

, а второе решений не имеет

1.8 Системы уравнений

Система уравнений состоит из двух и более алгебраических уравнений.

Решением системы называют такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество.

Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Видео:Решаем линейные уравнения на ОГЭ по математике 2022. Блок №1Скачать

2. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим несколько способов решения систем уравнений

Видео:Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать

2.1 Графический способ решения системы уравнений

Решение. Каждое уравнение системы задаёт линейную функцию. Построим графики этих уравнений в одной системе координат. Координаты пересечений графиков обращают оба уравнения системы в верные равенства. Решением системы является пара значений переменных: х=1,у=1. Ответ можно записать так: ( 1; 1 )

Графический способ решения систем уравнения состоит в следующем:

Строятся графики каждого уравнения системы

Определяются точки пересечения графиков

Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков.

2.2 Метод подстановки

Решение: Из первого уравнения выразим x через y :

Подставив полученное выражение во второе уравнение системы, получим уравнение с одним неизвестным

Подставив это число в выражение

Получим ответ: x = 3

Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки

Из одного уравнения системы одна переменная выражается через другую.

Полученное выражение подставляется во второе уравнение системы.

Решается полученное после подстановки уравнение

Полученное решение подставляется в выражение из п.1

Если при решении последнего уравнения получается тождество 0=0, то это означает, что исходная система имеет бесконечное множество решений вида (х, у), каждое из которых удовлетворяет первому уравнению системы. Если же при тождественных преобразованиях последнего уравнения получится неверное числовое равенство, то система решений не имеет.

2.3 Метод сложения

Решение: Домножим первое уравнение системы на 2, а второе — на 3. Сложим получившиеся уравнения почленно и запишем результат вместо второго уравнения системы.

Числа, на которые домножают уравнения перед сложением, выбирают так, чтобы при суммировании коэффициент перед одной из переменных стал равен нулю.

В результате преобразований уравнений системы и замены одного из уравнений результатом суммирования других получены равносильные системы.

Две системы называют равносильными, если каждое решение одной системы является решением другой системы и наоборот.

2.4 Метод введения новой переменной

При решении систем нелинейных уравнений, как правило, применя-ются различные комбинации нескольких методов решения систем.

Решение. Преобразуем второе уравнение системы воспользовавшись формулой сокращенного умножения

Из первого уравнения системы x — y =1; подставим 1 во второе уравнение. Запишем получившуюся систему:

К этой системе уже вполне применим метод – выразить одно неизвестное из первого уравнения системы и подставить во второе:

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX I век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что мой доклад может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного доклада я не ставила себе цели показать все виды уравнений, а излагал лишь имеющийся у меня материал.

На основании всего выше изложенного можно сделать вывод, что уравнения необходимы в современном мире не только для решения практических задач, но и в качестве научного инструмента. Поэтому так много ученых изучали этот вопрос и продолжают изучать.

Видео:Как решать линейные уравнения Решите уравнение 5 класс 6 класс 7 класс Как решать простое уравнениеСкачать

Методы решения линейных уравнений

ID (номер) заказа
2158281

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………….…3
Теоретические основы систем линейных уравнений…………..5
Методы решения систем линейных уравнений…………………8
Метод Гаусса…………………………………………………..….8
Метод Крамера……………………………………………………9
Матричный метод……………………………………….…. ….10
Пример решения системы линейных уравнений….…………. 11
Заключение……………………………………………….……………..15
Список использованной литературы…………………………………..17

Введение
Линейная алгебра, численные методы – раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.
Одной из важнейших и наиболее распространённых задач вычислительной математики является задача решения систем линейных алгебраических уравнений. К ним часто приходят при исследовании самых различных проблем науки и техники, в частности, приближенное решение дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных сводится к решению алгебраических систем. Число неизвестных n может достигать нескольких десятков, сотен и даже тысяч. К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:
задачи механики (статические, теплотехнические);
задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;
системы линейных уравнений — основной аппарат при нахождении значений коэффициентов в эмпирических формулах;
задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;
системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т.д.
Актуальность выбранной темы обусловлена недостаточной изученностью при широкой практике применения математических методов.
Целью работы является изучение основных методов решения систем математических уравнений.
Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:
Изучить теоретические основы систем линейных уравнений;
Рассмотреть основные методы решения данных уравнений:
Метод Гаусса;
Метод Крамера;
Матричный метод;
Продемонстрировать применение данных методов на примере.
Основным объектом исследования является сиситемы линейных алгнебраических уравнений (далее – СЛАУ). Соответствующий предмет работы – методы решения данных систем.
Различным теоретико-методологическим и практическим аспектам бизнес-планирования посвящены работы многих российских исследователей, таких, как: Красс М.С., Кремер Н.Ш., Лизунова Н.А. и т.д.
Методологической, теоретической и эмпирической основой исследования являются положения, сформулированные в трудах отечественных и зарубежных ученых, посвященные теоретическим и прикладным проблемам линейной алгебры.
Информационную базу исследования составляют научные труды российских и зарубежных авторов и методические материалы по исследуемой теме.
Теоретические основы
систем линейных уравнений
Матрица – это прямоугольная таблица чисел, которая содержит m строк и n столбцов. Размер таблицы: m×n . [2, 124 c.]
А= a11…a1ma21…a2m………an1 … anm (1),
где aij – коэффициенты матрицы;
i – Номер строки;
j – Номер столбца.
СЛАУ имеет вид:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm (2),
где xn — неизвестные;
aij – коэффициенты при неизвестных;
bi – свободные члены.
Коэффициенты и свободные члены могут быть любыми действительными числами.
Решение СЛАУ – это совокупность значений неизвестных xn, обращающая каждое уравнение системы в тождество. При это система может быть нескольких видов (см. рис.1.) [1, 62 c.]
Если 2 системы имеют одно и то же множество решений, то они являются равносильными (эквивалентными).
Любая СЛАУ может быть представлена в виде матричного уравнения:
AX = B (3),
Где А – матрица, которая состоит из неизвестных;
В – матрица-столбец свободных членов;
Х – матрица-столбец неизвестных.
А = a11…a1ma21…a2m………an1 … anm Х= x1x2…xn B= b1b2…bn (4)
Рис.1. Виды СЛАУ
Матрица А – матрица системы. Также существует A – это расширенная матрица системы (см. формула (5)).
A= a11 a12 …a1n b1a21 a22 …a2n b2…am1 am2…amn bm (5)
Однородная СЛАУ – система, в которой свободные члены являются 0. Априори данный вид систем является совместной.
a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0…am1x1+am2x2+…+amnxn=0 (6)
Если число уравнений в СЛАУ совпадает с количеством неизвестных, то данная система записывается в следующем виде:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…an1x1+an2x2+…+annxn=bn (7)
Определитель, или детерминант квадратной матрицы порядка n имеет обозначения:D=detA= deta11 a12 …a1na21 a22 …a2n …am1 am2…amn= a11 a12 …a1na21 a22 …a2n …am1 am2…amn (8)
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая при умножении на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.
Обозначив обратную через А-1, запишем А-1А=АА-1=Е, где Е – единичная матрица.
При условии 𝐷 = |𝐴| ≠ 0 обратная матрица находится по формуле:
A-1= A11DA21DAn1DA12DA22DAn2DA1nDA2nDAnnD (9)
Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:
1. Находят определитель матрицы А.
2. Находят алгебраические дополнения всех элементов 𝑎𝑖𝑗 матрицы А и записывают новую матрицу.
3. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспортируют матрицу).
4. Умножают полученную матрицу на 1/D. [3, 104 c.]
Минором Mij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Методы решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса
Метод Гаусса является классическим методом решения СЛАУ. Считается, что автор данного – немецкий математик Карл Фридрих Гаусс [8]. Однако стоит отметить, что первое упоминание данного способа относится к китайскому трактату «Математика в 9 книгах», датированному в X век до н. э. — II век до н. э. [10]
Метод Гаусса применяется для решения СЛАУ с произвольным числом неизвестных и уравнении. Его суть заключается в последовательном исключении неизвестных. [4, 354 c.]
Пусть дана произвольная система линейных уравнений (см. формула (2)).
Для решения данной системы приведем ее к эквивалентной ей системе с треугольной или ступенчатой матрицей.
Для этого выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы с добавлением столбца свободных членов, т. е. расширенную матрицу системы:
A= a11 a12 …a1n b1a21 a22 …a2n b2…am1 am2…amn bm (10)
Путем различных последовательных элементарных преобразований (умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число; сложение и вычитание строк; перестановка строк) приведем матрицу A к треугольному или ступенчатому виду:
b11 b12 … b1r… b1n c1 b21… b2r… b2n c2… brr… brn cr ( r≤n) (11),
где все диагональные элементы brr отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю.
Полученной матрице соответствует более простая система уравнений:
b11x1+b12x2+…+b1rxr+b1nxn=c1b22x2+…+b2rxr+b2nxn=c2…brrxr+brnxn=cr(12)
Процедуру преобразования исходной системы к треугольному или трапецеидальному виду называют прямым ходом метода Гаусса.
Если в полученной системе r = n, то она имеет треугольный вид. Из последнего уравнения находим xn, из предпоследнего уравнения находим xn-1 и так далее, и, наконец, из первого уравнения находим x1.
Описанный процесс называют обратным ходом метода Гаусса. При r = n система имеет единственное решение.
Если же r

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.