Содержание

Реферат на тему Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
Поможем написать учебную работу
Очень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета:
Чтобы числа x1 и x2 являлись корнями уравнения:
ax² + bx + c = 0
Имеем тождества
Подставим уравнение в формулу корней биквадратных уравнений:
Реферат на тему: Различные способы решения квадратных уравнений
Скачать:
Предварительный просмотр:
Реферат по алгебре 8 класс на тему квадратные уравнения
🔍 Видео

Реферат на тему Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

Работа добавлена на сайт bukvasha.ru: 2015-01-04

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№27 - Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.)Скачать

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой — мы готовы помочь.

2.11 Схема Горнера

Заключение
Список используемой литературы
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3

Введение
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).
В этом реферате хотелось бы отобразить формулы и способы решения различных уравнений. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной программе. В основном это уравнения частного характера и уравнения высших степеней. Чтобы раскрыть эту тему приводятся доказательства этих формул.
Задачи нашего реферата:
— улучшить навыки решения уравнений
— наработать новые способы решения уравнений
— выучить некоторые новые способы и формулы для решения этих уравнений.
Объект исследования — элементарная алгебра Предмет исследования уравнения. Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков
1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведённых над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучается общие свойства действий над величинами.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Как было сказано ранее, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилонянами. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются как неполные, так и полные квадратные уравнения.
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решением, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратного уравнения.
1.2 Уравнения арабов
Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал — джабар» описал многие способы решения различных уравнений. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении таких уравнений была нужна в вопросах о разделе наследства.
1.3 Уравнения в Индии
Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:
aх² + bx = c, где a > 0
В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

Глава 2. Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
2.1 Основные понятия
Квадратным уравнением называют уравнения вида
ax²+bx+c = 0,
где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0.
Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.
Пример:
x 2 + 2x + 6 = 0.
Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
Пример:
2x 2 + 8x + 3 = 0.
Полное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.
Пример:
3x 2 + 4x + 2 = 0.
Неполное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у которого хотя бы один коэффициент b, c равен нулю.
Таким образом, выделяют три вида неполных квадратных уравнений:
1) ax² = 0 (имеет два совпадающих корня x = 0).
2) ax² + bx = 0 (имеет два корня x₁ = 0 и x₂ = — )
Пример:
x 2 + 5x = 0
x(x+5) =0
x₁= 0, x₂ = -5.
Ответ: x₁=0, x₂= -5.
3) ax² + c = 0
Если – 2 + 6 = 0
Ответ: уравнение не имеет корней.
Если – > 0, то x_1,2 = ±
Пример:
2x 2 – 6 = 0

х 2 =±
х_1,2=±
Ответ: х_1,2=±
Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант (b² — 4ac). Обычно выражение b² — 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнение ax² +bx + c = 0 (или дискриминантом квадратного трёх члена ax² + bx + c)
Пример:
х 2 +14x – 23 = 0
D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256
x_1,2 =
x₁ =
x₂ =
Ответ: x₁ = 1, x₂ = — 15.
В зависимости от дискриминанта уравнение может иметь или не иметь решение.
1) Если D
3) Если D > 0, то имеет два решения, находящиеся по формуле:
x_1,2 =

2.2 Формулы четного коэффициента при х
Мы привыкли к тому, что корни квадратного уравнения
ax² + bx + c = 0 находятся по формуле
x_1,2 =
Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что эту формулу можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число.
В самом деле, пусть у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 коэффициент b имеет вид b = 2k. Подставив в нашу формулу число 2k вместо b, получим:
x_1,2=
=
Итак, корни квадратного уравнения ax² + 2kx + c = 0 можно вычислять по формуле:
x_1,2=
Пример:
5х 2 — 2 х + 1 = 0

x_1,2=
Преимущество этой формулы в том, что в квадрат возводится не число b, а его половина, вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac и, наконец, в том, что в знаменателе содержится не 2a, а просто a.
В случае если квадратное уравнение приведенное, то наша формула будет выглядеть так:
x_1,2=-k ± .
Пример:
х 2 – 4х + 3 = 0
х_1,2 = 2 ±
х₁ = 3
х₂ = 1
Ответ: х₁ = 3, х₂ = 1.
2.3 Теорема Виета

Очень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета:

Чтобы числа x₁ и x₂ являлись корнями уравнения:

ax² + bx + c = 0

необходимо и достаточно выполнения равенства

x₁ + x₂ = -b/a и x₁x₂ = c/a
Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения
А именно
x² + bx + c = 0
1. Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.
2. Если b 0 то оба корня положительны.
3. Если b>0, c .
Доказательство:
В уравнении ax² + bx + c = 0, его корни
x_1,2 = (1).
Представим b из равенства a + b + c = 0
Подставим это выражение в формулу (1):

х_1,2=
=
Если рассмотрим по отдельности два корня уравнения, получим:
1) х₁=
2) х₂=
Отсюда следует: х₁=1, а х₂ = .
1. Пример:
2х² — 3х + 1 = 0
a = 2, b = -3, c = 1.
a + b + c = 0, следовательно
х₁ = 1
х₂ = ½
2. Пример:
418х² — 1254х + 836 = 0
Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить.
a = 418, b = -1254, c = 836.
х₁ = 1 х₂ = 2

2) Если a — b + c = 0, в уравнении ax² + bx + c = 0, то:
х₁=-1, а х₂ =- .
Доказательство:
Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0, из него следует, что:
x_1,2 = (2).
Представим b из равенства a — b + c = 0
b = a + c, подставим в формулу (2):
x_1,2=
=
Получаем два выражения:
1) х₁=
2) х₂=
Эта формула похожа на предыдущую, но она тоже важна, т.к. часто встречаются примеры такого типа.
1) Пример:
2х² + 3х + 1 = 0
a = 2, b = 3, c = 1.

a — b + c = 0, следовательно
х₁ = -1
х₂ = -1/2
2) Пример:

Ответ: x₁ = -1; х₂ = —
3) Метод “переброски”
Корни квадратных уравнений y² + by + аc = 0 и ax² + bx + c = 0 связанны соотношениями:
х₁ = и х₂ =
Доказательство:
а) Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0
x_1,2 = =
б) Рассмотрим уравнение y² + by + аc = 0
y_1,2 =

Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения.
Пример:
Имеем произвольное квадратное уравнение
10х² — 11х + 3 = 0
Преобразуем это уравнение по приведенному правилу
y² — 11y + 30 = 0
Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко решить с помощью теоремы Виета.
Пусть y₁ и y₂ корни уравнения y² — 11y + 30 = 0
y₁y₂ = 30 y₁ = 6
y₁ + y₂ = 11 y₂ = 5
Зная, что корни этих уравнений отличны друг от друга на а, то
х₁ = 6/10 = 0,6
х₂ = 5/10 = 0,5
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y² + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения.

2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней
Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.
Пусть многочлен
P(x) = a₀x n + a₁x n -1 + … +a_n
Имеет n различных корней x₁ , x₂ …, x_n_.
В этом случае он имеет разложение на множители вида:
a₀x n + a₁x n-1 +…+ a_n = a₀( x – x₁)( x – x₂)…(x – x_n)
Разделим обе части этого равенства на a₀ ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:
x n + ( )x n -1 + … + ( ) = x n – (x₁ + x₂ + … + x_n) x n -1 + ( x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n_-1x_n)x n -2 + … +(-1) n x₁x₂ … x_n
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство
x₁ + x₂ + … + x_n = —
x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n_-1x_n =
x₁x₂ … x_n = (-1) n

Например, для многочленов третей степени
a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Имеем тождества

x₁ + x₂ + x₃ = —
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ =
x₁x₂x₃ = —
Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x₁ , x₂ …, x_n данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.
2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)
К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
называемые биквадратными, причем, а ≠ 0.
Достаточно положить в этом уравнении х 2 = y, следовательно,
ay² + by + c = 0
найдём корни полученного квадратного уравнения

y_1,2 =
Чтобы найти сразу корни х_1,x_2,x_3,x₄ , заменим y на x и получим
x² =
х_1,2,3,4 = .
Если уравнение четвёртой степени имеет х₁, то имеет и корень х₂ = -х₁,
Если имеет х₃, то х₄ = — х₃. Сумма корней такого уравнения равна нулю.
Пример:
2х 4 — 9x² + 4 = 0

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Подставим уравнение в формулу корней биквадратных уравнений:

зная, что х₁ = -х₂, а х₃ = -х₄, то:
х_1,2 =
х_3,4 =
Ответ: х_1,2 = ±2; х_1,2 =

2.7 Исследование биквадратных уравнений
Возьмем биквадратное уравнение
ax 4 + bx 2 + c = 0,
где a, b, c –действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательную неизвестную y = x², исследуем корни данного уравнения, и результаты занесем в таблицу (см. приложение №1)
2.8 Формула Кардано
Если воспользоваться современной символикой, то вывод формулы Кардано может иметь такой вид:
х =
Эта формула определяет корни общего уравнения третей степени:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Эта формула очень громоздкая и сложная (она содержит несколько сложныных радикалов). Она не всегда примениться, т.к. очень сложна для заполнения.
2.9 Симметричные уравнения третей степени
Симметричными уравнениями третей степени называют уравнения вида

ax³ + bx² +bx + a = 0 (1)
или
ax³ + bx² — bx – a = 0 (2)
где a и b – заданные числа, причём a ¹ 0.
Покажем, как решаются уравнение (1).
Имеем:
ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² — x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).
Получаем, что уравнение (1) равносильно уравнению
(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.
Значит его корнями, будут корни уравнения
ax² +(b – a)x + a = 0
и число x = -1
аналогично решается уравнение (2)
ax³ + bx² — bx — a = a(x³ — 1) + bx(x — 1) = a(x — 1) (x² + x + 1) + bx(x — 1) = (x — 1) ( ax 2 + ax + a + bx ) = (x — 1) (ax² +(b + a)x + a).
1) Пример:
2x³ + 3x² — 3x – 2 = 0

Ясно, что x₁ = 1, а
х₂ и х₃ корни уравнения 2x² + 5x + 2 = 0 ,
Найдем их через дискриминант:
x_1,2 =
x₂ = — , x₃ = -2
2) Пример:
5х³ + 21х² + 21х + 5 = 0
Ясно, что x₁ = -1, а
х₂ и х₃ корни уравнения 5x² + 26x + 5 = 0 ,
Найдем их через дискриминант:
x_1,2 =
x₂ = -5, x₃ = -0,2.
2.10 Возвратные уравнения
Возвратное уравнение – алгебраическое уравнение
а₀х n + a₁x n – 1 + … + a_{n – 1}x + a_n =0,
в котором а_к = a_n _– _k, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ≠ 0.
Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.
Уравнение четвёртой степени вида:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).
Приведя это уравнение к виду
a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, и y = x + m/x и y² — 2m = x² + m²/x²,
откуда уравнение приводится к квадратному
ay² + by + (c-2am) = 0.
Пример:
3х 4 + 5х 3 – 14х 2 – 10х + 12 = 0
Разделив его на х 2 , получим эквивалентное уравнение
3х 2 + 5х – 14 – 5 × , или

Где и
3(y 2 — 4) + 5y – 14 = 0, откуда
y₁ = y₂ = -2, следовательно
и , откуда
х_1,2 =

х_3,4 =
Ответ: х_1,2 = х_3,4 = .
Частным случаем возвратных уравнений являются симметричные уравнения. О симметричных уравнениях третей степени мы говорили ранее, но существуют симметричные уравнения четвертой степени.
Симметричные уравнения четвертой степени.
1) Если m = 1, то это симметричное уравнение первого рода, имеющее вид
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой
y =
2) Если m = -1, то это симметричное уравнение второго рода, имеющее вид
ax 4 + bx 3 + cx 2 — bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой
y =
2.11 Схема Горнера
Для деления многочленов применяется правило “деления углом”, или схема Горнера. С этой целью располагают многочлены по убывающим степеням х и находят старший член частного Q(x) из условия, что при умножении его на старший член делителя D(x) получается старший член делимого P(x). Найденный член частного умножают, затем на делитель и вычитают из делимого. Старший член частного определяют из условия, что он при умножении на старший член делителя даёт старший член многочлена разности и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока степень разности не окажется меньше степени делителя.(см. приложение №2).
В случае уравнений R = 0 этот алгоритм заменяется схемой Горнера.
Пример:
х 3 + 4х 2 + х – 6 = 0
Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6.
Левую часть уравнения обозначим f(x). Очевидно, что f(1) = 0, x1 = 1. Делим f(x) на х – 1. (см. приложение №3)
Значит,
х 3 + 4х 2 + х – 6 = (х – 1) (х 2 + 5х + 6)
Последний множитель обозначим через Q(x). Решаем уравнение Q(x) = 0.
х_2,3 =
Ответ: 1; -2; -3.

В этой главе мы привели некоторые формулы решения различных уравнений. Большинство этих формул решения уравнений частного характера. Эти свойства очень удобны так, как гораздо легче решать уравнения по отдельной формуле для этого уравнения, а не по общему принципу. К каждому из способов мы привели доказательство и несколько примеров.

Заключение
В первой главе была рассмотрена история возникновения квадратных уравнений и уравнений высших порядков. Различные уравнения решали более 25 веков назад. Множество способов решения таких уравнений были созданы в Вавилоне, Индии. Потребность в уравнениях была и будет.
Во второй главе приведены различные способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений и уравнений высших порядков. В основном это способы решения для уравнений частного характера, то есть к каждой группе уравнений, объединенных какими- либо общими свойствами или видом, приведено особое правило, которое применяется только для этой группы уравнений. Этот способ (подбора к каждому уравнению собственной формулы) гораздо легче, чем нахождение корней через дискриминант.
В этом реферате достигнуты все цели и выполнены основные задачи, доказаны и разучены новые, ранее неизвестные формулы. Мы проработали много вариантов примеров перед тем, как занести их в реферат, по этому мы уже представляем, как решать некоторые уравнения. Каждое решение пригодится нам в дальнейшей учебе. Этот реферат помог классифицировать старые знания и познать новые.

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Реферат на тему: Различные способы решения квадратных уравнений

Работа реферативного характера на тебу: «Различные способы решения квадратных уравнений», 8 класс.

Видео:Решение уравнений сводящихся к квадратным уравнениям. Биквадратные уравнения – 8 класс алгебраСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
rabota_referativnogo_haraktera._razlichnye_sposoby_resheniya_kvadratnyh_uravneniy.doc	563 КБ

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать

Предварительный просмотр:

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 7 города Коряжмы»

Различные способы решения квадратных уравнений

Выполнила: ученица 8 «Б» класса,

Заглубоцкая Вера Александровна

Руководитель: Стенина Татьяна Леонидовна, учитель математики

165651, Архангельская область,

г. Коряжма, проспект Ленина д. 37

1. История возникновения и развития квадратных уравнений………………. 4

2. Способы решения квадратных уравнений……………………………………5

2.1. Метод выделения полного квадрата………………………. 5

2.2. Решение квадратных уравнений по формуле…. 6

2.3. Разложение левой части на множители……. 7

2.4. Решение квадратных уравнений способом «переброски»………………. 7

2.5. Теорема Виета………………………. 8

2.6. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения…. 8

2.7. Графический способ решения квадратных уравнений……………. 10

2.8. Геометрический способ решения квадратных уравнений…. 11

Список использованных источников и литературы………………. 14

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее

решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре задачи.

Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них

короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У.У. Сойер, английский математик 20 века.

Практически все, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площади земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые уравнения второй степени. Однако имеются и другие способы решения таких уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Какие это способы и сколько их?

История возникновения и развития квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Найденные древние вавилонские глиняные таблички (около 2 тысяч лет до н.э.) являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На них изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения этих уравнений совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax 2 = c и ax 2 + bx = c и привел методы их решения.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме: ах 2 + bx = c , где a > 0 . В этом уравнении коэффициенты (кроме а) могут быть и отрицательными. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В его книгах «Арифметика» нет систематического изложения алгебры, однако в них содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений различных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Хорезмский математик Ал-Хорезми в своем алгебраическом трактате дает классификацию линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: ах 2 + с = bх, ах 2 = с, ах = с, ах 2 + с = bх, ах 2 + bx = с, bx + с = ах 2 . Ал-Хорезми избегает употреблений отрицательных чисел, поэтому члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Он первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с , при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в 1544 г. немецким математиком М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Способы решения квадратных уравнений

Квадратное уравнение — алгебраическое уравнение общего вида где — свободная переменная, , , — коэффициенты , причём

2.1. Метод выделения полного квадрата

В данном методе будут активно использоваться следующие формулы сокращенного умножения:

(a+b) 2 = a 2 +2*a*b +b 2 ;

(a-b) 2 = a 2 -2*a*b +b 2 ;

Рассмотрим данный метод при решении уравнения: 4x 2 +7x+3=0

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Реферат по алгебре 8 класс на тему квадратные уравнения

7.Решение уравнений с использованием свойств коэффициентов

Таким образом, ясно, что при решении квадратных уравнений учащиеся нашей школы используют традиционно формулы дискриминанта и корней уравнения, что требует громоздких вычислений и как следствие больших затрат времени, что непозволительно в процессе сдачи экзаменов.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения? Какие существуют рациональные способы решения квадратных уравнений?

Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.

Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений.

Задачи:

1.Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений

2. Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.

3. Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.

4.Изложить наиболее известные способы решения квадратных уравнений.

3.Показать нестандартные способы решения квадратных уравнений. Сделать выводы.

5. Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой.

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами

Актуальность темы: тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, имеет теоретическую и практическую значимость. Ведь почти все, что окружает человека так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Тема исследования:

Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования: анкетирование, сбор статистических данных, обработка собранных сведений и информации, оформление результатов исследования.

Итог работы.

Каждый ученик должен прийти к выводу «Мой способ решения квадратного уравнения – понятный, но я хочу найти для себя самый рациональный»

Глава 1. Историческая справка.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под редакцией С. А. Теляковского за 8 класс. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2. Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г. Рациональные приемы решения квадратных уравнений в полном объеме освещены на сайтах интернет.

Таким образом, изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.

Глава 2.Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

2.1. Определение квадратного уравнения

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

аx 2 + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

● Пример. 8x 2 – 7x + 3 = 0

В каждом из уравнений вида ax 2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

● Пример. х 2 – 11х+30=0, х 2 – 8х= 0.

2.2. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Пример. Рассмотрим уравнение 7х 2 – 6х – 1= 0.

Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

Выделим из трехчлена х 2 – x- –квадрат двучлена. Для этого разность

х 2 – х представим в виде х 2 – 2· х, прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим

Отсюда х 2 – 2· х + = + ,

Следовательно, х — = – или х — = , ,

Уравнение имеет два корня: – и 1.

2.3. Решение квадратных уравнений по формуле

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение

Разделив его обе части на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

Выделим из трехчлена х 2 + х + квадрат двучлена. Для этого сумму

х 2 + х представим в виде х 2 +2х∙ ,прибавим к ней выражение

и вычтем его. Получим

Уравнение = равносильно уравнению ax 2 + bx + c = 0.

Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4a–положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком его числителя, т. е. выражения b 2 – 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Его обозначают буквой D, т.е.

D = b – 4ас. Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0

– выражение b 2 – 4ас= D – по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Различные возможные случаи в зависимости от значения D.

1.Если D>0, то уравнение имеет два корня:

Пример. Рассмотрим уравнение 2x 2 –3x + 1= 0.

D= b – 4ас =(–3) – 4ас= 9–8= 1; 2 корня.

2.Если D= 0, то уравнение имеет один корень:

Пример. Рассмотрим уравнение 9х 2 +6х+1= 0.

D= b – 4ас=6 – 4ас=36–36= 0; 1 корень.

3. Если D 0. тогда это уравнение имеет два корня:

Найдем сумму и произведение корней:

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 – 3х + 2 = 0.

D =1, уравнение имеет два корня. х₁ = 2 и х₂ = 1, p= –3; q= 2.

По теореме Виета x₁ + x ₂ =-p , значит 2 + 1= 3;

Следовательно, х ₁ = 2 и х₂ = 1 являются корнями уравнения х 2 – 3х + 2 = 0.

При D = 0 корни уравнения можно вычислить по формуле

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х₁ и х ₂ равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Теорема: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение

равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + px + q = 0.

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +3х – 40=0.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении

х 2 +3х – 40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен –40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения

Итак, квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала некоторые из них, которые сама очень активно применяю.

Глава 3. Рациональные способы решения квадратного уравнения.

3.1.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +4х – 5= 0.

Значит, корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b – 4ас= 4 – 4∙1∙(–5)= 36.

Отсюда следует, что если а+b+c= 0 , то х ₁ =1 , х ₂ =

Пример. Рассмотрим уравнение 2х 2 +8х +6 = 0.

2) Если b= а+c, то х₁ =-1, х ₂ = — . 8= 2+6

Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b – 4ас=8 – 4∙2∙6= 16.

Отсюда следует, что если b= а+c , то х₁ = -1 , х ₂ =

Пример 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

Пример 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

3). Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Пример. Решим уравнение 3х 2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

3.2. Способ «переброски».

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

2х 2 – 11х+5=0 х 2 – 11х+10= 0

х = 10; х =1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.

4х 2 -37 х +9 =0 Ответ: ¼, 9

3.3.Закономерность коэффициентов

1) Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а 2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

ах 2 + (а 2 +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х +6 = 0.

2) Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а 2 +1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

ax 2 – (а 2 +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

3) Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а 2 –1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

ax 2 + (а 2 –1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

4) Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а 2 –1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

ax 2 + (а 2 –1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 –99х – 10 = 0.

3.4.Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости —

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,

абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1) Решим графически уравнение х 2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х1 = — 1 и х 2 = 4. Ответ: х1 = — 1;

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 5х — 5. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

Итак, квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0. Квадратные уравнения бывают полными, неполными и приведенными. Способы решений полных уравнений различны: выделение квадрата двучлена, по формуле, по теореме Виета, способ переброски, способы, основанные на свойствах и закономерностях коэффициентов квадратного уравнения. В данной работе я изложила и показала на примерах все эти способы. Проанализировав дополнительный материал, я пришла к выводу, что с помощью рациональных способов решения квадратных уравнений , решать уравнения стало намного намного проще и быстрее.

Предложенные методы решения квадратных уравнений просты в применении, и они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Заключение.

Таким образом, я считаю, что тема данного исследования полностью раскрыта. При работе над темой я узнала много нового из истории квадратных уравнений, а также научилась их решать более удобным способом. Полученные знания пригодятся мне в будущем.

В процессе работы мною создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого мною проведена успешная апробация этих приемов. Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще полностью не изучена, она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных занятий по математике. Материалом могут воспользоваться те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

1.Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Издательство «Просвещение», Москва 2009 г.

2.Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: для сред.шк.-57-е изд. – М.: Просвещение, 1990.

3. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.