Реферат на тему уравнение равновесия

Видео:Статика. Условия равновесия плоской системы сил (23)Скачать

Реферат по дисциплине «Прикладная механика» на тему «Основные аксиомы статики. Условия равновесия тел под действием 3-х сил».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ Сухо-Сарматская СОШ

по дисциплине «Прикладная механика»

на тему « Основные аксиомы статики. Условия равновесия тел под действием 3-х сил ».

Выполнила учитель технологии:

Шаповалова Ирина Николаевна

Основные понятия статики

2. Аксиомы статики

3. Виды связей и их реакции

4. Система сходящихся сил

4.1. Геометрический способ сложения сходящихся сил

4.2. Разложение сил

4.3. Проекция силы на ось и на плоскость

4.4. Аналитический способ задания и сложения

4.5. Условия равновесия плоской системы сходящихся сил

4.6. Методические указания к решению задач по исследованию условий равновесия системы сходящихся сил

1. Основные понятия статики

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия тел, находящихся под действием сил.
Силой называется физическая величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел. Сила – величина векторная. Она характеризуется величиной (модулем), направлением и точкой приложения. Основной единицей измерения силы является Ньютон [Н].
В статике все тела считаются абсолютно твёрдыми , то есть под действием сил их форма и размеры остаются неизменными.
Совокупность сил, приложенных к телу, называется системой сил . Если все силы лежат в одной плоскости, то такая система сил называется плоской . Если силы не лежат в одной плоскости, то они образуют пространственную систему сил .
Тело, которое из данного положения может переместиться в любое положение в пространстве, называется свободным телом .
Две системы сил называют эквивалентными одна другой, если каждая из них, действуя по отдельности, может сообщить покоящемуся телу одно и то же движение .
Система сил, под действием которой покоящееся тело не изменяет своего состояния покоя, называется уравновешенной или эквивалентной нулю – .
Сила, которая одна заменяет действие системы сил на твёрдое тело, называется равнодействующей – .
Силы могут быть сосредоточенные (рис. 1.1, а) и распределенные (рис. 1.1, б). Сила, приложенная к какой-нибудь одной точке тела, называется сосредоточенной .
Система распределенных сил характеризуется интенсивностью q , т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в Ньютонах, деленных на метры (Н/м).

Распределенную нагрузку в виде прямоугольника (равномерно распределенная нагрузка) или треугольника заменяют одной силой (равнодействующей), которую прикладывают в центре тяжести площади распределения (рис. 1.1, б). Величина равнодействующей численно равна площади фигуры, образованной распределенной нагрузкой: .

2. Аксиомы статики

В основе статики лежат некоторые основные положения ( аксиомы ), которые являются обобщением многовекового производственного опыта человечества и теоретических исследований.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твёрдое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис.1.2).

Рис.1.2

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твёрдое тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Если , то .
Следствие : действие силы на абсолютно твёрдое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль её линии действия в любую другую точку тела.
Пусть на тело действует приложенная в точке А сила . Выберем на линии действия этой силы произвольную точку В , и приложим к ней уравновешенные силы и , причём , . Так как силы и образуют уравновешенную систему сил, то согласно второй аксиоме статики их можно отбросить. В результате на тело будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В (рис.1.3).

Рис.1.3

Аксиома 3. Две силы, приложенные к твёрдому телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.
Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , называется геометрической суммой векторов и (рис.1.4).

Аксиома 4. Закон равенства действия и противодействия.
При всяком действии одного тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие (рис.1.5).

Рис.1.5

Аксиома 5. Принцип отвердевания.
Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действи-ем данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим, т.е. абсолютно твёрдым.

3. Виды связей и их реакции

Связями называются любые ограничения, препятствующие перемещению тела в пространстве.
Тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить переме-щение, которому препятствует связь, будет действовать на нее с некоторой силой, называемой силой давления на связь . По закону о равенстве действия и противодействия, связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно направленной силой.
Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным перемещениям, называется силой реакции (реакцией) связи .
Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости от связей : всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями связей. Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Основные виды связей и их реакции приведены в таблице 1.1.

Виды связей и их реакции

Гладкая поверхность (опора) – поверхность (опора), трением о которую данного тела можно пренебречь.
При свободном опирании реакция направляется перпендикулярно касательной, проведенной через точку А контакта тела 1 с опорной поверхностью 2 .

Нить (гибкая, нерастяжимая). Связь, осуществлённая в виде нерастяжимой нити, не позволяет телу удаляться от точки подвеса. Поэтому реакция нити направлена вдоль нити к точке её подвеса.

Невесомый стержень – стержень, весом которого по сравнению с воспринимаемой нагрузкой можно пренебречь.
Реакция невесомого шарнирно прикрепленного прямолинейного стержня направлена вдоль оси стержня.

Подвижный шарнир, шарнирно-подвижная опора. Реакция направлена по нормали к опорной поверхности.

Цилиндрический шарнир (подшипник, шарнирно-неподвижная опора). При осуществлении связи в виде цилиндрического шарнира одно тело может поворачиваться относительно другого вокруг общей оси, называемой осью шарнира .
Реакция цилиндрического шарнира заранее не известна ни по величине, ни по на-правлению; может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси шарнира.
Модуль и направление полной реакции определяют две составляющие реакции в этой плоскости.

Сферический (шаровый) шарнир, подпятник. Тела, соединённые с помощью сферического шарнира, могут как угодно поворачиваться относительно центра шарнира. Реакция сферического шарнира может иметь любое направление в пространстве.
Реакция сферического шарнира и подпятника (подшипника с упором) может иметь любое направление в пространстве. Три составляющие , , реакции определяют модуль и направление полной реакции.

Жесткая заделка. В плоскости жесткой заделки будут две составляющие реакции , и момент пары сил , который препятствует повороту балки 1 относительно точки А .
Жесткая заделка в пространстве отнимает у тела 1 все шесть степеней свободы – три переме-щения вдоль осей координат и три поворота отно-сительно этих осей.
В пространственной жесткой заделке будут три составляющие , , и три момента пар сил .

Ползун 1 на стержне 2 . Рекция направлена перпендикулярно стержню 2 , момент пары сил препятствует повороту ползуна 1 относительно точки А .

Ползун 1 в направляющих. Рекция направлена перпендикулярно направляющим, момент пары сил препятствует повороту ползуна 1 относительно точки А .

4. Система сходящихся сил

4.1. Геометрический способ сложения сходящихся сил

Системой сходящихся сил называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Две силы, сходящиеся в одной точке, согласно третьей аксиоме статики можно заменить одной силой – равнодействующей .
Решение многих задач статики связано с операцией сложения векторов, в частности, сил.
Главный вектор системы сил – величина, равная геометрической сумме сил системы. Главный вектор системы сил не следует путать с равнодействующей. Равнодействующая – всегда главный вектор, а главный вектор равен равнодействующей, если система сил является сходящейся.
Равнодействующую плоской системы сходящихся сил можно определить графически и графоаналитически .
Сложение двух сил . При графическом определении равнодействующей на чертеже и выбранном масштабе изображаются силы, затем они складываются по правилу параллелограмма. По длине диагонали параллелограмма, учитывая выбранный масштаб, определяется равнодействующая, равная сумме слагаемых сил. Точность определения равнодействующей зависит в этом случае от точности построения силового треугольника.
Графоаналитический способ сложения сил позволяет более точно определить равнодействующую, используя тригонометрические зависимости:
— теорему косинусов:

или (рис.1.6);
— теорему синусов:

Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости : геометрическую сумму трех сил , , не лежащих в одной плоскости, изображают диагональю параллелепипеда (рис. 1.7), построенного на этих силах ( правило параллелепипеда ).

Рис. 1.7

Сложение системы сил . Сложение плоской системы сходящихся сил осуществляется либо путём последовательного сложения сил с построением промежуточной равнодействующей (рис. 1.8), либо путём построения силового многоугольника (рис. 1.9).

Рис. 1.9

4.2. Разложение сил

Разложить данную силу на составляющие – означает найти такую систему сил, для которой данная сила является равнодействующей. Подобная задача имеет однозначное решение, если необходимо разложить силу по двум направлениям, лежащим в одной плоскости. На рис. 1.10 показано разложение силы F по двум направлениям ab и cd .

4.3. Проекция силы на ось и на плоскость

Проекция силы на ось – алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.
Проекция F x (рис 1.11) силы на ось х положительна, если угол α острый, отрицательна — если угол α тупой. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равна нулю.

Рис. 1.11

Проекция силы на плоскость Оху – вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость. Т.е. проекция силы на плоскость величина векторная, характеризуется не только числовым значением, но и направлением в плоскости Оху (рис.1.12).

Рис. 1.12

Тогда модуль проекции на плоскость Оху будет равен:

где α — угол между направлением силы и ее проекцией .
Если сила и ось координат не лежат в одной плоскости, то проекция силы на ось проводится методом двойного проецирования.
Например, чтобы определить проекцию силы на ось х , надо спроецировать ее на плоскость Оху , а затем разложить проекцию силы на составляющие по осям координат F x и F y (рис. 1.12).
F x = F xy cosφ = F cosα cosφ;
F y = F xy sinφ = F cosα sinφ;
F z = F sinα.

4.4. Аналитический способ задания и сложения сил

Аналитический способ задания сил . Для аналитического способа задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Охуz , по отношению к которой будет определяться направление силы в пространстве.
Вектор, изображающий силу , можно построить, если известны модуль этой силы и углы α, β, γ, которые сила образует с координатными осями. Точка А приложения силы задается отдельно своими координатами х , у , z . Можно задавать силу ее проекциями F x , F y , F z на координатные оси. Модуль силы в этом случае определится по формуле: , а направляющие косинусы: , , .
Аналитический способ сложения сил : проекция вектора суммы на какую–нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось, т.е., если: , то , , .
Зная R x , R y , R z , можем определить модуль и направляющие косинусы: , , .

4.5. Условия равновесия плоской системы сходящихся сил

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю.
1) Геометрическое условие равновесия сходящейся системы сил : для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут (конец вектора последней слагаемой силы должен совместиться с началом вектора первой слагаемой силы). Тогда главный вектор системы сил будет равен нулю ( ).
2) Аналитические условия равновесия . Модуль главного вектора системы сил определяется по формуле . Поскольку , то подкоренное выражение может быть равно нулю только в том случае, если каждое слагаемое одновременно обращается в нуль, т.е.

Следовательно, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трёх координат осей были равны нулю:

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из двух координатных осей были равны нулю:

Теорема о трех силах: если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости (рис. 1.13), то линии их действия пересекаются в одной точке (необходимое условие равновесия твердого тела).

Это условие равновесия не является достаточным, т.к. равнодействующая этих сил может оказаться не равной нулю.
Достаточным условием является наличие замкнутого силового треугольника при одновременном пересечения линий действия трех сил в одной точке.
Рассмотрим тело, на которое действуют три непараллельные силы , и (рис. 1.14).

Так как эти силы непараллельны, то две любые силы, например, и должны пересечься в некоторой точке А . Перенесём силы и вдоль линии их действия и приложим их к точке А . Заменим сходящиеся силы и их равнодействующей .
Следовательно, теперь на тело действуют только две силы и . Поскольку тело находится в равновесии под действием двух сил, то согласно первой аксиоме статики, эти силы должны действовать вдоль одной прямой АВ . Таким образом, линия действия силы должна проходить через точку А .

Чтобы не вращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю .

Равновесие твердого тела под действием трех сил. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке C

На рис. 1.14.1 дан пример равновесия твердого тела под действием трех сил. Точка пересечения O линий действия сил и не совпадает с точкой приложения силы тяжести (центр масс C ), но при равновесии эти точки обязательно находятся на одной вертикали. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке.

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил .

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы .

Произведение модуля силы на плечо d называется моментом силы M . Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис. 1.14.2).

Правило моментов : тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю :

В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в ньютон-метрах (Н∙м) .

В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов сил.

Оба эти условия не являются достаточными для покоя .

Качение колеса по горизонтальной поверхности. Равнодействующая сила и момент сил равны нулю

Катящееся по горизонтальной поверхности колесо – пример безразличного равновесия (рис. 1.14.3). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.

Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.

При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия.

Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 1.14.4).

Различные виды равновесия шара на опоре. (1) – безразличное равновесие, (2) – неустойчивое равновесие, (3) – устойчивое равновесие

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис. 1.14.5).

Устойчивое (1) и неустойчивое (2) равновесие однородного круглого диска, закрепленного на оси O ; точка C – центр массы диска; – сила тяжести; – упругая сила оси; d – плечо

Особым случаем является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры , т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза (рис. 1.14.6), которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 ми радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.

Падающая Пизанская башня. Точка C – центр масс, точка O – центр основания башни, CC’ – вертикаль, проходящая через центр масс

4.6. Методические указания к решению задач по исследованию условий равновесия системы сходящихся сил

Задачи данного типа могут решаться либо геометрическим (графическим) способом, либо аналитическим. При решении задач геометрическим (графическим) способом необходимо придерживаться следующего порядка:
1. Выделить тело (или точку), равновесие которого следует рассмотреть.
2. Изобразить все активные (заданные) силы, действующие на выделенное тело.
3. Освободить это тело от наложенных на него связей, заменив их действие реакциями связей.
4. Построить замкнутый силовой многоугольник (или треугольник – если действуют три силы). При этом следует сначала сложить все заданные, а затем достроить неизвестные силы.
5. Решить силовой многоугольник (по известным элементам определить неизвестные) или, если силовой многоугольник построен в масштабе, определить искомые силы по масштабу.
При решении задач аналитическим способом рекомендуется придерживаться следующего порядка:
1. Выделить точку, равновесие которой надо рассмотреть.
2. Изобразить активные (заданные) силы.
3. Освободить точку от связей, приложив соответствующие реакции. При этом необходимо убедиться, что данная задача является статически определимой – число неизвестных величин должно быть не более двух или трех (в случаях плоской и пространственной систем сходящихся сил соответственно).
4. Направить оси координат.
5. Составить уравнения равновесия системы сходящихся сил, из которых можно найти неизвестные величины.

Пример . Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров (рис. 1.15). На шарнирный болт С действует вертикальная сила Р =1000 Н.
Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С , если углы, составляемые стержнями со стеной, равны: α=30° и β=60°.

Рис. 1.15

Задачу можно решить либо аналитически, либо графически.

I. Геометрический способ. Очевидно, что объектом исследования в данной задаче является болт C , т.к. именно к нему приложены заданная сила и стержни AC и BC , реакции которых нужно определить. Отбросим связи, заменив их действие реакциями.
Построим замкнутый треугольник abc (рис. 1.16) для сил , и (т.к. болт C находится в равновесии), начав построение с известной силы , которую изобразим вектором , тогда вектор определит силу , а вектор — силу . При этом следует учесть, что известны только направления реакций связей.

Измерив отрезки и выбранной единицей масштаба, найдем величины неизвестных сил и и задача будет графически решена.
Величины неизвестных сил и можно найти тригонометрически, решив силовой треугольник abc , т.е. в этом треугольнике известны сторона ab и два угла α и β.
Итак, построим в масштабе вектор (который, как и , направлен вертикально вниз) из точки a под углом α проведем одну линию, из точки b проведем вторую линию под углом β до пересечения их в точке с , треугольники Δ АВС и Δ abc подобны.
α+β=90° — по условию задачи, следовательно, Δ abc – прямоугольный. Из этого треугольника находим:

II. Аналитический способ. Выполним пункты 1-3 аналогично, как и при решении задачи графическим способом. Поэтому продолжим решение данной задачи с пункта 4 – выберем систему координат. Так как угол между неизвестными силами и равен 90°, то удобнее всего направить по линиям действия этих сил оси координат.
Направим Ох по линии действия , а ось Оу – по линии действия (рис. 1.17).

Рис. 1.17

Для данной плоской системы сходящихся сил составим 2 уравнения равновесия:

При аналитическом способе заранее неизвестно, в какую сторону направить реакции стрежней вдоль прямых АС и ВС . Если в результате решения получим положительные значения, то реакции были направлены верно, если получим отрицательные, то выбранное направление реакции изменим на противоположное.

Геворкян Р.Г., Шепель В.В. Курс общей физики (для ВТУЗов). — Изд. 3-е, перераб. М., Высшая школа, 1972 г., 518 с.

Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики (для ВТУЗов), 6-е изд. Т. 1. Механика. 339 с.

Руководство к лабораторным занятиям по физике (для физ. спец. ВУЗов) — М., Наука, 1973 г., 687 с.

Рымкевич П.А. Курс физики (для физико-математических фак-тов пединтитутов) — М., Высшая школа, 1975 г. — 483 с.

Физический практикум. Механика и молекулярная физика (для университетов). М., Наука, 1967 г., 352 с.

Видео:Статика. Момент сил. Условия равновесия тел | Физика ЕГЭ, ЦТ, ЦЭ | Физика для школьниковСкачать

Уравнения равновесия

Министерство образования РБ

университет имени Ф. Скорины »

Кафедра дифференциальных уравнений

Студентка группы М-41 ____________ Поляк Е. М.

Кандидат физико-математических наук

____________ Вересович П.П.

Постановка задачи 4

Уравнения равновесия 5

Решение уравнений равновесия 12

Список использованной литературы 17

Видео:Уравнения состояния. Фазовое равновесиеСкачать

Введение

Актуальным направлением научно-технического прогресса является развитие и широкое использование возможностей современных высокопроизводительных компьютеров, сетей мультипрограммных ЭВМ и на этой основе — применение математических методов моделирования в научных исследованиях. Развитие вычислительной техники в Республике Беларусь приводит к необходимости создания систем и сетей ЭВМ, эффективно обслуживающих запросы различных пользователей. Благодоря задачам, связанным с математическим моделированием мультипрограммных вычислительных систем и анализом их производительности, с проектированием и анализом сетей передачи данных и сетей ЭВМ теория сетей массового обслуживания (СМО) является сравнительно новым и быстро развивающимся разделом теории массового обслуживания.

Исходным материалом для аналитического исследования СМО является стационарное (инвариантное) распределение вероятностей состояний. Ввиду сложности и многомерности случайных процессов, описывающих функционирование таких сетей, большинство аналитических результатов связано с получением стационарного распределения в форме произведения множителей, характеризующих стационарное распределение отдельных узлов сети.

Актуальным вопросом, связанным с исследованием СМО является доказательство инвариатности стационарного распределения таких сетей относительно функционального вида распределений длительности обслуживания в узлах, позволяющее при проектировании и эксплуатации реальных сетей, считать, что обслуживание в узлах имеет наиболее простое для анализа распределение — экспоненциальное.

Видео:Физика 10 класс (Урок№14 - Статика. Равновесие абсолютно твердых тел.)Скачать

Постановка задачи

Сеть состоит из двух приборов, на каждый из которых поступает простейший поток с параметрами и соответственно. В случае, если прибор занят, заявка, поступающая на него выбивает заявку находящуюся на приборе, и та становится в очередь на дообслуживание. После обслуживания на I приборе заявка с вероятностью уходит из сети, а с вероятностью поступает на II прибор. Аналогично, после обслуживания на II приборе заявка с вероятностью уходит из сети, а с вероятностью поступает на I прибор.

Пусть — число заявок в очереди на I приборе, — число заявок в очереди на II приборе, — функция распределения времени обслуживания -ой заявки на I приборе, — функция распределения времени обслуживания -ой заявки на II приборе. Предполагается, что

Требуется доказать, что стационарное распределение не зависит от вида функций распределения времени обслуживания . При этом можно считать, что

т.е. когда — экспоненциальны.

Видео:Решение задач на тему: "Нахождение константы равновесия и равновесных концентраций". 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнения равновесия

Введем случайный процесс

где — число заявок в очереди на I приборе в момент времени , — число заявок в очереди на II приборе в момент времени , -время, которое еще будет дообслуживаться заявка с момента , стоящая i-ой в очереди I прибора, -время, которое еще будет дообслуживаться заявка с момента , стоящая j-ой в очереди II прибора.

Пусть существует стационарное эргодическое распределение процесса и процесса , т.к. процесс — это процесс , дополненный непрерывными компонентами до того, чтобы быть марковским.

Изучим поведение процесса в устойчивом режиме. Пусть

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что

а) Предположим, что за время от до не было поступления требований. Тому, чтобы не изменило за время своего значения и при этом выполнилось событие А, отвечает выражение:

б) Тому, что за время от до на 1-ом приборе обслужена заявка и ушла из сети, отвечает слагаемое:

Тому, что за время от до на 2-ом приборе обслужена заявка и ушла из сети, отвечает слагаемое:

в) Тому, что за время от до на 1-ый прибор поступила заявка. Количество времени на дообслуживание этой заявки должно быть не больше, чем , где — определяется моментом поступления заявки внутри интервала . Этому случаю отвечает слагаемое:

Тому, что за время от до на 2-ой прибор поступила заявка. Количество времени на дообслуживание этой заявки должно быть не больше, чем , где — определяется моментом поступления заявки внутри интервала . Этому случаю отвечает слагаемое:

г) Если в интервале заявка окончила свое обслуживание на I приборе и перешла на II, то время на ее дообслуживание II прибором должно быть не больше, чем , где — определяется моментом поступления заявки внутри интервала .

Если в интервале заявка окончила свое обслуживание на II приборе и перешла на I, то время на ее дообслуживание I прибором должно быть не больше, чем , где — определяется моментом поступления заявки внутри интервала .

Наконец, остальные случаи, благодаря событию А сводятся к тому, что за время либо поступало, либо обслужено более одной заявки, или заявки поступали и обслуживались. Для простейшего входящего потока вероятность поступления двух и более заявок за время есть . Если же мы будем рассматривать слагаемые, соответствующие возможности окончания обслуживания в сочетании с поступлением заявок, то, очевидно, что эти слагаемые есть . Таким образом, приходим к следующим соотношениям:

последнее соотношение перепишется в виде

Рассматривая все слагаемые в последнем соотношении как сложные функции от , разлагаем их в ряд Тейлора в окрестности 0 с остаточным членом в форме Пеано:

После чего приводим подобные слагаемые и устремляем к . Тогда вводя обозначение

получаем, что свободные члены сократились, а слагаемые, содержащие своим сомножителем образуют уравнениям равновесия.

Таким образом, приходим к уравнениям равновесия:

Видео:Эксперимент 🔬/ А ты так можешь?/ Физика 7 классСкачать

Решение уравнений равновесия

Покажем, что удовлетворяет нашим уравнениям равновесия, где — решение для случая, когда и — экспоненциальны, т.е.

Для этого распишем все частные производные функции .

С учетом вида функции уравнения равновесия перепишутся в виде

Подставив в это уравнение и, учитывая, что

приходим к выводу, что функция

есть неотрицательное, абсолютно-непрерывное решение исходных уравнений равновесия.

Отсюда следует, что стационарное распределение не зависит от вида функций распределения времени обслуживания и , поскольку , при этом можно считать, что

т.е. когда и — экспоненциальны.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Заключение

Таким образом, для рассматриваемой сети массового обслуживания установлена инвариантность стационарного распределения относительно функционального вида распределений длительности обслуживания в узлах, т.е. установили, что стационарное распределение не зависит от вида функций распределения времени обслуживания и , если известно, что для них выполняется следующие ограничения:

При этом, можно считать, что функции распределения времени обслуживания и имеют экспоненциальный вид.

Видео:§ 5.3. Уравнения равновесия плоской системы силСкачать

Список использованной литературы

1. Буриков А.Д., Малинковский Ю.В., Маталыцкий М.А.//Теория массового обслуживания: Учебное пособие по спецкурсу.-Гродно: 1984г.-108с.

2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. // Введение в теорию массового обслуживания.-Москва: Наука. 1966г.-432с.

Видео:§ 5.5. Уравнения равновесия системы сходящихся силСкачать

Читать реферат по физике: «Составление уравнений равновесия и расчет действующих сил» Страница 1

Задача С 1 Жестяная рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. На раму действуют пара сил с моментом М = 100H*м и две силы F1 = 10H под углом 30 к горизонтальной оси, приложенная к точке K, и F4=40H под углом 60 к горизонтальной оси, приложенная к точке H.

Определить реакции связей в точках A и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0,5 м2 ll

F 1 = 10 НF4’’F4 F1’’ F1 l

Рис. С 1.0. Решение:

Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси XY (начало координат в точке А). На раму действуют следующие силы: 1 и 4, пара сил моментом М и реакция связи A, A, B (реакция неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

Составляем три уравнения равновесия:

∑ FKX=0; XA+F4*coς 60 + F1*coς 30 =0 ∑ FKY=0; YA-F4*ςin 60 + F1* ςin 30 +RB=0 ∑ MA (FK)=0; -F4*ςin 60 *2l+ F1* ςin 30 *3l+F1* coς 30 *l-M+RB*5l=0

Из уравнений (1) находим XA: XA= -F4* coς 60 -F1* coς 30 = -40*0,5-10*0,866= -28,66H Из уравнения (3) находим RB: RB==

=49,12H Из уравнения (2) находим YA:

все силы реакции найдены правильно:

Задача С 2 Однородная прямоугольная плита весом P=5kH со стороны АВ=3l, ВС=2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС! На плиту действуют пара сил с моментом М=6лН*м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения Н, £1=90с, Д, £2=30с; при этом силыилежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила — в плоскости, параллельной xz, сила — в плоскости параллельной yz. Точки приложения Д и Н находятся в серединах сторон плиты. Определить реакции связей в(.) А и В, С. При окончательных расчетах принять l=0,5м.С1

Рис С 2.0. Решение:

Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы:пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на 3 составляющие:цилиндрического шарнира (подшипника) — на две составляющие:(в плоскости перпендикулярной оси подшипника), реакциюстержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут (рис. С 2.0.) Для определениясоставляем равновесия, действующей на плиту пространственной системы сил:

(6) Из уравнения (4) находим N: Из уравнения (5) находим ZB: Из уравнения (1) находим XA: Из уравнения (6) находим YB^

Из уравнения (2) находим YA: Из уравнения (3) находим ZA: Ответ: XA= -1,67kH

N= -5,39kH Знаки указывают, что силынаправлены противоположно показанным на рис. С 2.0. Задача К1 Дано:

Три движения точки на плоскости Найти:

— уравнение траектории точки

для момента времениy Bx

Рис. К 1.0. Решение:

Для определения уравнения траектории исключим из заданных уравнений движения время t:

(1) Преобразуя систему (1), получим:(2) Поскольку время е входит в аргументы тригометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу:то есть:

(3) Преобразуя систему (3), получим:(4) Преобразуем:

🔍 Видео

Определение реакций опор простой рамыСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

4.4 Аналитические уравнения равновесияСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

§ 5.1. Уравнения равновесия произвольной системы силСкачать

Решение задач на тему: "Нахождение константы равновесия и равновесных концентраций". 2ч. 10 класс.Скачать

Решение задач на тему: "Нахождение константы равновесия и равновесных концентраций". 3ч. 10 классСкачать

Урок 70. Виды равновесия. Условие равновесия тела при отсутствии вращения.Скачать

§ 5.2. Уравнения равновесия системы параллельных силСкачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Задача химическое равновесие. РАВНОВЕСНЫЕ КОНЦЕНТРАЦИИ и Кр.Скачать