Разностные уравнения и их решение

Видео:Разностные уравнения | Решение задачСкачать

Разностные уравнения для чайников

На этой странице мы рассмотрим примеры решения типовых задач, встречающихся в курсе дифференциальных и разностных уравнений, а именно нахождение общего или частного решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Чаще всего в контрольных встречаются уравнения второго или третьего порядка:

$$ a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)=f(x), \ a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)+ a_3 y(x+3)=f(x). $$

Здесь $a_i$ — постоянные коэффициенты, $f(x)$ — правая часть (неоднородность уравнения), $y(x)$ — искомая неизвестная функция.

Решение разностных уравнений практически полностью аналогично решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. тут примеры): ищется решение однородного уравнения через составление характеристического уравнения, и частное решение неоднородного уравнения по виду правой части.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Примеры решений разностных уравнений

Задача 1. Решить разностное уравнение: $y(x+2)-4y(x+1)+4y(x)=2^x$

Задача 2. Найти общее решение линейного разностного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задача 3. Решить разностное уравнение третьего порядка

$$ y(x+3)-16y(x+2)+83y(x+1)-140y(x)=0, quad y(0)=3, y(1)=18, y(2)=120. $$

Задача 4. Найти частное решение однородного разностного уравнения:

Видео:6.3 Решение разностных уравненийСкачать

Помощь с разностными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным и разностным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Разностные уравнения

Содержание:

Видео:Вычислительная математика 16 Разностные уравненияСкачать

Разностные уравнения

Понятие разницы и разностного уравнения

Если для значений переменной x₁, x₂, x₃, . функция f (x) принимает значения f (x₁), f (x₂), f (x₃) . , то приращения функции составляют f (x₂) – f (x₁), f (x₃) – f (x₂), .

Приращение функции при переходе от значения x_i к значению x_i+1 будем обозначать: В частности можно взять в качестве значения независимых переменных x и x + 1 . Разность Δf (x) = f (x + 1) — f (x) называется первой разностью или разностью первого порядка. Она может рассматриваться в свою очередь как функция от x, а потому и для нее можно определить разницу:

Введем обозначения ΔΔf (x) = Δ 2 f (x), тогда Δ 2 f (x) = f (x + 2) — 2 f (x + 1) + f (x) и называется разностью второго порядка.

Аналогично можно найти разности третьего, четвертого и т. д. порядков.

Определим разности некоторых важнейших функций.

1) Если f (x) = С, где С — постоянная величина, то
Δf (x) = f (x + 1) – f (x) = С – С = 0.

Понятно, что и все разности следующих порядков будут также равняться нулю.

2) Если f (x) = ax + b, то
Δf = Δf (x + 1) — f (x) = a (x + 1) + b — ax — b = a.

Разница первого порядка линейной функции равна постоянной, а все остальные будут равны нулю.

3) Если f (x) = ax 2 + bx + c, то

Поскольку разница первого порядка является линейной функцией, то разница второго порядка — постоянная, а все последующие разности равны нулю.

4) Если f (x) = a x , то

В экономических исследованиях часто встречаются задачи, в которых время t является независимой переменной, а зависимая переменная определяется для времени t, t + 1, t + 2 и т. д.

Обозначим y_t — значение функции y в момент времени t; y_t+1 — значение функции в момент, сдвинутый на одну единицу, например, на следующий час, на следующую неделю и т. д., y_t+2 — значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы и т. д.

Очевидно, что

Откуда:

За разность второго порядка, имеем или
поэтому

Аналогично можно доказать, что

Итак, любую функцию

можно представить в виде: (7.50)
и наоборот.

Определение. Уравнение
(7.51)
называется разностным уравнением n-го порядка.

Решить разностное уравнение n-го порядка — это значит найти такую ​​функцию y_t, которая превращает уравнение (7.50) или (7.51) в тождество.

Решение, в котором есть произвольная постоянная, называется общим; решение, в котором постоянная отсутствует, называется частным.

Определение. Уравнение
(7.52)
где a₀, a₁, . a_n — постоянные числа, называется неоднородным разностным
уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если в уравнении (7.52) f (t) = 0, то уравнение называется однородным разностным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(7.53)

Уравнение есть однородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами a и b, а уравнение — неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами a, b, c.

ТЕОРЕМА 1. Если решениями однородного разностного уравнения (7.53) является y₁ (t) и y₂ (t), то его решением будет также функция y₁ (t) + y₂ (t).

ТЕОРЕМА 2. Если y (t) является решением однородного разностного уравнения (7.53), то его решением будет также функция Ay (t), где А — произвольная постоянная.

ТЕОРЕМА 3. Если y (t) — частное решение неоднородного уравнения (7.52) и y (t, A₁, A₂, . A_n) — общее решение однородного уравнения (7.53), то общим решением неоднородного разностного уравнения будет функция: y (t) + y (t, A₁, A₂, . A_n).

Эти теоремы схожи с теоремами для дифференциальных уравнений, которые были приведены нами в предыдущем разделе.

Разностные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим неоднородное разностное уравнение
(7.54)

Соответствующее ему однородное уравнение будет:
(7.55)

Возьмем функцию и убедимся, что она будет решением уравнения (7.55). Поскольку , тогда . Подставим y_t и y_t-1 в уравнение (7.55):
Итак, является решением уравнения (7.55).

По теореме (2) общее решение однородного разностного уравнения (7.55) является функция , где А — произвольная постоянная.

Пусть — частное решение неоднородного разностного уравнения (7.54). По теореме (3) общим решением неоднородного разностного уравнения (7.54) будет функция

Частное решение найти нетрудно, если f (t) = α, где α — некоторая постоянная. На самом деле, если где u — постоянная. Подставим в уравнение (7.54), имеем: u — au = α, откуда
Итак, общее решение уравнения (7.54) запишем в виде: .

Разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть задано неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(7.56)
и соответствующее ему однородное уравнение
(7.57)

Убедимся, что функция будет решением уравнения (7.58). Подставим в уравнение (7.57) (λ ≠ 0), получим Поскольку λ ≠ 0, то поделим на λ t-2 , имеем λ 2 + aλ + b = 0 (7.58)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (7.57).

Здесь могут иметь место следующие три случая:

1. D = a 2 – 4b > 0, тогда уравнение (7.58) будет иметь два действительных различных корня.
Общее решение уравнения (7.57) запишется в виде:

а общее решение неоднородного уравнения (7.56) запишется так:

2. D = a 2 – 4b = 0, тогда и и

В этом случае однородное уравнение (7.57) примет вид:
(7.59)
Тогда

Легко убедиться, что решением уравнения (7.59) является также функция
Поэтому общим решением уравнения (7.59) является функция а общим решением неоднородного уравнения (7.56) функция

3. D = a 2 – 4b 2 – 5λ + 6 = 0 будет иметь действительные разные корни (D = 25 – 24 = 1 > 0), λ1 =2, λ2 = 3.
Общим решением однородного уравнения является функция

Далее положим, что y_t = y — частное решение неоднородного уравнения, тогда

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является функция Постоянные A₁ и A₂ определим из начальных условий: y₀ = 5, y₁ = 9. Тогда для t = 0 и t = 1 соответственно будем иметь:

Решим эту систему уравнений относительно A₁ и A₂:

Откуда

Итак, — общее решение заданного в условии разностного уравнения.

Примеры применения разностных уравнений в экономических задачах

Пример 1. Пусть некоторая сумма средств выдается под сложный процент p, то к концу t-го года ее размер будет составлять:
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решением будет функция , где A — некоторая постоянная, которую можно найти из начальных условий.

Если положить y₀ = F , то A = F, откуда

Это известная формула величины фонда F, который выдается под сложный процент.

Пример 2. Пусть величина предложения сельскохозяйственной продукции в t-м году есть функция цены прошлого года а спрос на эту продукцию есть функция цены в этом году. Следовательно, спрос: а предложение

Цена равновесия для данной продукции определяется равенством:
а это разностное уравнение первого порядка.

Положим, что функция спроса определяется формулой а функция предложения — формулой

Цена равновесия запишется: то есть Решением этого уравнения является функция Постоянная A определяется из начальных условий, для t = 0 цена составляет p₀.

Тогда p₀ = A и решением уравнения является функция
Если начальная цена p₀ = 0, то p_t = 0 для всех значений t.

Следовательно, цена не подлежит изменению.

Вообще говоря, функция предложения — возрастающая, а потому b > 0; а функция спроса — убывающая, и поэтому a

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Разностные уравнения, пример - 2Скачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Разностное уравнение и рекуррентная последовательность

Будем обозначать через $ mathbb A_ $ какое-либо из множеств $ mathbb Z,mathbb Q, mathbb R_ $ или $ mathbb C_ $.

Видео:Разностные уравнения 2 порядка: кратные корни х.у.Скачать

Линейное уравнение

Пусть заданы числа $ n in mathbb N $ и $ subset mathbb A $. Уравнение $$ x_=a_1 x_+ dots+ a_n x_K npu K in u a_n ne 0 $$ называется линейным однородным разностным (или возвратным) уравнением $ n_ $-го порядка (над множеством $ mathbb A_ $). Пусть числа $ x_0,dots,x_ $ заданы. Тогда уравнение определяет линейную рекуррентную 1) (или возвратную) последовательность $ mathbf n $-го порядка: начиная с $ K=0 $, каждый элемент $ x_ $ этой последовательности определяется через $ n_ $ предшествующих.

Пример. Уравнение первого порядка $ x_=qx_ $ определяет — при задании $ x_ $ — геометрическую прогрессию.

Пример. Уравнение второго порядка

$$ x_=x_+x_K $$ определяет при $ x_0=1, x_1=1 $ последовательность чисел Фибоначчи — они обозначаются буквой $ F_ $ $$ _^infty= .$$

Пример. Разложение рациональной функции $ g_(x)/f(x) $ при $ f(x)=a_0x^n+dots+a_n $ и $ g_(x) $ — полиномах, $ deg g не зависит от коэффициентов $ g_(x) $). Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Примером линейной рекуррентной последовательности $ n_ $-го порядка может служить последовательность сумм Ньютона полинома $ n_ $-й степени. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Задача. Решить разностное уравнение, т.е. найти выражение для $ x_ $ в виде явной функции от номера $ K_ $ и «начальных данных» $ x_0,dots,x_ $. Будем говорить об общем решении, если $ x_0,dots,x_ $ считаются произвольными.

Пример. Общее решение разностного уравнения $ x_=qx_ $ задается формулой $ x_K = q^K x_0 $.

Поставленную задачу можно обобщить, рассматривая более широкие классы разностных уравнений, как, например линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами

$$ x_=a_1(K) x_+ dots+ a_n(K) x_K + b_(K) , n in mathbb N, K in , $$ где $ a_1(K),dots,a_n(K),b_n(K) $ — некоторые функции от номера $ K_ $. Примером таких рекуррентных последовательностей являются континуанты. Можно пойти еще дальше и рассматривать разностные уравнения, решениями которых являются не числа, а полиномы: $$kP_(x)-(2k-1),xP_(x)+(k-1),P_(x) equiv 0, quad kge 2 ; P_0(x)equiv 1, P_1(x) equiv x .$$ Полиномы $ < P_(x) > $, удовлетворяющие этому уравнению, известны как полиномы Лежандра.

Наконец, в некоторых разделах математики встречаются и нелинейные разностные уравнения, см. ☞ ЧИСЛА КАТАЛАНА.

Настоящий раздел посвящен, в основном, линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Известны первые члены линейной рекуррентной последовательности:

$$ 0,1,2,2,0,-9,-38,-123,-360,-1004,-2728,-7303,ldots $$ Чему равен следующий?

Общий принцип решения подобных задач (т.е. как установить по последовательности вид линейного уравнения, которое ее, возможно, задает) ☞ ЗДЕСЬ.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Идея решения

Решим сначала уравнение второго порядка $$ x_=p x_+q x_ npu qne 0 . $$ Сделаем из него — формальной заменой $ x_ rightarrow x^2, x_ rightarrow x, x_ rightarrow 1 $ — алгебраическое: $$x^2=pcdot x+qcdot 1 . $$ Анализируем корни:

1. Если дискриминант квадратного уравнения $ mathcal D=p^2+4q $ отличен от нуля, то его корни $ lambda_1,lambda_2 $ различны. Ищем решение разностного уравнения в виде $$ x_K=C_1lambda_1^K+C_2lambda_2^K , $$ где $ C_1,C_2 $ — некоторые, пока неопределенные, постоянные.

2. Если дискриминант $ mathcal D $ равен нулю (и при этом $ qne 0 $), то квадратное уравнение имеет единственный корень, который мы обозначим $ lambda_1 $. В этом случае решение разностного уравнения ищется в виде $$ x_K=(C_1 + C_2 K)lambda_1^K , $$ где $ C_1,C_2 $ — некоторые, пока неопределенные, постоянные.

В обоих случаях неопределенные коэффициенты $ C_1 $ и $ C_2 $ ищутся из «начальных условий»: получившиеся формулы должны оставаться справедливыми при $ K=0 $ и $ K=1 $. Таким образом, в случае 1 мы получим систему $$ left< begin x_0&=&C_1&+C_2, \ x_1&=&C_1lambda_1&+C_2lambda_2, end right. $$ решениями которой являются числа $$ C_1=frac, C_2= frac . $$ В случае 2 получаем систему $$ left< begin x_0&=&C_1, \ x_1&=&(C_1+C_2)lambda_1 end right. $$ с решениями: $$ C_1=x_0, C_2=frac-x_0 . $$

Теперь осталось показать, что найденные формулы действительно дают решение разностного уравнения. С этой целью формально подставим, например, первую из формул в уравнение: $$ x_=C_1lambda_1^+C_2lambda_2^ Rightarrow x_=C_1lambda_1^+C_2lambda_2^, x_=C_1lambda_1^+C_2lambda_2^ Rightarrow $$ $$ C_1lambda_1^+C_2lambda_2^ =p (C_1lambda_1^+C_2lambda_2^)+q(C_1lambda_1^+C_2lambda_2^) Rightarrow $$ $$ C_1lambda_1^(lambda_1^2-plambda_1-q)+ C_2lambda_2^(lambda_2^2-plambda_2-q)=0 . $$ Но, по предположению, $ lambda_j $ действительно является корнем квадратного уравнения $ x^2-px-q = 0 $. Следовательно, мы получили верное равенство, и решение может быть представлено в указанном виде. То, что это решение обеспечивает правильные «начальные данные» гарантировано тем способом, которым мы подбирали значения параметров $ C_1 $ и $ C_2 $.

Пример. Найти выражение для $ K_ $-го числа Фибоначчи.

Решение. Корни уравнения $$ x^2-x-1=0 $$ различны: $$ lambda_1 = frac<1+sqrt>, lambda_2=frac<1-sqrt> . $$ Следовательно, решение должно иметь вид $ x_K= C_1 lambda_1^K + C_2 lambda_2^K $. Константы $ C_1 $ и $ C_2 $ ищутся с помощью начальных данных: $$ x_0=C_1+C_2=1, x_1= C_1 lambda_1 + C_2 lambda_2 =1 . $$ Решив эту линейную систему, получим выражение $ K $-го числа Фибоначчи по формуле Бине: $$ F_K = frac<sqrt> left[ left( frac<1+sqrt> right)^ — left( frac<1-sqrt> right)^ right] . $$ ♦

Пример. Решить уравнение $$ x_=2, x_-2, x_ .$$ при $ x_1=2,x_2=2 $.

Решение. Соответствующее квадратное уравнение $ x^2-2 x + 2=0 $ имеет корни мнимые $ lambda_=1 pm mathbf i $. Согласно приведенному выше алгоритму, решение представляется в виде: $$ x_K=(1+mathbf i)^+(1-mathbf i)^ . $$ Здесь снова возникает парадоксальная ситуация: вещественная целочисленная последовательность представляется с помощью мнимых чисел. Разрешается «парадокс» теми же самыми рассуждениями, что и в предыдущем примере. Здесь можно пойти и дальше — избавиться от мнимой единицы. Поскольку $$ 1+ mathbf i = sqrt left( cos frac + mathbf i sin frac right), quad 1- mathbf i = sqrt left( cos left( — frac right) + mathbf i sin left(-frac right) right), $$ то применением формулы Муавра получаем: $$ x_K=2^ left( cos frac + mathbf i sin frac right) + $$ $$ qquad qquad + 2^left( cos left( — frac right) + mathbf i sin left(-frac right) right) = $$ $$ =2^ cos frac . $$ Таким образом, мы избавились от кажущейся мнимости ответа. То, что на самом деле полученное число является числом целым подтверждается тем, что последовательность $$ left_^ = left< 1, 2^,0,-2^,-1, -2^, 0, 2^, 1,dots right> $$ является циклической и выражения $ 2^ $ возникают только при четных $ K_ $. При домножении на $ 2^ $ дробные степени двойки пропадают. Резюмируем приведенные рассуждения: присутствие в ответе мнимой единицы, образно говоря, само является мнимым, иллюзорным; в вычислениях она участвует, но в ответе пропадает! ♦

Остался нераскрытым секрет получения общего алгоритма решения разностного уравнения. Очевидно, что алгоритм приводит к верному ответу (что подтверждается подстановкой найденного решения в уравнение), но откуда этот алгоритм взялся?!

Есть несколько подходов, приводящих к этому алгоритму — и самый общий, подходящий для уравнений произвольного порядка, изложен НИЖЕ. А в рассмотренном выше случае уравнения второго порядка, рассуждения могут быть следующими. Сделаем в уравнении $$ x_=p x_+q x_ $$ замену переменных так, чтобы получилось линейное уравнение первого порядка. С этой целью подберем параметры $ t_ $ и $ u_ $ так, чтобы последовательность $$ x_- t x_ =u ( x_- t x_) $$ совпала с исходной. Очевидно, что параметры $ t_ $ и $ u_ $ можно найти из системы уравнений $$ t+u=p, — tu=q . $$ Полученные формулы позволяют сделать вывод (см. ☞ формулы Виета), что $ t_ $ и $ u_ $ могут быть определены как корни квадратного уравнения $$ x^2-px-q=0 , $$ которое и возникло у нас «из ниоткуда» в приведенном выше алгоритме. Предположим, что корни этого уравнения различны. Обозначив их, как и ранее, $ t= lambda_1 $ и $ u= lambda_2 $, и введя в рассмотрение новую последовательность $ _^ $, связанную со старой формулой $$y_K= x_- lambda_1x_ , $$ мы получим уравнение для нее в виде $$ y_ =lambda_2 y_K . $$ Это уравнение снова разностное, но уже первого порядка, его решение нам известно (геометрическая прогрессия): $$ y_K = lambda_2^K y_0 . $$ Возвращаемся к исходной переменной — подставляем полученное в формулу, связывающую $ x_K $ и $ y_K $: $$ x_- lambda_1x_= lambda_2^K y_0 npu y_0=x_1- lambda_1 x_0 . $$ Мы снова получили разностное уравнение первого порядка, но, к сожалению, уже неоднородное. Попробуем его решить. Распишем разностное уравнение для последовательных значений $ K $: $$begin x_1-lambda_1x_0 &= & y_0 \ x_2-lambda_1x_1 &= & lambda_2y_0 \ x_3-lambda_1x_2 &= & lambda_2^2y_0 \ x_4-lambda_1x_3 &= & lambda_2^3y_0 \ dots & & dots end $$ Умножим первое уравнение на $ lambda_ $ и сложим со вторым, получим: $$ x_2-lambda_1^2 x_0 = (lambda_1+ lambda_2)y_0 . $$ Умножим это уравнение на $ lambda_1 $ и сложим с третьим: $$ x_3-lambda_1^3 x_0 = (lambda_1^2+lambda_1 lambda_2 + lambda_2)y_0 . $$ Продолжив процесс далее по аналогии, на $ K_ $-м шаге получим $$ x_-lambda_1^K x_0 = (lambda_1^+lambda_1^ lambda_2 +dots+ lambda_1^lambda_2^j+dots+ lambda_2^)y_0 . $$ В правой части полученного выражения стоит сумма геометрической прогрессии. Окончательно получаем: $$ x_K= x_0 lambda_1^K + frac(x_1- lambda_1 x_0) , $$ что полностью совпадает с приведенным выше результатом.

[Эйлер]. Доказать, что (в обозначениях настоящего пункта) имеет место утверждение: отношение

$$ frac<x_x_K-x_^2> $$ будет величиной постоянной, не зависящей от $ K_ $.

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Аналитика

Для разностного уравнения $$ x_=a_1 x_+ dots+ a_n x_K $$ алгебраическое уравнение, получающееся из него формальной заменой $$ begin x_ & x_ & dots & x_K \ downarrow & downarrow & dots & downarrow \ lambda^n & lambda^ & dots & 1 end $$ то есть уравнение $$ lambda^n — a_1 lambda^ — dots — a_n =0, $$ называется характеристическим уравнением (соответствующим данному разностному уравнению) 2) ; полином $$ f(lambda)= lambda^n — a_1 lambda^ — dots — a_n $$ будем называть характеристическим полиномом разностного уравнения. Обозначим $ lambda_,dots,lambda_n $ все корни этого полинома, с учетом их кратностей.

Теорема 1. Если все корни характеристического полинома различны, то решение разностного уравнения получается в виде

$$ x_= C_1lambda_1^K + dots+ C_n lambda_n^K , $$ числа $ C_,dots,C_n $ не зависят от $ K_ $ и определяются с помощью начальных условий из системы линейных уравнений: $$ left<begin C_1 &+C_2 &+dots &+ C_n &=& x_0 \ lambda_1 C_1 &+ lambda_2C_2&+dots & + lambda_n C_n & = & x_1 \ lambda_1^2 C_1 &+ lambda_2^2C_2&+dots & + lambda_n^2 C_n & = & x_2 \ dots &&&&& dots \ lambda_1^C_1 &+ lambda_2^C_2&+dots & + lambda_n^ C_n & = & x_. end right. $$

Теорема 2. Если характеристический полином имеет следующее разложение на линейные множители:

$$f(lambda)equiv (lambda-lambda_1)^<_1>times dots times (lambda-lambda_)^<_>, quad lambda_k ne lambda_ mbox k ne ell , _1 + dots + _ =n, $$ то общее решение разностного уравнения имеет вид: $$ x_=L_1(K)lambda_1^ +dots + L_(K)lambda_^ , $$ где $ L_1(K),dots,L_(K) $ — полиномы от $ K $ : $ L_p(K)in mathbb C[K], deg L_p 1. Если характеристический полином имеет единственный корень $ lambda_1 ne 0 $, т.е. $$ f(lambda)equiv (x-lambda_1)^n , $$ то общее решение разностного уравнения имеет вид: $$ x_=(C_1+C_2K+C_3K^2+dots+C_K^)lambda_1^K . $$ При заданных значениях $ x_0,x_1,dots,x_ $ величины $ C_1,dots,C_ $ могут быть определены из системы линейных уравнений, которая получается подстановкой в общее решение последовательных значений $ K in $: $$ left<begin x_0 &=& lambda_1^0&(C_1&+C_2cdot 0& + C_3cdot 0^2& + dots &+ C_ncdot 0^) \ x_1 &=& lambda_1^1&(C_1&+C_2cdot 1& + C_3cdot 1^2& + dots &+ C_ncdot 1^) \ x_2 &=& lambda_1^2&(C_1&+C_2cdot 2& + C_3cdot 2^2& + dots &+ C_ncdot 2^) \ dots & & dots \ x_&=& lambda_1^&(C_1&+C_2cdot (n-1)& + C_3cdot (n-1)^2& + dots &+ C_ncdot (n-1)^) end right. $$ Образно говоря: если получена общая закономерность, то она должна быть универсальной, т.е. сохраняться и в частных случаях.

Пример. Решить уравнение четвертого порядка $$x_=4,x_-6,x_+4,x_-x_ . $$

Решение. Характеристический полином $ (lambda-1)^4 $ имеет единственный корень $ lambda_1=1 $. Общее решение ищется в виде $ x_=C_1+C_2K+C_3K^2+C_4K^3 $, а при заданных начальных данных константы $ C_p $ определяются либо из приведенной выше системы линейных уравнений, либо же по одному из методов нахождения интерполяционного полинома. Так, для $ x_0=1,x_1=8,x_2=27,x_3=64 $ получаем $ C_1=1,C_2=3,C_3=3,C_4=1 $. Тогда выражение для общего члена рекуррентной последовательности $ x_=(K+1)^3 $ — ответ вполне ожидаемый, если обратить внимание на начальные данные… ♦

Статья не закончена!

Метод производящего ряда

В этом и следующем пунктах укажем два подхода, которые позволяют вывести естественным путем результаты, сформулированные в теоремах предыдущего пункта.

Распишем разностное уравнение $$ x_=a_1 x_+ dots+ a_n x_K $$ в бесконечную последовательность уравнений, положив $ K=0,1,2,dots $: $$ begin x_&-a_1 x_&-a_2 x_&- dots- a_n x_0&=&0, \ x_&-a_1 x_&- a_2 x_&- dots- a_n x_1&=&0, \ vdots & & & & & vdots \ x_&-a_1 x_&-a_2 x_&- dots- a_n x_K&=&0, \ dots & & &&&dots end $$ и дополним эту последовательность, поставив в ее начало еще $ n $ уравнений: $$ begin x_&&&&=&p_0, \ x_&-a_1 x_& &&=& p_1, \ x_&-a_1 x_&-a_2 x_& &=& p_1, \ vdots && & & & vdots \ x_&-a_1 x_&-a_2 x_&- dots- a_ x_0 &=& p_, end $$ При заданных начальных данных $ <x_0,x_1,dots,x_> $ из этих уравнений можно однозначно определить числа $ <p_0,p_1,dots,p_> $.

В объединенной системе произведем домножение уравнений на степени $ lambda $ $$ begin x_&&&&&=&p_0, & times 1 \ x_&-a_1 x_&& &&=& p_1, & times lambda \ x_&-a_1 x_&-a_2 x_& &&=& p_1, & times lambda^2 \ vdots && & & && vdots & vdots \ x_&-a_1 x_&-a_2 x_&- dots- a_ x_0 &&=& p_, & times lambda^ \ x_&-a_1 x_&-a_2 x_&- dots — a_ x_1 & — a_n x_0&=&0, & times lambda^ \ x_&-a_1 x_&- a_2 x_&- dots — a_ x_2 & — a_n x_1&=&0, & times lambda^ \ vdots & & & dots & & & dots & vdots \ x_&-a_1 x_&-a_2 x_&- dots- a_ x_ &- a_n x_K&=&0, & times lambda^ \ dots & & && &&dots & dots end $$ и сложим эти уравнения, собирая по столбцам коэффициенты при $ a_1,dots, a_n $.

Ряд $$ Z(lambda)=sum_^x_lambda^j=x_0+x_1lambda+x_2lambda^2+dots+x_K lambda^K + dots $$ называется производящим рядом рекуррентной последовательности.

Мы получили для него уравнение $$ Z(lambda)-a_1lambda Z(lambda)-a_2lambda^2Z(lambda)-dots — a_nlambda^n Z(lambda)equiv p_0+p_1lambda+p_2lambda^2+dots+p_lambda^ , $$ или $$ Z(lambda)(1-a_1lambda-a_2lambda^2-dots- a_nlambda^n) equiv P(lambda) , $$ где $ P(lambda)=p_0+p_1lambda+p_2lambda^2+dots+p_lambda^ $ — известный полином. Таким образом производящий ряд получается разложением в ряд по степеням $ lambda $ рациональной функции $$ frac

$$ и, если нам удастся найти явное выражение для коэффициента при $ lambda^K $, то он и будет решением разностного уравнения.

Полином $ f^(lambda) = 1-a_1lambda-a_2lambda^2-dots- a_nlambda^n $ не совпадает с характеристическим полиномом $ f(lambda)= lambda^n-a_1lambda^-a_2lambda^- dots — a_n $ разностного уравнения, но очень на него похож: они связаны соотношением $$ f^(lambda) equiv lambda^n f(1/lambda) , $$ и корни $ f^(lambda) $ равны обратным величинам корней полинома $ f(lambda) $, т.е. $ 1/lambda_1,dots,1/lambda_n $ (см. свойство 3 ☞ ЗДЕСЬ ). Если все эти корни различны, то дробь $ 1/f^(lambda) $ может быть разложена на простейшие дроби вида: $$ frac<f^(lambda)>=frac = $$ $$ =frac+frac+dots+frac , $$ где $ gamma_1, gamma_2,dots, gamma_n $ — комплексные числа, которые можно однозначно выразить через $ lambda_1,dots,lambda_n $ (эти выражения для дальнейшего несущественны). Теперь каждую простейшую дробь раскладываем в степенной ряд: $$ frac=gamma_j left(1+lambda_j cdot lambda+ lambda_j^2 cdot lambda^2+dots+ lambda_j^K cdot lambda^K+dots right) $$ и, следовательно, получаем разложение для производящего ряда $$ Z(lambda)=frac

= $$ $$ =P(lambda) left[ (gamma_1+dots+gamma_n)+(gamma_1lambda_1+dots+gamma_nlambda_n)lambda+dots+(gamma_1lambda_1^K+dots+gamma_nlambda_n^K)lambda^K + dots right] . $$ Вытаскиваем из него коэффициент при $ lambda^K $: $$ begin p_0 (gamma_1lambda_1^K &+dots+&gamma_nlambda_n^K)+ \ +p_1(gamma_1lambda_1^&+dots+&gamma_nlambda_n^)+ \ &+dots + &\ +p_ (gamma_1lambda_1^&+dots+&gamma_nlambda_n^)= end $$ и просуммируем по столбцам: $$ begin = gamma_1lambda_1^K (p_0+p_1/lambda_1+dots+p_/lambda_1^)+\ + gamma_2lambda_2^K (p_0+p_1/lambda_2+dots+p_/lambda_2^)+ \ +dots + \ + gamma_nlambda_n^K (p_0+p_1/lambda_n+dots+p_/lambda_n^)= end $$ $$ =gamma_1 P(1/lambda_1)lambda_1^K+ gamma_2 P(1/lambda_2)lambda_2^K +dots + gamma_n P(1/lambda_n)lambda_n^K . $$ Обозначив $ C_j = gamma_j P(1/lambda_j) $ при $ jin $, мы получим общее решение разностного уравнения приведенное в теореме 1 предыдущего пункта.

Метод производящего ряда позволяет решать и неоднородные разностные уравнения.

Пример. Решить уравнение $$x_=3,x_-2,x_+(K+1)(K+2) . $$

Ответ. $ x_K=2^K(x_1-x_0+8)-1/3(K+3)(K^2+3,K+8)+2,x_0-x_1 $.

Статья не закончена!

Метод матричной степени

Пусть рекуррентная последовательность задается уравнением $$ x_=a_1 x_+ dots+ a_n x_K $$ и начальными данными $ x_0,x_1,dots,x_ $.

Введем в рассмотрение столбцы, состоящие из $ n_ $ последовательных элементов этой последовательности, обозначив $$ X_0=left( begin x_0 \ x_1 \ vdots \ x_ end right), X_1=left( begin x_1 \ x_2 \ vdots \ x_ end right), X_2=left( begin x_2 \ x_3 \ vdots \ x_ end right), dots, X_K=left( begin x_K \ x_ \ vdots \ x_ end right),dots ; $$ а также следующую матрицу, известную как матрица Фробениуса: $$ = left( begin 0 & 1 & 0 & 0 & dots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & dots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & dots & 0 & 0 \ dots& &&&ddots & & dots \ 0 & 0 & 0 & 0 & dots & 0 & 1 \ a_n & a_ & a_ & & dots & a_2 & a_1 end right)_ $$ Используя правило умножения матриц, а также соотношение между элементами последовательности, получаем: $$ X_1=X_0, X_2=X_1,dots, X_K=X_,dots, $$ откуда имеем: $$ X_K=^KX_0 quad npu quad Kin mathbb N . $$ Искомое выражение для $ x_ $ получится умножением первой строки матрицы $ ^K $ на столбец начальных данных $ X_ $. Таким образом, задача решения разностного уравнения сводится к задаче возведения в степень матрицы $ $.

Для нахождения $ ^ $ воспользуемся результатами пункта СТРУКТУРА СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ. Найдя жорданову нормальную форму (ЖНФ) $ _ $ и соответствующую матрицу преобразования базиса $ C_ $, получим $$ _ =C^ mathfrak F C Longrightarrow ^=C _<_>^ C^ , . $$ Характеристический полином матрицы Фробениуса: $$det (- lambda E)= (-1)^n(lambda^n-a_1 lambda^-dots-a_n) . $$ с точностью до знака совпадает с характеристическим полиномом последовательности. Обозначим его корни $ lambda_1,dots,lambda_n $. Если они различны, то жорданова нормальная форма $ _<_> $ диагональна. Если же среди этих корней имеются кратные, то установление структуры ЖНФ потребует усилий; однако же можно заранее утверждать, что эта форма диагональной не будет.

Подробный дальнейший анализ (с выводом теорем $ 1_ $ и $ 2_ $ из пункта АНАЛИТИКА) ☞ ЗДЕСЬ.

Cистемы линейных разностных уравнений

Подход предыдущего пункта можно успешно распространить на системы линейных разностных уравнений.

Пример. Решить систему разностных уравнений

Решение. Имеем: $$ left( begin x_ \ y_ end right) = left( begin 1 & 2 \ 3 & 2 end right) left( begin x_ \ y_ end right)= left( begin 1 & 2 \ 3 & 2 end right)^2 left( begin x_ \ y_ end right)=dots= left( begin 1 & 2 \ 3 & 2 end right)^K left( begin x_ \ y_ end right) . $$ Возводим матрицу в степень по методу, изложенному в разделе ☞ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦЫ. Ее характеристический полином $ f(lambda)=lambda^2-3, lambda — 4 $ имеет корни $ $. Соответствующие собственные векторы $ [1,-1]^ $ и $ [2,3]^ $. Следовательно: $$ left( begin 1 & 2 \ 3 & 2 end right)^K= left( begin 1 & 2 \ -1 & 3 end right) left( begin (-1)^K & 0 \ 0 & 4^K end right) left( begin 1 & 2 \ -1 & 3 end right)^ = $$ $$ =frac left( begin 3cdot (-1)^K + 2 cdot 4^K & 2 cdot (-1)^ + 2 cdot 4^K \ 3cdot (-1)^ + 3 cdot 4^K & 2 cdot (-1)^ + 3 cdot 4^K end right) . $$ Домножение этой матрицы на столбец $ [x_0,y_0]^=[1,-1]^ $ приводит к ответу $ x_K=(-1)^K, y_K=(-1)^ $, который немедленно проверяется «вручную» .

Приведем альтернативное решение настоящего примера — «разделим» переменные. Сделаем подстановку $ K to K+1 $ в первом уравнении: $$ x_=x_K+2,y_K=(x_ +2,y_)+2, (3,x_+2,y_)=7,x_+6,y_ . $$ Теперь из двух уравнений — нового и исходного — исключим $ y_ $: $$ left< begin x_&-x_ &= & 2,y_ \ x_&-7,x_&=&6,y_ end right. quad Rightarrow quad x_-3,x_-4,x_=0 . $$ Мы получили разностное уравнение второго порядка относительно величины $ x_ $. Совершенно такое же уравнение получается и относительно другой переменной: $ y_-3,y_-4,y_=0 $. Характеристический полином этого уравнения совпадает с характеристическим полиномом матрицы. Различие между генерируемыми этим уравнением рекуррентными последовательностями $ _^ $ и $ _^ $ будет определяться только начальными данными. ♦

Пример. Решить систему разностных уравнений

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Асимптотика

Задача. Как ведет себя рекуррентная последовательность $ _^ $ при возрастании $ K $?

Если при любых $ x_0,dots,x_ $ решение $ x_K $ уравнения $$ x_=a_1 x_+ dots+ a_n x_K $$ ограничено, то будем называть это уравнение устойчивым. Устойчивое уравнение называется асимптотически устойчивым если $$ x_K to 0 quad npu quad K to infty .$$ Уравнение называется неустойчивым, если существует хотя бы один набор $ x_0,dots,x_ $, для которого соответствующая последовательность $ x_K $ неограничена.

Для анализа асимптотики $ $ при $ K to infty $ обратимся к приведенным ☝ ВЫШЕ теоремам 1 и 2, в которых общее решение разностного уравнения выражено через корни $ lambda_1,dots,lambda_n $ его характеристического уравнения.

Теорема. Уравнение $$ x_=a_1 x_+ dots+ a_n x_K $$ будет

а) устойчивым тогда и только тогда, когда $ |lambda_j| le 1 $ для любого $ j_ $, и собственные числа, имеющие модуль равный $ 1_ $, являются простыми для характеристического полинома;

б) асимптотически устойчивым тогда и только тогда, когда $ |lambda_j| ☞ ЗДЕСЬ. Условие $ 0 1. Пусть $ qne p $. Применяем теорему 1: $$u(K,N)=C_1 1^K+C_2 (q/p)^K=C_1+C_2 (q/p)^K .$$ Константы $ C_j $ находим из граничных условий: $$ left< begin C_1+C_2&=&0 \ C_1+(q/p)^NC_2&=&1 end right. Longrightarrow C_1=-C_2=frac $$ $$Longrightarrow u(K,N)= frac quad npu Kin .$$

2. Пусть теперь $ q=p=frac $ (проигрыш и выигрыш равновероятны). Применяем теорему 2: $ u(K,N)=(C_1+C_2K)cdot 1^ $; константы находим из граничных условий: $ C_1=0,C_2=1/N $. Следовательно: $$u(K,N)=K/N quad npu Kin .$$

Теперь проанализируем полученные решения. Во втором случае выигрыш тем вероятнее, чем больше стартового капитала имеет игрок, и при $ K>N/2 $ игрок скорее выиграет. В первом случае анализ ситуации несколько сложнее, хотя зависимость вероятности выигрыша от размера стартового капитала сохраняется. Рассмотрим более интересный случай $ p 3) $ 10 $, но тогда можно и не играть! При $ N=100,p=frac,q=frac $ и при капитале $ K=99 $ игроку имеет смысл вести игру: его выигрыш до $ 100 $ более вероятен, чем разорение «до нитки». А вот при $ K=98 $ лучше не рисковать!

При каком соотношении $ p_ $ и $ q_ $ ($ p ☞ АНАЛИТИКА общее решение разностного уравнения позволяет построить и общее решение дифференциального уравнения. В самом деле, если $ lambda_^ $ — какой-то из корней характеристического уравнения $ lambda^n — a_1lambda^-dots-a_lambda — a_n=0 $, то одним из решений разностного уравнения будет $ u_K=Clambda_^K $ при $ Kin mathbb N $ и произвольной константе $ Cin mathbb C $. Тогда ряд $$ y(x)=sum_^ u_j frac = C sum_^ frac<lambda_^jx^j>=Ce^ <lambda_x> $$ дает один из интегралов дифференциального уравнения. Если все корни $ lambda_,dots,lambda_n $ характеристического уравнения простые, то общий интеграл дифференциального уравнения будет иметь вид $$ C_1 e^ + dots + C_n e^ . $$ Если же среди корней характеристического уравнения имеются кратные, то общий интеграл записывается в виде $$ tilde L_1(x)e^ + dots + tilde L_(x) e^ <lambda_x> , $$ где $ tilde L_1(x),dots,tilde L_(x) $ — полиномы по $ x_ $, $ _^ subset mathbb C[x], deg tilde L_j ♦

Метод конечных разностей

Пример. Найти решение дифференциального уравнения $$ y^ -3, y^ + 4, y=0 , $$ удовлетворяющее условиям $ y(0)=0, y(1)=1 $, и вычислить значение $ y(0.5) $.

В отличие от задачи Коши предыдущего пункта, где нас интересовало решение с известными начальными данными, мы теперь имеем дело с, так называемой, краевой задачей для обыкновенного дифференциального уравнения.

Решение. Для данного примера удается построить точное решение: $$ y(x)=frac< e^sin (sqrt/2 x )><sin (sqrt/2)> quad u quad y( 1/2) approx 0.299303 . $$ Наша задача сейчас — проиллюстрировать приближенный метод решения краевой задачи (а полученное аналитическое решение будем использовать для контроля точности). Этот метод заключается в дискретизации непрерывного процесса — вместо нахождения общего выражения для решения $ y(x) $, подобного только что представленному, мы ставим целью нахождение значений $ y(x_j) $ в некоторых точках интервала $ [0_,1] $. Разобьем этот интервал на $ N_ $ равных частей точками $$ x_j=j h quad npu quad jin , h=1/N . $$ Вспомнив определение производной функции как предела: $$ y^(x)= lim_ frac $$ будем считать, что при достаточно малых значениях $ h_>0 $, ошибка в равенствах $$ y^(x_j) approx frac quad u quad y^(x_j) approx frac $$ пренебрежимо мала. Таким образом, мы получаем приближение для производной (неизвестной нам функции) через значения этой же функции. Какое из двух этих приближений взять — не очень принципиально. С целью «сохранения равноправия» в окрестности $ x_ $, возьмем в качестве приближения $$ y^(x_j) approx frac left( frac + frac right) = frac . $$ Для значения второй производной $ y^(x) $ в точке $ x_ $ приближение строим в виде $$ y^(x_j) approx frac left( frac — frac right)= $$ $$ = frac<y(x_+h)-2y(x_j)+y(x_j-h)> . $$ С использованием этих приближений, а также обозначения $$ u_j = y(x_j) quad npu quad j in , $$ заменяем исходное дифференциальное уравнение на уравнение $$ (u_-2, u_j — u_) — frac h (u_- u_)+4 h^2 u_j iff $$ $$ iff quad (1-3/2h) u_+ (4,h^2-2)u_j+ (1+3/2h) u_= 0 , $$ которое является линейным разностным уравнением второго порядка. Граничные условия для дифференциального уравнения переходят в граничные условия для разностного: $ u_0=0,u_N=1 $. Можно решить это уравнение в явном виде — по аналогии с тем, как это было сделано в пункте ☞ ЗАДАЧА О РАЗОРЕНИИ ИГРОКА. Но мы пойдем другим путем и для нахождения значений $ u_1,dots,u_ $ выпишем получившиеся линейные уравнения. Так, для $ N=6 $ уравнения $$ 3/4 u_-17/9 u_ + 5/4 u_ = 0 quad npu quad jin $$ перепишутся в виде $$ left< begin 3/4 u_6 & — 17/9 u_5 &+5/4 u_4 & & & & = 0, \ & 3/4 u_5 & — 17/9 u_4 &+5/4 u_3 & & & =0, \ & & 3/4 u_4 & — 17/9 u_3 &+5/4 u_2 & & =0, \ & & & 3/4 u_3 & — 17/9 u_2 &+5/4 u_1 & =0, \ & & & & 3/4 u_2 & — 17/9 u_2 &+5/4 u_0 =0. end right. $$ С учетом граничных условий, перепишем эту систему в матричном виде $$ left( begin — 17/9 & 5/4 & & & \ 3/4 & — 17/9 & 5/4 & & \ & 3/4 & — 17/9 & 5/4 & \ & & 3/4 & — 17/9 &5/4 \ & & & 3/4 & — 17/9 end right) cdot left( begin u_5 \ u_4 \ u_3 \ u_2 \ u_1 end right)= left( begin -3/4 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 end right) $$ (все неуказанные элементы матрицы равны $ 0_ $). Матрица системы является трехдиагональной. Существуют специальные методы решения систем линейных уравнений с подобными матрицами (см. ☞ метод прогонки ). Но мы ограничимся здесь только поставленной задачей оценки величины $ y(0.5) $. Очевидно, для этого необходимо «вытащить» из системы значение неизвестной $ u_3 $. Сделаем это с помощью формул Крамера: $$ u_3= frac< left| begin — 17/9 & 5/4 & -3/4 & & \ 3/4 & — 17/9 & 0 & & \ & 3/4 & 0 & 5/4 & \ & & 0 & — 17/9 &5/4 \ & & 0 & 3/4 & — 17/9 end right| ><left| begin — 17/9 & 5/4 & & & \ 3/4 & — 17/9 & 5/4 & & \ & 3/4 & — 17/9 & 5/4 & \ & & 3/4 & — 17/9 &5/4 \ & & & 3/4 & — 17/9 end right|> = frac approx 0.295665 , $$ что неплохо согласуется с точным ответом.

При выборе $ N = 8 $ (более мелком дроблении интервала) получаем новое разностное уравнение $$ 13 u_-31 u_ + 19 u_ = 0 quad npu quad jin , $$ которое относительно $ u_ $ будет иметь решение $$ u_4=frac approx 0.297290 . $$ ♦

алгебраическое уравнение $ leftrightarrow $ линейное разностное уравнение $ leftrightarrow $ линейное дифференциальное уравнение.

Так, в двух последних пунктах решения двух задач из теории линейных дифференциальных уравнений — задачи Коши и краевой задачи — свелись к решению линейных разностных уравнений. В следующем пункте мы упрочим связи между алгебраическим и разностным уравнениями.

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Поиск корня полинома методом Бернулли

В разных разделах алгебры (и не только алгебры) слово «решить» может иметь совершенно разный смысл. Поставленная в начале настоящего раздела задача о решении линейного разностного уравнения свелась к нахождению корней его характеристического полинома. Вид общего решения найден и в этом смысле решение задачи получено. Вспомним, однако, что в общем случае нахождение корней полинома представляет собой отдельную задачу, которую также должно решать! Но известно, что корни полинома степени выше четвертой, как правило, не могут быть выражены в виде «хороших» функций от коэффициентов этого полинома (см. ☞ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ ) ; мы можем гарантировать разве что их приближения с заданной точностью… Иными словами, мы свели решение одной задачи (решения разностного уравнения) к другой задаче (решения алгебраического уравнения), которая не имеет «красивого» решения!

Кажется, что мы влипли в порочный круг 4) . На самом деле, ситуация не столь безнадежна. Во-первых, хотя бы в некоторых случаях решение может быть получено явно — когда корни характеристического полинома удается найти в радикалах. Во-вторых, кое-какую пользу от полученного теоретического решения задачи мы получили и для общего случая. Например, мы смогли проанализировать поведение последовательности при возрастании $ K $ — и смогли сделать это «честно»: не привлекая бесконечные процессы численных методов, а только производя конечный набор элементарных операций над коэффициентами характеристического полинома.

В настоящем пункте мы «развернем» приведенную в пункте ☞ АНАЛИТИКА схему решения, сводящую разностное уравнение к алгебраическому: именно, мы будем искать корень алгебраического уравнения с помощью рекуррентной последовательности.

Задача. Решить алгебраическое уравнение $$ x^n+a_1x^+a_2x^ + dots + a_n = 0 . $$ Здесь коэффициенты $ a_1,dots,a_n ne 0 $ предполагаются комплексными.

Теорема [Бернулли]. Обозначим $ lambda_1 $ — максимальный по модулю корень уравнения

$$ x^n+a_1x^+a_2x^ + dots + a_n = 0 . $$ Предположим, что остальные корни уравнения строго меньше этого корня по модулю: $$ |lambda_1 | > |lambda_j | quad npu jin . $$ Тогда линейная рекуррентная последовательность $$ x_=-a_1x_-a_2x_-dots-a_nx_ $$ практически для любых начальных данных $ x_0,dots,x_ $ будет обладать свойством $$ lim_ frac<x_><x_> = lambda_1 , $$ т.е. отношение двух соседних членов последовательности будет стремиться к максимальному по модулю корню алгебраического уравнения.

Доказательство. Предположим сначала, что корни алгебраического уравнения все различны. Тогда это уравнение является характеристическим для рекуррентной последовательности $$ x_=-a_1x_-a_2x_-dots-a_nx_ $$ и, на основании теоремы 1 общий член этой последовательности может быть представлен в виде: $$ x_K=C_1lambda_1^K+C_2lambda_2^K+dots+C_nlambda_n^K . $$ Тогда $$ frac<x_><x_> =frac<C_1lambda_1^+C_2lambda_2^+dots+C_nlambda_n^ > =frac<displaystyle<lambda_1^Kleft(C_1+C_2left(fracright)^K+dots+C_nleft(fracright)^K right) >><displaystyle<lambda_1^left(C_1+C_2left(fracright)^+dots+C_nleft(fracright)^right)>> . $$ По условию теоремы $ |lambda_j/ lambda_1| ♦

Итак, для решения алгебраического уравнения предлагается «запустить» рекуррентную последовательность. А почему бы и нет? Такая последовательность достаточно просто реализуется — пусть себе компьютер считает!

Пример. Вычислить максимальный по модулю корень полинома

Решение. Образуем разностное уравнение пятого порядка: $$ x_=-20,x_-50, x_-(6+7)x_-129x_K $$ и возьмем в качестве начальных данных набор значений $$ x_0=0,x_1=0,x_2=0,x_3=1,x_4=43/149+5/2 . $$ Получаем: $$ begin K & x_ & approx x_/x_ \ hline 0 & -860/149 & -0.263005+2.278364, \ 1 & -1425/149+2150/149 , & 1.656976-2.5, \ 2 & 29394/149-84957/149 , & -33.750155+8.697660 , \ 3 & -1357017/298+1630426/149 , & -19.607285-1.202631, \ 4 & 17818407/149-62193575/298 , & -20.133934-2.549861 , \ 5 & -438023980/149+588013250/149 , & -20.311478-2.447384, \ 6 & 10315906213/149-10869371284/149 , & -20.292875-2.427054 , \ 7 &-235730478967/149+390960600447/298 , & -20.290782-2.430009 , \ 8 & 5258315203898/149-3393662220742/149 , & -20.291221-2.430198 , \ 9 & -114944764751262/149+112166341785085/298 , & -20.291233-2.430136 , end $$ На рисунке голубым цветом изображены пять первых элементов последовательности $ x_/x_ $, корни полинома обозначены красным. Практически со стопроцентной вероятностью при выборе случайным образом начальных данных последовательность будет сходиться к максимальному по модулю корню полинома $ lambda_1 approx -20.291225 -2.430137 , $.

При каком наборе начальных данных последовательность $ x_/x_ $ будет сходиться

а) к третьему по величине модуля корню полинома;

б) к минимальному по модуля корню полинома?

Как решить последнюю задачу в общем случае: модифицировать алгоритм так, чтобы находить минимальный по модулю корень полинома?

Подсказка. См. ☞ ЗДЕСЬ.

Теперь посмотрим что произойдет, если нарушается условие единственности корня с максимальным модулем. Такая ситуация может показаться исключительной для полиномов с коэффициентами мнимыми. Так оно и есть: корни такого полинома располагаются на комплексной плоскости случайным образом и вероятность того, что два из них окажутся на одной и той же окружности с центром в точке 0 пренебрежимо мала. Однако, если мы имеем дело с полиномами с коэффициентами вещественными (а этот случай чаще предыдущего встречается в практике вычислений), то ситуация равенства модулей двух корней полинома становится уже не исключительной: комплексно-сопряженные пары корней имеют одинаковые модули (см. ☞ ЗДЕСЬ )!

Пример. Вычислить максимальный по модулю корень полинома

Решение. Запускаем рекуррентную последовательность $$ x_=7,x_-34,x_+68, x_-40,x_ $$ с различными начальными данными $$ begin x_0=0,x_1=0,x_2=0,x_3=6 \ hline begin K & approx x_/x_ \ hline 0 & 7 \ 1 & 2.142857 \ 2 & -4.333333 \ 3 & 8.138461 \ 4 & 1.423440 \ 5 & -10.219123 \ 6 & 5.990253 \ 7 & 0.672328 \ 8 & -25.714336 end end begin x_0=0,x_1=0,x_2=1,x_3= \ hline begin approx x_/x_ \ hline 7+34 \ 4.883817+0.564315 \ 0.398454+0.417510 \ -18.958354+23.801257 \ 4.302668+0.516309 \ -0.631595+0.556795 \ 21.917361+15.773371 \ 3.407653+0.432279 \ -1.771117+0.731887 end end $$ Сходимость неочевидна. Анализируем корни полинома: $$ lambda_1=2-4 , lambda_2=2+4 ,lambda_3=2, lambda_4=1 .$$ Имеется два максимальных по модулю корня и они комплексно-сопряженные. Теперь понятно почему не должна сходиться первая последовательность: ее начальные данные были все вещественными, вещественными же являются коэффициенты полинома (и разностного уравнения), следовательно последовательность $ x_/x_ $ не могла генерировать мнимые числа в принципе! Вторая последовательность состоит из мнимых чисел, и доказать отсутствие сходимости хотя бы к одному из корней $ lambda_1 $ или $ lambda_2 $ уже посложнее. ♦

Видео:Разностные уравнения -3. Всё такое показательноеСкачать

Алгоритм «деления-вычитания» вычисления корней полинома

Иногда мелкий результат служит отправной точкой для крупной теории… Числа Фибоначчи просто задаются — а какую теорию порождают! Имея в виду это обстоятельство, вернемся к упражнению Эйлера в конце ☞ ПУНКТА.

Сгенерируем на основе рекуррентной последовательности $$ x_=-a_1x_-a_2x_-dots-a_nx_ $$ новую последовательность $$ y_=x_x_-x_^2 . $$ На примерах из предыдущего пункта оценим асимптотику отношения $$ frac<y_> quad npu quad K to infty . $$

Пример. Для полинома

$$ f(x)= x^5+20,x^4-50,x^3-(6+7),x-129 $$ разностное уравнение $$ x_=-20,x_-50, x_-(6+7)x_-129x_K $$ при выборе начальных данных $$ x_0=0,x_1=0,x_2=0,x_3=1,x_4=43/149+5/2 $$ дает: $$ begin K & approx y_ & approx y_/y_ \ hline 5 & -1021.889329+3566.979865 , & \ 6 & 171845.562159+54605.729066 , & 1.392427-48.575679 , \ 7 & 3593515.455351-9699634.071978 , & 2.702763-57.302733 ,\ 8 & & 2.056010-56.461741 , \ 9 & & 1.577875-55.791210 , \ vdots & & dots \ 12 & & 1.673367-55.241399 , \ vdots & & dots \ 15 & & 1.631486-55.261773 , \ vdots & & dots \ 18 & & 1.642333-55.263835 , \ vdots & & dots \ 24 & & 1.640619-55.263355 , end $$ Видим, что имеется сходимость к какому-то мнимому числу. Оказывается, это число равно произведению двух максимальных по модулю корней полинома $ f(x) $: $$ lambda_1 lambda_2 approx (-20.291225-2.430137 ,) (0.241854+2.694544,) approx $$ $$ approx 1.640589-55.263344 , . $$ Проверим теперь полином $ x^4-7,x^3+34,x^2-68,x+40 $, у которого два комплексно-сопряженных корня имеют одинаковое значение модуля. $$ begin x_0=0,x_1=0,x_2=0,x_3=6 & x_0=0,x_1=0,x_2=1,x_3= \ hline begin K & approx y_/y_ \ hline 5 & 17.882352 \ 6 & 18.988157 \ 7 & 20.085510 \ 8 & 20.252126 \ dots & dots \ 12 & 19.993988 \ dots & dots \ 16 & 19.999734 end & begin approx y_/y_ \ hline 19.191066+0.225090 , \ 19.040624+0.076125 , \ 19.769628-0.020615 , \ 20.115168-0.025721 , \ dots \ 19.991971+0.000361 , \ dots \ 19.999996+0.000032, end end $$ Гипотеза подтверждается: последовательность сходится к квадрату модуля корней. ♦

Теорема. Обозначим $ lambda_1, lambda_2 $ — максимальные по модулю корни уравнения

$$ x^n+a_1x^+a_2x^ + dots + a_n = 0 . $$ Предположим, что остальные корни уравнения строго меньше этого корня по модулю: $$ |lambda_1 | ge |lambda_2 |> |lambda_j | quad npu jin . $$ Тогда линейная рекуррентная последовательность $$ x_=-a_1x_-a_2x_-dots-a_nx_ $$ — практически для любых начальных данных $ x_0,dots,x_ $ будет обладать свойством $$ lim_ frac<x_x_-x_^2><x_x_-x_^2> = lambda_1 lambda_2 . $$

Доказательство. Предположим для простоты, что все корни $ lambda_3,dots,lambda_n $ различны. Тогда, используя рассуждения аналогичные приведенным в доказательстве теоремы Бернулли , получаем $$ x_x_-x_^2=C_1C_2left(frac-1 right)^2lambda_1^lambda_2^K + dots , $$ где многоточие в правой части означает слагаемые, возрастающие при $ K to infty $ более медленно, чем выделенное . Перейдя от $ K $ к $ K+1 $, и составив отношение из условия теоремы, мы получим доказываемый результат. Исключительных случаев оказывается два: либо одна из констант $ C_j $ обратится в нуль за счет неудачного выбора начальных данных $ x_0,dots,x_ $; либо же $ lambda_2=lambda_1 $, т.е. уравнение обладает кратным корнем. Последняя ситуация требует более тонкого анализа, но всегда может быть обезврежена предварительной проверкой уравнения на наличие кратных корней (если у уравнения имеется кратный корень, то, как правило, его можно выразить рационально через коэффициенты ). ♦

Объединим теперь результаты последней теоремы и теоремы Бернулли:

Второй по убыванию модуля корень уравнения может быть получен с помощью линейной рекуррентной последовательности

Как обобщить этот результат для нахождения следующих корней уравнения? — Для этого требуется аппарат ганкелевых определителей.

Теорема. Составим из элементов рекуррентной последовательности

$$ x_=-a_1x_-a_2x_-dots-a_nx_ $$ определитель третьего порядка: $$ H_K=left|begin x_ & x_ & x_ \ x_ & x_ & x_ \ x_ & x_ & x_ end right| . $$ Тогда, если через $ lambda_1,lambda_2,lambda_3 $ обозначить максимальные по модулю корни уравнения $$ x^n+a_1x^+a_2x^ + dots + a_n = 0 , $$ то, как правило, $$ lim_ frac<H_> = lambda_1lambda_2lambda_3 . $$

Третий по убыванию модуля корень уравнения может быть получен с помощью линейной рекуррентной последовательности

Видео:Разностное функциональное уравнение решено двумя способами.Скачать

Задачи

Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Источники

[1]. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.Наука. 1966

[2]. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.Наука. 1967

[3]. Шеннон К. Математическая теория связи. (Shannon C.E. A Mathematical Theory of Communication. Bell System Technical Journal. — 1948. — Т. 27. — С. 379-423, 623–656.)

[4]. Марковъ А. Исчисленie конечныхъ разностей. Mathesis. 1910

[5]. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.2. М.-Л.ГТТИ. 1933

📹 Видео

Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать