Разность между числом свободных и базисных переменных систем уравнений (7 видео)

Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.

Что означает фраза «ранг матрицы равен $r$»? Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют.

Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.

Во всех изложенных ниже примерах матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde$.

Решить СЛАУ $ left < begin& 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=9\ & -x_1+2x_2+x_3+x_4=-11;\ & x_1-2x_2+2x_3+3x_4=5. end right.$. Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Итак, мы имеем СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

$$ left( begin 3 & -6 & 9 & 13 & 9 \ -1 & 2 & 1 & 1 & -11 \ 1 & -2 & 2 & 3 & 5 end right) rightarrow left|begin & text\ & text\ & text endright| rightarrow \ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ -1 & 2 & 1 & 1 & -11 \ 3 & -6 & 9 & 13 & 9 end right) begin phantom \ II+I\ III-3cdot Iend rightarrow left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 endright) begin phantom \ phantom\ III-IIend rightarrow \ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 endright) $$

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $rang A=rangwidetilde = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на «ступеньках». Что это за «ступеньки» показано на рисунке:

На «ступеньках» стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Почему можно принять переменные $x_1$ и $x_3$ в качестве базисных? Для ответа на этот вопрос давайте вспомним, что ранг матрицы системы равен числу $r=2$. Это говорит о том, что все миноры данной матрицы, порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Мы можем выбирать его как в исходной матрице системы $A$, т.е. в матрице $left( begin 3 & -6 & 9 & 13 \ -1 & 2 & 1 & 1 \ 1 & -2 & 2 & 3 end right)$, так и в преобразованной матрице системы, т.е. в $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 3 & 4 \ 0 & 0 & 0 & 0 endright)$. Так как в преобразованной матрице системы побольше нулей, то будем работать именно с нею.

Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:

$$ M_^=left| begin 1 & -2 \ 0 & 0 endright|=1cdot 0-(-2)cdot 0=0. $$

Вывод: выбранный нами минор второго порядка не является базисным, ибо он равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$), то пара переменных $x_1$ и $x_2$ не могут быть базисными переменными.

Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №3 и №4:

$$ M_^=left| begin 2 & 3\ 3 & 4 endright|=2cdot 4-3cdot 3=-1. $$

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$) и столбца №4 (он соответствует переменной $x_4$), то пару переменных $x_3$ и $x_4$ можно принять в качестве базисных.

Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$), то пару переменных $x_1$ и $x_3$ можно принять в качестве базисных.

Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. На самом деле количество вариантов выбора не превышает количество размещений из $n$ элементов по $r$, т.е. не больше чем $C_^$.

В рассматриваемом примере в качестве баисных были приняты переменные $x_1$ и $x_3$ – сугубо из соображений удобства дальнейшего решения. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже.

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Остальные $n-r=2$ переменных (т.е. $x_2$ и $x_4$) являются свободными. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 endright)$ от нулевой строки:

$$ left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 endright) $$

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показатьскрыть

Давайте обратимся к расширенной матрице системы, которая после преобразований имеет вид $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 endright)$. Перейдём от матрицы к уравнениям. Первая строка соответствует уравнению $x_1-2x_2+2x_3+3x_4=5$, а вторая строка соответствует уравнению $3x_3+4x_4=-6$. Теперь перенесём свободные переменные $x_2$ и $x_4$ в правые части уравнений. Естественно, что когда мы переносим выражение $4x_4$ в правую часть уравнения, то знак его изменится на противоположный, и в правой части появится $-4x_4$.

Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$ left( begin 1 & 2 & 5 & 2 & -3\ 0 & 3 & -6 & 0 & -4 endright) begin phantom \ II:3 end rightarrow left( begin 1 & 2 & 5 & 2 & -3\ 0 & 1 & -2 & 0 & -4/3 endright) begin I-2cdot II \ phantom end rightarrow \ rightarrow left(begin 1 & 0 & 9 & 2 & -1/3\ 0 & 1 & -2 & 0 & -4/3 endright). $$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Если вспомнить, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, то получим:

Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти базисное решение, нужно все свободные переменные приравнять к нулю. Т.е. полагая $x_2=0$ и $x_4=0$, будем иметь:

Решение $x_1=9$, $x_2=0$, $x_3=-2$, $x_4=0$ и является базисным решением данной СЛАУ. В принципе, задавая свободным переменным иные значения, можно получить иные частные решения данной системы. Таких частных решений бесконечное количество. Например, принимая $x_2=-4$ и $x_4=1$, получим такое частное решение: $left <begin& x_1=frac;\ & x_2=-4;\ & x_3=-frac;\ & x_4=1. endright.$. Базисное решение, которые мы нашли ранее – лишь одно из бесконечного множества частных решений заданной СЛАУ.

Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=9+2x_2-fracx_4$ и $x_3=-2-fracx_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$ 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3cdot left(9+2x_2-fracx_4right)-6x_2+9cdot left(-2-fracx_4right)+13x_4=9. $$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Похожий пример уже был решен в теме «метод Крамера» (пример №4). Переменные $x_4$ и $x_5$ были перенесены в правые части, а дальше применялись стандартные операции метода Крамера. Однако такой метод решения не гарантирует достижения результата. Например, мы переносим некие переменные в правую часть, а оставшийся определитель оказывается равным нулю, – что тогда? Решать перебором? 🙂 Поэтому гораздо удобнее применять преобразования метода Гаусса, как и в предыдущем примере.

$$ left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 4 & -11 & 21 & -2 & 3 & -1\ -3 & 5 & -13 & -4 & 1 & -2 end right) begin phantom \ II-4cdot I\ III+3cdot Iend rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1\ 0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2 end right) rightarrow \ rightarrow left|begin & text\ & text\ & text endright|rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\ 0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1 end right) begin phantom \ phantom\ III-3cdot Iend rightarrow \ rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\ 0 & 0 & 8 & 10 & -26 & 5 end right). $$

Матрица системы и расширенная матрица системы приведены к трапециевидной форме. Ранги этих матриц равны между собой и равны числу 3, т.е. $rang A=rangwidetilde = 3$. Так как ранги равны между собой и меньше, чем количество переменных, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система имеет бесконечное количество решений.

Количество неизвестных $n=5$, ранги обеих матриц $r=3$, поэтому нужно выбрать три базисных переменных и $n-r=2$ свободных переменных. Применяя тот же метод «ступенек», что и в предыдущем примере, выберем в качестве базисных переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, а в качестве свободных переменных – $x_4$ и $x_5$.

Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:

$$ left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\ 0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\ 0 & 0 & 8 & 5 & -10 & 26 end right) begin phantom \ phantom\ III:8end rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\ 0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) begin I-4cdot III \ II+III\ phantomend rightarrow \ left( begin 1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\ 0 & -1 & 0 & -11/8 & 11/4 & -15/4\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) begin phantom \ IIcdot (-1)\ phantomend rightarrow left( begin 1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\ 0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) begin I+2cdot II \ phantom\ phantomend rightarrow\ rightarrowleft( begin 1 & 0 & 0 & 1/4 & -1/2 & -15/2\ 0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) $$

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё два примера с нахождением общего решения.

Содержание

Метод Жордана-Гаусса онлайн
Предупреждение
Метод Жордана-Гаусса
Примеры решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса
Разность между числом свободных и базисных переменных систем уравнений
📽️ Видео

Видео:Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать

Метод Жордана-Гаусса онлайн

Данный онлайн калькулятор находит общее решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество уравнений и количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.» Теоретическую часть нахождения решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (02)Скачать

Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса − это метод для решения систем линейных уравнений а также метод нахождения обратной матрицы. Данный метод является модификацией метода Гаусса.

Первый этап метода Жордана-Гаусса аналогична методу Гаусса (прямой ход Гаусса), который подробно можно посмотреть на странице «Метод Гаусса онлайн». Второй этап (обратный ход) метода Жордана-Гаусса заключается в обнулении всех элементов матрицы коэффициентов системы линейных уравнений, выше ведущих элементов. Отметим, что мы здесь рассматриваем произвольную систему линейных уравнений, где число переменных может быть не равным числу ограничений.

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Разность между числом свободных и базисных переменных систем уравнений

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b

(2)

(3)

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Построим расшренную матрицу системы:

(4)

После прямого хода Гаусса (подробнее о прямом ходе Гаусса посмотрите на странице «Метод Гаусса онлайн») получим следующую расширенную матрицу:

(5)

Если . равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть . Тогда в обратном порядке, начиная с ведущего элемента применяем обратный ход Гаусса. Суть обратного хода заключается в обнулении всех элементов расширенной матрицы, стоящих выше ведущих элементов.

Итак, обнуляем все элементы, стоящие в столбце p, выше элемента . Так как ≠0, то сложим строки 1,2. p−1 со строкой p, умноженной на соответственно.

Расширенная матрица примет следующий вид:

Аналогичным методом обнуляем элементы столбцов p−1, p−2, . 2 выше ведущих элементов .

Расширенная матрица примет следующий вид:

Делим каждую строку на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Тогда решение можно записать так:

где − произвольные вещественные числа.

Отметим, что при m=n и rangA=n система линейных уравнений (2) имеет единственное решение.

Рассмотрим численные примеры.

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (01)Скачать

Примеры решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Пример 1. Найти решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на 1/2,-3/2 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1/5:

Второй этап. Обратный ход Гаусса

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на -3/2, -5/4 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -2/5:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Векторный вариант решения:

Пример 2. Найти решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на 4/3, 5/3 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -2:

Второй этап. Обратный ход Гаусса

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/10:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Выразим переменные x₁, x₂ относительно остальных переменных.

x₃− произвольное действительное число.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Тогда векторное решение можно представить так:

x₃− произвольное действительное число.

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Разность между числом свободных и базисных переменных систем уравнений

Даны матрица А, векторы – столбцы :
Равенство верно при :
Даны системы векторов:

Среди определителей
, , ,
отличным от остальных является …
Среди определителей
, , ,
отличным от остальных является …
А – квадратная матрица второго порядка В – матрица из алгебраических дополнений к элементам А: Тогда определитель detB равен:
А – квадратная матрица второго порядка, В – матрица из алгебраических дополнений к элементам А: Тогда определитель (detB)2 равен:
Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид:
Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид:
Аргумент, равный , имеют комплексные числа …
Аргумент, равный , имеют комплексные числа …
В системе уравнений базисными (несвободными) переменными можно считать…
Все значения корня равны:
Все комплексные числа Z, аргументы которых , расположены на комплексной плоскости на:
Все комплексные числа Z, для которых справедливо равенство , на комплексной плоскости расположены на:
Все комплексные числа Z, модуль которых , на комплексной плоскости расположены на(в)
Все комплексные числа, расположенные на окружности,удовлетворяют условию:
Все комплексные числа, расположенные на окружности,удовлетворяют условию:
Выражение вида a + bi, где a, b – действительные числа, i2 = -1, называется __________ числом (слово)
Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы , если ,
Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы , если ,
Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы , если ,
Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы , если ,
Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы , если ,
Дан вектор – столбец и матрица , обратная к матрице А: , Тогда решением системы уравнений является вектор :
Дан вектор – столбец и матрица , обратная к матрице А: , Тогда решением системы является вектор :
Дана матрица . Тогда элемент второй строки первого столбца матрицы равен…
Дана матрица . Тогда алгебраическим дополнением элемента является …
Дана матрица , тогда сумма равна …
Дана матрица . Тогда элемент матрицы равен …
Дана матрица . Тогда алгебраическое дополнение элемента равно …
Дана матрица . Тогда алгебраическое дополнение элемента равно …
Дана матрица . Тогда алгебраическое дополнение элемента равно …
Дана матрица . Тогда алгебраическое дополнение элемента равно …
Дана матрица . Тогда алгебраическое дополнение элемента равно …
Дана матрица Определитель detA равен:
Дана матрица , вектор – столбец и вектор – строка Укажите верные соответствия:
Дана матрица , вектор – столбец и вектор – строка (0, 2) Укажите верные соответствия:
Дана невырожденная квадратная матрица А Укажите верные соответствия
Дана система :
Дана система :
Дана система уравнений . Для того, чтобы найти значение переменной при решении этой системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители…
Дана система уравнений . Для того, чтобы найти значение переменной при решении этой системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители…
Дана система уравнений . Для того, чтобы найти значение переменной при решении этой системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители…
Дана система уравнений . Для того, чтобы найти значение переменной при решении этой системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители…
Дана система: :
Дана система: :
Дано уравнение
Даны векторы Базис в пространстве R3 можно составить из векторов:
Даны комплексно-сопряженные числа Z = a + bi и Укажите верные соответствия
Даны комплексные числа Z1 = 2 + i и Z2 = 1 – i Тогда
Даны матрицы размерности и размерности . Произведение существует и имеет размерность…
Даны матрицы размерности и размерности . Произведение существует и имеет размерность…
Даны матрицы и . Тогда определитель произведения матриц , где -транспонированная матрица, равен…
Даны матрицы и . Тогда определитель произведения матриц , где -транспонированная матрица, равен…
Даны матрицы и . Тогда матрица имеет размерность …
Даны матрицы и . Тогда решением матричного уравнения является матрица …
Даны матрицы и . Тогда матрица , являющаяся решением уравнения , равна …
Даны матрицы и . Тогда матрица , являющаяся решением уравнения , равна …
Даны матрицы и . Сумма элементов матрицы , расположенных на ее главной диагонали, равна …
Даны матрицы и . Сумма элементов матрицы , расположенных на ее главной диагонали, равна …
Даны матрицы и . Сумма элементов матрицы , расположенных на ее главной диагонали, равна …
Даны матрицы и . Сумма элементов матрицы , расположенных на ее главной диагонали, равна …
Даны матрицы и . Сумма элементов матрицы , расположенных на ее главной диагонали, равна …
Даны матрицы и . Сумма элементов матрицы , расположенных на ее главной диагонали, равна …
Даны матрицы и . Сумма элементов матрицы равна …
Даны матрицы и . Сумма элементов матрицы , расположенных на ее главной диагонали, равна …
Даны матрицы Матрица АВ – ВА равна:
Даны матрицы Пусть С = АВ, тогда матрица равна:
Даны матрицы , тогда матрица АВС равна:
Даны матрицы , , В порядке увеличения их рангов матрицы расположены так:
Даны матрицы Укажите верные соответствия
Даны матрицы А и В: , Матрица В является обратной к матрице А при , равном:
Даны матрицы А и В: , Матрица В является обратной к матрице А при , равном:
Даны матрицы А и В: , Матрица В является обратной к матрице А при :
Даны матрицы А и В: , Матрицы А и В взаимно обратные при , равном:
Даны матрицы А и В: , Матрица при, равном:
Для взаимно обратных матриц А и определитель их произведения равен ________ (вставить слово)
Для матриц А и В найдено произведение , причем .Тогда матрица В должна иметь …
Для матриц А и В найдено произведение , причем .Тогда матрица А должна иметь …
Для матриц А и В найдено произведение , причем .Тогда матрица А должна иметь …
Для матриц А и В найдено произведение , причем .Тогда матрица А должна иметь …
Для матриц произведение АВ равно:
Для матриц произведение АВ равно:
Для матриц произведение АВ равно:
Для матриц произведение АВ равно:
Для матриц и
Для матрицы матрица равна:
Для матрицы определитель det=
Для матрицы произведение равно:
Для матрицы обратной матрицей А-1 является матрица:
Для матрицы А = матрица из алгебраических дополнений имеет вид:
Для системы уравнений фундаментальной могут служить два вектора:
Для системы уравнений справедливы утверждения:
Для системы уравнений справедливы утверждения:
Для системы уравнений верны утверждения:
Если решение системы линейных уравнений , тогда равно.
Если , то значение определителя матрицы равно …
Если , то значение определителя матрицы равно …
Если detA 0, то:
Если detA 0, тогда:
Если detA = 0, тогда:
Если для квадратной матрицы А detA = 0, то:
Если для матрицы А системы уравнений и расширенной матрицы выполнено условие , то система уравнений _______ (вставить слово)
Если квадратные матрицы А и В перестановочны и АВ = ВА = Е, то матрица В является _________ для матрицы А (вставьте слово)
Если матрицы А и В перестановочны, то матрица АВ – ВА является _____ матрицей
Если определитель квадратной матрицы третьего порядка равен , то определитель обратной матрицы равен…
Если определитель квадратной матрицы третьего порядка равен , то определитель матрицы равен…
Если определитель матрицы пятого порядка отличен от нуля То ранг матрицы равен ________ (число)
Если ранг матрицы системы уравнений равен числу неизвестных, то:
Если ранг системы из m векторов равен m, то эти векторы линейно ___________ (слово)
Если решением системы является вектор , то матрица А равна ________ (слово)
Если система уравнений , где А – квадратная матрица может быть решена методом Крамера, то матрица А _______ (вставить слово)
Если строки квадратной матрицы А линейно независимы, то:
Если существует матрица , то матрица ….
Если существует матрица , то матрица ….
Если существует матрица , то матрица ….
Если существует матрица , то матрица ….
Значение определителя равно…
Значения переменной х, при котором многочлен f(x) обращается в нуль, называется ________ многочлена (вставить слово)
Из трех векторов нормированным является вектор:
Квадратная матрица , для которой = (для всех i, j) называется ___________ матрицей
Квадратные матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются ____________________ (вставить слово)
Максимальное число линейно независимых векторов системы называется ______________ системы векторов (вставить слово)
Максимальное число линейно независимых вектор-строк матрицы называется ее __________ (слово)
Матрица вырождена при , равном…
Матрица не имеет обратной при k, равном …
Матрица не имеет обратной при k, равном …
Матрица не имеет обратной при k, равном …
Матрица не имеет обратной при k, равном …
Матрица не имеет обратной при k, равном …
Матрица вырождена при , равном…
Матрица не имеет обратной при k, равном …
Матрица не имеет обратной при k, равном …
Матрица , тогда определитель равен:
Матрица для матрицы равна:
Матрица для матрицы равна:
Матрица для матрицы А = имеет вид:
Матрица , обратная к матрице , равна:
Матрица является вырожденной при , равном:
Матрица является вырожденной при , равном:
Матрица является вырожденной при , равном:
Матрица не имеет обратной при , равном:
Матрица для матрицы равна:
Матрица не имеет обратной при , равном:
Матрица не имеет обратной при , равном:
Матрица В перестановочная с матрицей А и такая, что ее произведение с матрицей А дает единичную матрицу, называется _________ к матрице А (вставить слово)
Матрица из алгебраических дополнений для матрицы А = имеет вид:
Матрица из алгебраических дополнений для матрицы А = имеет вид:
Матрица из алгебраических дополнений матрицы равна:
Матрица из алгебраических дополнений матрицы равна:
Матрица, обратная данной матрице , имеет вид …
Матрица, обратная данной матрице , имеет вид …
Матрица, обратная данной матрице , имеет вид …
Матрица, обратная данной матрице , имеет вид …
Матрица, обратная данной матрице , имеет вид …
Матрица, обратная данной матрице , имеет вид …
Матрица, обратная данной матрице , имеет вид …
Матрица, обратная данной матрице , имеет вид …
Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется _________ матрицей (вставить слово)
Матрица, определитель которой равен нулю, называется ____________ (вставьте слово)
Матрица, составленная из алгебраических дополнений к диагональной матрице, является ________ матрицей (слово)
Матрицей обратной к матрице , является матрица:
Матрицей, обратной к матрице , является матрица:
Матрицей, обратной к матрице , является матрица:
Матрицей, обратной к матрице , является матрица:
Матрицей, обратной к матрице , является матрица:
Матрицы и взаимно обратные Тогда произведение (det)(det) равно:
Матрицы А и В имеют вид: , тогда они являются взаимно обратными при а=:
Минимальная часть произведения двух комплексно-сопряженных чисел Z = a + bi и равна:
Множество решений системы линейных однородных уравнений образует линейное ________ пространства Rn
Модуль, равный , имеют комплексные числа …
Модуль, равный , имеют комплексные числа …
Модуль, равный , имеют комплексные числа …
Неоднородная система уравнений , где А – невырожденная матрица:
Неоднородное уравнение с тремя переменными :
Обратная матрица А-1 для матрицы А существует и единственная тогда и только тогда, когда исходная матрица А _________ (вставить слово)
Общее решение системы имеет вид:
Общее решение системы имеет вид:
Общее решение системы линейных уравнений имеет вид:
Общее решение системы линейных уравнений в векторной форме имеет вид:
Общее решение системы линейных уравнений имеет вид:
Общее решение системы линейных уравнений имеет вид:
Общее решение системы уравнений имеет вид:
Общее решение системы имеет вид:
Общее решение уравнения с тремя неизвестными имеет вид:
Одно уравнение с тремя неизвестными имеет решения в виде:
Одно уравнение с тремя неизвестными имеет:
Одно уравнение с тремя неизвестными :
Однородное уравнение с тремя переменными имеет решения в виде:
Однородное уравнение с тремя переменными имеет:
Операция произведения матриц правильно определена для матричного умножения вида …
Операция произведения матриц правильно определена для матричного умножения вида …
Операция произведения матриц правильно определена для матричного умножения вида …
Операция произведения матриц правильно определена для матричного умножения вида …
Операция произведения матриц правильно определена для матричного умножения вида …
Определитель равен 0, если равно …
Определитель равен 0, если равно …
Определитель равен 0, если равно …
Определитель равен…
Определитель равен 0 при =…
Определитель равен .
Определитель равен 0 при =…
Определитель равен:
Определитель равен:
Определитель detA = — Тогда определитель det равен:
Определитель detA = Тогда определитель det равен:
Определитель detA = Тогда определитель det равен:
Определитель detA = Тогда определитель det равен:
Определитель равен:
Определитель равен:
Определитель равен:
Определитель равен:
Определитель = 0 при равном:
Определитель = 0 при :
Определитель равен 0 при , равном:
Определитель равен 6 при , равном:
Определитель равен 0 при , равном:
Определитель равен 0 при равном:
Определитель равен 1 при: при любых
Определитель равен:
Определитель равен:
Определитель равен:
Определитель матрицы равен …
Определитель матрицы равен …
Определитель матрицы для матрицы А = равен:
Определитель матрицы равен:
Определитель матрицы равен:
Определитель матрицы равен:
Определитель матрицы А равен (-1) Тогда определитель обратной к ней матрицы равен:
Основным точным методом решения системы линейных уравнений является метод _______ (вставьте название метода)
Пара комплексных чисел, у которых действительные части равны, а мнимые части имеют противоположные знаки, называются _________ (слово)
При перемножении двух комплексных чисел, их аргументы ________ (слово)
При перестановке двух строк определителя модуль определителя ________ (слово)
При перестановке строк матрицы ее ранг __________ (слово)
При решении системы уравнений пятого порядка методом Крамера необходимо вычислить n определителей, где n =
При транспонировании определитель ________________________ (что делает? Меняет знак или не изменяется? Выберите верный ответ)
При умножении матрицы размерности на матрицу , получилась матрица размерности . Тогда матрица имеет размерность …
При умножении матрицы размерности на матрицу , получилась матрица размерности . Тогда матрица имеет размерность …
Пусть , тогда имеет вид:
Пусть , тогда имеет вид:
Пусть А – матрица второго порядка и , тогда равен:
Пусть комплексное число Тогда для Z4 справедливо
Пусть матрица , тогда определитель равен:
Пусть матрица , тогда определитель матрицы, составленной из алгебраических дополнений матрицы А, равен:
Пусть матрица А – квадратная матрица третьего порядка с определителем detA = Тогда определитель матрицы из алгебраических дополнений к элементам матрицы А равен:
Пусть матрица А – квадратная, второго порядка с определителем detA = Тогда определитель матрицы из алгебраических дополнений к элементам матрицы А равен:
Разложение определителя по элементам третьей строки имеет вид …
Разложение определителя по элементам первой строки имеет вид…
Разложение определителя по элементам третьего столбца имеет вид …
Разность между числом базисных и свободных переменных системы уравнений равна …
Разность между числом свободных и базисных переменных системы уравнений равна …
Разность между числом свободных и базисных переменных системы уравнений равна …
Разность между числом свободных и базисных переменных системы уравнений равна …
Ранг вырожденной матрицы четвертого порядка:
Ранг диагональной матрицы равен _________ ненулевых элементов ее главной диагонали (слово)
Ранг квадратной матрицы четвертого порядка равен . Тогда определитель этой матрицы равен…
Ранг матрицы равен 2. Тогда ранг матрицы равен …
Ранг матрицы равен 2. Тогда ранг матрицы равен …
Ранг матрицы равен 2. Тогда ранг матрицы равен …
Ранг матрицы равен 2. Тогда ранг матрицы равен …
Ранг матрицы равен 2. Тогда ранг матрицы равен …
Ранг матрицы равен:
Ранг матрицы равен:
Ранг матрицы равен:
Ранг ступенчатой матрицы _________ числу ее угловых элементов (слово)
Расширенная матрица системы уравнений имеет вид: Решение системы равно:
Результатом выполнения действий в выражении (3i + i3)2 является число Z
Результатом выполнения действий в выражении является число Z
С помощью элементарных преобразований Гаусса произвольную матрицу можно привести к _________ виду (вставить название теоремы)
Система :
Система векторов называется _______________, если векторы взаимно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице (вставьте слово)
Система линейных уравнений , где А – квадратная матрица имеет единственное решение тогда и только тогда, когда А _________ матрица (вставить слово)
Система линейных уравнений имеет:
Система линейных уравнений совместима тогда и только тогда, когда ранг матрицы А __________ рангу расширенной матрицы (вставить слово)
Система уравнений , где :
Система уравнений имеет:
Система уравнений имеет:
Система уравнений имеет:
Система уравнений может быть решена по правилу Крамера тогда и только тогда, когда матрица А _________ матрица (вставить слово)
Система уравнений имеет единственное решение при значении :
Система уравнений может быть решена методом Крамера при :
Система уравнений имеет единственное решение при значении :
Система уравнений может быть решена методом Крамера при значении , равном:
Система уравнений :
Система уравнений:
Теорема, определяющая критерий совместности системы линейных уравнений, носит название ________ (вставить название теоремы)
Тригонометрическая форма числа Z = i имеет вид:
Тригонометрическая форма числа имеет вид:
Укажите верные соответствия
Укажите верные соответствия
Укажите верные соответствия
Укажите верные соответствия
Укажите верные соответствия для решения системы методом Крамера:
Укажите верные соответствия для системы с пятью неизвестными :
Укажите верные соответствия между матрицей АВ и ее типом для данных матриц А и В:
Укажите верные соответствия:
Укажите систему линейных уравнений, подготовленную для обратного хода метода Гаусса.
Укажите систему линейных уравнений, подготовленную для обратного хода метода Гаусса.
Укажите систему линейных уравнений, подготовленную для обратного хода метода Гаусса.
Указать верные соответствия:
Указать верные соответствия:
Установите верные соответствия между взаимно обратными матрицами:
Установите верные соответствия между матрицей А и матрицей , составленной из алгебраических дополнений к элементам матрицы А
Фундаментальной системой решений называется ________ подпространства решений системы (слово)
Число , записанное в алгебраической форме, имеет вид:
Число , записанное в тригонометрической форме, имеет вид:
Число , записанное в тригонометрической форме, имеет вид:
Число , записанное в алгебраической форме, имеет вид:
Число в алгебраической форме имеет вид:
Число в алгебраической форме имеет вид:
Число векторов в базисе пространства равно _______ пространства (слово)
Чтобы для квадратной матрицы существовала обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы была _________ матрицей (вставить слово)
Элементарные преобразования над строками матрицы __________ ее ранга (слово)