Разложить в ряд фурье систему уравнений (3 видео)

Разложение в ряд Фурье онлайн

Разложение некоторой функции f ( x ) в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [- k , k ] имеет вид:

В качестве примера, разложим в ряд Фурье функцию f ( x ) = x на отрезке [ -1 , 1 ]. В этом случае коэффициенты a _n и b _n определяются по формулам:

Таким образом, разложение функции f ( x ) = x в ряд Фурье на отрезке [ -1 , 1 ] имеет вид:

На рисунке ниже приведено два графика: f ( x ) = x (красным цветом) и

, (синим цветом) для которого мы взяли порядок разложения функции в ряд Фурье равным 25.

Стоит отметить, что в приведенном выше примере, коэффициенты a _n равны нулю не случайно. Дело в том, что функция f ( x ) = x является нечетной на интервале [ -1 , 1 ]. Функция

— напротив является чётной. Произведение чётной функции на нечетную является нечётной функцией, поэтому согласно свойствам, интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.

В случае, если бы мы раскладывали в ряд Фурье на симметричном интервале какую-нибудь чётную функцию, например x 2 , коэффициенты b _n равнялись бы нулю, поскольку в этом случае, подинтегральное выражение

— являлось бы нечётной функцией.

Исходя из приведённых выше рассуждений можно сделать следующие выводы:

Разложение в ряд Фурье нечётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с синусами.
Разложение в ряд Фурье чётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с косинусами.
Если нам необходимо получить разложение в ряд Фурье некоторой произвольной функции на интервале [ 0 , b ] , то у нас есть две возможности. Мы можем продолжить эту функцию на интервал [ -b , 0 ] нечётным образом и тогда в разложении получим только синусы. Или же мы можем продолжить её в указанный интервал чётным образом и тогда получим в разложении только косинусы.

Стоит также отметить, что используя приведённые выше формулы и соответствующую замену переменной, можно получить формулы для коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на произвольном интервале [ p , q ]:

Содержание

Ряды Фурье с примерами решений
Понятие ряда Фурье
Сходимость ряда Фурье и сумма ряда
Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение
Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
Ряды Фурье с периодом 2l
Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение
Ряд Фурье по-шагам
Результат
Примеры разложения в ряд Фурье
Правила ввода
🎬 Видео

Видео:13.1. Что такое ряд Фурье?Скачать

Ряды Фурье с примерами решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Видео:13.2 Разложение функции в ряд Фурье. Пример 1.Скачать

Понятие ряда Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . a n , b n , . — коэффициенты Фурье.

Более сжатая запись ряда Фурье с символом «сигма»:

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда, в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π, π] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .

Вышеупомянутое свойство видно на графике внизу: здесь график суммы ряда для функции f(x) = x . Вне отрезка [-π, π] сумма ряда является периодическим продолжением данной функции: график функции бесконечно повторяется справа и слева.

Видео:Ряд Фурье для cos(at) ведет к разложению котангенса на простые дробиСкачать

Сходимость ряда Фурье и сумма ряда

Пусть функция F(x) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f(x) , если на отрезке [-π, π] имеет место F(x) = f(x)

Если на отрезке [-π, π] ряд Фурье сходится к функции f(x) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(x) и её производная f ‘ (x) — непрерывные на отрезке [-π, π] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , в которой f(x) непрерывна, сумма ряда равна f(x) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева:

где и .

На концах отрезка [-π, π] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:

В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , сумма ряда Фурье равна F(x) , если x — точка непрерывности F(x) , и равна среднему арифметическому пределов F(x) слева и справа:

Пример 1. Периодическая функция f(x) с периодом 2π определена следующим образом:

Проще эта функция записывается как f(x) = |x| . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.

Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:

Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Дана периодическая функция с периодом 2π :

Определить коэффициенты Фурье.

Видео:13.10 Разложение в ряд Фурье по синусам и по косинусам непериодических функцийСкачать

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Пусть функция f(x) определена на отрезке [-π, π] и является чётной, т. е. f(- x) = f(x) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:

Пусть теперь функция f(x) , определённая на отрезке [-π, π] , нечётная, т.е. f(x) = — f( — x) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f(x) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл:

Получаем ряд Фурье данной функции:

Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Получаем ряд Фурье данной функции:

Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку .

Видео:Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графическиСкачать

Ряды Фурье с периодом 2l

Пусть функция f(x) определена на отрезке [— l, l] ( l — произвольное положительное число). Тогда формула ряда Фурье этой функции принимает вид

где коэффициенты Фурье определяются по следующим формулам:

Пример 5. Разложить в ряд Фурье с периодом 2l функцию f(x) , которая на отрезке [— l, l] задаётся формулой .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициент Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Ряд Фурье данной функции:

Это равенство справедливо для любого , а это значит, что ряд сходится на всей числовой прямой.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Разложить в ряд Фурье с периодом 4 периодическую функцию , .

Видео:13.8. Разложение в ряд Фурье функции произвольного периода. Пример 5.Скачать

Ряд Фурье по-шагам

Видео:13.6. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периодаСкачать

Результат

Примеры разложения в ряд Фурье

Элементарные функции

Указанные выше примеры содержат также:

квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x)
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
показательные функции и экспоненты exp(x)
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x)
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
число Пи pi
комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте: