Разделить обе части уравнения на одно и тоже число

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

Свойства уравнений

• Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
• Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
• Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному

Линейное уравнение

Уравнение вида , где — переменная, и некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения и
Корни уравнения		-любое число	корней нет

Одночлены и многочлены

Одночлены

• Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
• Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
• Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
• Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
• Нуль-одночлен степени не имеет.

Многочлены

• Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
• Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
• Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений пл юс квадрат второго выражении:

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, н а зывают полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Многочлен называют неполным квадратом разности.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выр а жений и неполного квадрата их разности:

Многочлен называют неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

Степень. Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с целым показателем

Для любого и любых целых выполняются равенства:

Для любых , и любого целого выполняются равенства:

Функция. Область определения и область значений функции

Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной п e ременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают , зависимую обозначают , функцию(правило) — .
Независимую переменную называют аргументом функции. Значение зависимой переменной называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают .
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства

• Функцию, которую можно задать формулой вида , где и — некоторые числа, — независимая переменная, называют линейной.
• Графиком линейной функции является прямая.
• Линейную функцию, заданную формулой , где , называют прямой пропорциональностью.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

• все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
• координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

• построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
• найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
• полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

• если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
• если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
• если прямые параллельны, то система решений не имеет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

• выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
• подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
• решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
• подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
• вычислить значение второй переменной;
• записать ответ.

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

• подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
• сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
• решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
• подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
• вычислить значение второй переменной;
• записать ответ.

Видео:Свойства уравнений. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же число. Алгебра 7 кл.Скачать

2)Обе части уравнения разделили на одно и тоже число, отличное от нуля?

Математика | 5 — 9 классы

2)Обе части уравнения разделили на одно и тоже число, отличное от нуля.

Изменились ли корни данного уравнения?

3)сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.

4)какие уравнения называют линейными?

2. не изменились

При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую знак слагаемого изменяется на противоположный

Линейное уравнение— это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1.

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Какое равенство называют уравнением?

Какое равенство называют уравнением?

Какое число называют корнем уравнения?

Как найтти неизвестное слагаемое ; вычитаемое ; уменьшаемое?

Видео:Как умножать или делить обе части уравнения на одно и тоже число.Скачать

Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание?

Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание.

А) Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения ______________ или_____________ на одно и тоже число, не равное ___________________.

Б) Корни уравнения не изменяются, если какое — нибудь слагаемое________________ из одной части в другую, ___________________ при этом знак.

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Какое из уравнений является линейным уравнением с одной переменной?

Какое из уравнений является линейным уравнением с одной переменной.

Видео:Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать

Какое равенство называют уравнением?

Какое равенство называют уравнением?

Какое число называют корнем уравнения?

Что значить решить уравнение?

Как проверить, верно ли решено уравнение?

Как найти неизвестное слагаемое ; вычитаемое ; уменьшаемое.

Видео:Решение уравнений 3 урокСкачать

Какое равенство называют уравнением?

Какое равенство называют уравнением?

Какое число называют корнем уравнения?

Видео:6 класс, 42 урок, Решение уравненийСкачать

CРОЧНО Решите уравнение : 16 х + 9 = 14х + 15 по алгоритму : 1) Перенести члены, содержащие переменную, в одну часть, а свободные члены — в другую?

CРОЧНО Решите уравнение : 16 х + 9 = 14х + 15 по алгоритму : 1) Перенести члены, содержащие переменную, в одну часть, а свободные члены — в другую.

2) Привести подобные слагаемые.

3) Обе части уравнения разделить на коэффициенты при х и найти корень уравнения.

Видео:Теория. Умножение и деление обеих частей уравнения (5-8 класс)Скачать

Как переносить дробь в другую часть уравнения и какие знаки становятся в числители, если он состоит не из одного числа а например 8 + 7, то плюс поменяется на минус?

Как переносить дробь в другую часть уравнения и какие знаки становятся в числители, если он состоит не из одного числа а например 8 + 7, то плюс поменяется на минус?

Видео:Решение уравнений. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую. Математика 6 классСкачать

К * 7 = 574 преобразуй правую часть каждого уравнения так, чтобы решение уравнения потре бовало выполнения большего количества действий, но корни уравнений не изменились?

К * 7 = 574 преобразуй правую часть каждого уравнения так, чтобы решение уравнения потре бовало выполнения большего количества действий, но корни уравнений не изменились.

Видео:Линейное уравнение с одним неизвестным.Скачать

Решите уравнение 18x — 24 = 15x + 3 используйте описание ходаСоберём слагаемые с x в одной части уравнения, остальные в другойПриведём подобные членыРазделим обе части уравнения на коэффициент при x?

Решите уравнение 18x — 24 = 15x + 3 используйте описание хода

Соберём слагаемые с x в одной части уравнения, остальные в другой

Приведём подобные члены

Разделим обе части уравнения на коэффициент при x.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Упростите уравнение, разделив обе его части на одно и то же число, а затем найдите его корни : 9(7y — 5) — 3(9y + 11) = 6(15 — 4y) + 27?

Упростите уравнение, разделив обе его части на одно и то же число, а затем найдите его корни : 9(7y — 5) — 3(9y + 11) = 6(15 — 4y) + 27.

Перед вами страница с вопросом 2)Обе части уравнения разделили на одно и тоже число, отличное от нуля?, который относится к категории Математика. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

Видео:Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать

Линейные, квадратные и кубические уравнения

На этой странице вы узнаете:

• Почему неизвестное обозначают через x?
• Как находить корни квадратного уравнения, не считая их?
• Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения?

Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Понятие уравнения

Главный секрет математики в том, что любую задачу можно решить уравнением. А решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Давай разберемся как это сделать.

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное, обозначенное буквой.

Корнем уравнения называется такое значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством.

Например, число 8 будет корнем уравнения 2x — 3 = 5 + x, потому что равенство 2 * 8 — 3 = 5 + 8 верное.

Видео:Уравнение вида ах = с 6 класс Часть 2 Теперь учимся высвобождать переменную от множителя.Скачать

Линейные уравнения

Что же такое линейное уравнение?

Линейное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 1.

Вид линейного уравнения:

ax + b=0 , где
х – неизвестная
а – коэффициент при неизвестной
b – свободный член

Стоит отметить, что а и b в таком уравнение известны, также оба этих числа можно называть коэффициентами.

Как же решить такое уравнение?

Для решения линейного уравнения нужно выразить х и найти числовое значение, то есть сделать такие преобразования, чтобы в одной части уравнения осталась только неизвестная, а в другой собралось все остальное.

Преобразования, которые можно совершать:

1. Переносить слагаемое в другую часть уравнения с противоположным знаком.

x — 5 = 0
x = 0 + 5
x = 5

1. Умножать или делить обе части уравнение на одно и то же число или выражение, которое не равно нулю.

Давайте рассмотрим решение линейного уравнения на следующем примере

2(x + 5) — 4x + 2 = 0

1. Сначала раскроем скобки
   2x + 10 — 4x + 2 = 0

1. Для упрощения сложим подобные слагаемые
   -2x + 12 = 0

1. Теперь перенесем слагаемое без неизвестной в правую часть и разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестной, то есть выразим х
   -2x = -12 | : (-2)
   x = 6

Значение неизвестной найдено, а значит единственное решение данного уравнения 6

С линейными уравнениями можно столкнуться и в жизни.

Допустим, нам нужно приготовить 570 грамм теста на пирожки.

Обозначим вес одной части за x. Составим и решим уравнение для получения этого количества теста:

12x + 6x + x = 570
19x = 570
x = 30

Мы узнали, что одна часть — это 30 грамм. Теперь посчитаем сколько грамм продуктов нам потребуется.

• Мука: 12 * 30 = 360 грамм
• Вода: 6 * 30 = 180 грамм
• Растительное масло: 1 * 30 = 30 грамм

Видео:Решение уравнений - математика 6 классСкачать

Квадратные уравнения

Мы уже знаем, что такое линейное уравнение. Но как же выглядит квадратное?

Квадратное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 2.

Вид квадратного уравнения:

ax 2 + bx + c = 0 , где
х — неизвестная
а и b – коэффициенты при неизвестной
с – свободный член

Стоит отметить, что а, b и с – известные числа.

Какими бывают квадратные уравнения?

Эти виды квадратных уравнений отличаются тем, что у полного квадратного уравнения есть оба коэффициента и свободный член, а у неполного может отсутствовать или второй коэффициент, или свободный член.

Решение несколько неполных квадратных уравнений на примере:

x 2 + 2x = 0 x * (x + 2) = 0 Ответ: 0 и -2

x 2 — 4 = 0 x 2 = 4 x = ±2 Ответ: 2 и -2

Полное квадратное уравнение может иметь 2 корня, 1 корень или не иметь корней. Количество корней зависит от дискриминанта

Видео:Равносильные уравненияСкачать

Что такое дискриминант?

Дискриминант в квадратном уравнении — это выражение, которое ищется по следующей формуле, где а, b и с берутся из уравнения:

D = b 2 — 4 ⋅ a ⋅ c

Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения? Если D > 0, то уравнение имеет 2 корня. Если D = 0, то уравнение имеет 1 корень. Если D Дискриминант нужен не только для определения количества корней, но и для их нахождения одним из способов. Способы решения квадратных уравнений: Решение через дискриминант Корни квадратного уравнения находятся по этим формулам, где а и b берутся из уравнения, а D – это дискриминант: По теореме Виета Как находить корни квадратного уравнения, не считая их? По теореме Виета корни нужно подбирать, поэтому она удобна для нахождения рациональных корней. Данная теорема заключается в связывании корней уравнения и коэффициентов многочлена системой двух уравнений. где а, b и с – коэффициенты квадратного уравнения x1 и x2 – корни квадратного уравнения Давайте рассмотрим решение квадратного уравнения на следующем примере 1 способ: D = (-5) 2 — 4 ⋅ 2 ⋅ (-3) = 25 + 24 = 49 Дискриминант больше нуля, следовательно, у уравнения 2 корня, найдем их Решениями уравнения являются числа 3 и -12. 2 способ: Запишем систему по теореме Виета Теперь подберем такие два числа, чтобы их сумма была (frac), а произведение -(frac), это будут числа 3 и -12. Значит, решениями уравнения являются числа 3 и -12. Видео:Как решают уравнения в России и СШАСкачать Кубические уравнения Перейдем к последнему виду уравнений. Что же такое кубическое уравнение и как оно выглядит? Кубическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 3. Вид кубического уравнения: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где х — неизвестная а, b и с – коэффициенты при неизвестной d – свободный член Стоит отметить, что а, b, с и d – известные числа. Преобразования, которые можно совершать в кубических уравнениях: Вынесение общего множителя за скобки. Вынесение общего множителя за скобки можно сравнить с делением фруктов в обеих тарелках на одинаковые части и вынесением такой части в отдельную тарелку. Алгоритм: Разложить каждое слагаемое на множители. Вынести за скобку множители, которые есть в обоих слагаемых. Вынести скобку, как общий множитель. x 3 — 2x 2 — 3x = x * x * x — 2 * x * x — 3 * x = x * (x 2 — 2x — 3) Группировка Алгоритм: Объединить слагаемые в пары. Вынести общий множитель из каждой скобки, чтобы получились одинаковые скобки. 6x 3 + 9x 2 + 8x + 12 = (6x 3 + 9x 2 ) + (8x + 12) = 3x 2 * (2x + 3) + 4 * (2x + 3) = = (3x 2 +4) * (2x+3) Рассмотрим решение кубического уравнения 4x + x 3 = x 2 + 4 Перенесем все слагаемые в левую часть 4x + x 3 — x 2 — 4 = 0 Заметим, что удобнее группировать 1 и 2 слагаемые и 3 и 4 слагаемые (4x + x 3 ) — (x 2 + 4) = 0 Вынесем общий множитель х из первой скобки x * (4 + x 2 ) — (x 2 + 4) = 0 Вынесем ещё один общий множитель x 2 + 4 за скобки (x — 1) * (4 + x 2 ) = 0 Чтобы произведение было равно 0, один из множителей должен быть равен 0, запишем совокупность Решим каждое уравнение отдельно x — 1 = 0 x = 1 4 + x 2 = 0 x 2 = -4 Нет решений, так как x 2 ≥ 0 верно для любого х Из этого следует, что у данного уравнения есть только одно решение x=1 Видео:Математика 6 класс (Урок№50 - Уравнения. Часть 2.)Скачать Фактчек В линейном уравнении неизвестная находится в степени 1. Для решения такого уравнения в одной части уравнения нужно оставить только неизвестную, а в другой собрать все остальное. В кубическом уравнении неизвестная в квадрате, то есть в степени 2. Решать такое уравнение можно через дискриминант или по теореме Виета В кубическом уравнении неизвестная находится в кубе, то есть в степени 3. Для решения такого уравнения используется вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. Видео:Как решить уравнение #россия #сша #америка #уравненияСкачать Проверь себя Задание 1. Найдите корень уравнения (2x + 4) ⋅ 3 — 2x = 0 Задание 2. Сколько корней будет у уравнения x 2 + x — 2 = 0? Нет корней Один корень Два корня Три корня Задание 3. Найдите корни уравнения x 2 + 4x — 5 = 0 Задание 4. Найдите корни уравнения x 2 — 5x = 0 Задание 5. Найдите корни уравнения 12x + 4 — 12x 3 — 4x 2 =0 Ответы: 1. — 4; 2. — 3; 3. — 2; 4. -1; 5. — 3 📺 Видео Решение уравненийСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Сера — химические свойства, получение, соединения. Нитрат кальция: способы получения и химические свойства Кальций: способы получения и химические свойства Гидроксид натрия: способы получения и химические свойства Гидроксид кальция: способы получения и химические свойства Получение бензола Разница между глюкозой и сахарозой Гидроксид калия: способы получения и химические свойства