Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.
- 2)Обе части уравнения разделили на одно и тоже число, отличное от нуля?
- Какое равенство называют уравнением?
- Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание?
- Какое из уравнений является линейным уравнением с одной переменной?
- Какое равенство называют уравнением?
- Какое равенство называют уравнением?
- CРОЧНО Решите уравнение : 16 х + 9 = 14х + 15 по алгоритму : 1) Перенести члены, содержащие переменную, в одну часть, а свободные члены — в другую?
- Как переносить дробь в другую часть уравнения и какие знаки становятся в числители, если он состоит не из одного числа а например 8 + 7, то плюс поменяется на минус?
- К * 7 = 574 преобразуй правую часть каждого уравнения так, чтобы решение уравнения потре бовало выполнения большего количества действий, но корни уравнений не изменились?
- Решите уравнение 18x — 24 = 15x + 3 используйте описание ходаСоберём слагаемые с x в одной части уравнения, остальные в другойПриведём подобные членыРазделим обе части уравнения на коэффициент при x?
- Упростите уравнение, разделив обе его части на одно и то же число, а затем найдите его корни : 9(7y — 5) — 3(9y + 11) = 6(15 — 4y) + 27?
- Линейные, квадратные и кубические уравнения
- На этой странице вы узнаете:
- Понятие уравнения
- Линейные уравнения
- Квадратные уравнения
- Что такое дискриминант?
- Кубические уравнения
- Фактчек
- Проверь себя
- 🔥 Видео
Свойства уравнений
- Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
- Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
- Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному
Линейное уравнение
Уравнение вида , где — переменная, и некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.
Значения и | |||
---|---|---|---|
Корни уравнения | -любое число | корней нет |
Одночлены и многочлены
Одночлены
- Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
- Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
- Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
- Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
- Нуль-одночлен степени не имеет.
Многочлены
- Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
- Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
- Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.
Умножение одночлена на многочлен
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.
Формулы сокращенного умножения
Разность квадратов двух выражений
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
Произведение разности и суммы двух выражений
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:
Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений пл юс квадрат второго выражении:
Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений
позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.
Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, н а зывают полным квадратом.
Сумма и разность кубов двух выражений
Многочлен называют неполным квадратом разности.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выр а жений и неполного квадрата их разности:
Многочлен называют неполным квадратом суммы.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:
Степень. Свойства степени с целым показателем
Свойства степени с целым показателем
Для любого и любых целых выполняются равенства:
Для любых , и любого целого выполняются равенства:
Функция. Область определения и область значений функции
Функция
Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной п e ременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают , зависимую обозначают , функцию(правило) — .
Независимую переменную называют аргументом функции. Значение зависимой переменной называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают .
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Способы задания функции
Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.
График функции
Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Линейная функция, её график и свойства
- Функцию, которую можно задать формулой вида , где и — некоторые числа, — независимая переменная, называют линейной.
- Графиком линейной функции является прямая.
- Линейную функцию, заданную формулой , где , называют прямой пропорциональностью.
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными
Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.
Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.
Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.
Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:
- все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
- координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:
- построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
- найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
- полученные пары чисел и будут искомыми решениями.
Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:
- если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
- если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
- если прямые параллельны, то система решений не имеет.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки
Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:
- выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
- подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
- решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
- подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
- вычислить значение второй переменной;
- записать ответ.
Решение систем линейных уравнений методом сложения
Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:
- подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
- сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
- решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
- подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
- вычислить значение второй переменной;
- записать ответ.
Видео:Как умножать или делить обе части уравнения на одно и тоже число.Скачать
2)Обе части уравнения разделили на одно и тоже число, отличное от нуля?
Математика | 5 — 9 классы
2)Обе части уравнения разделили на одно и тоже число, отличное от нуля.
Изменились ли корни данного уравнения?
3)сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
4)какие уравнения называют линейными?
2. не изменились
При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую знак слагаемого изменяется на противоположный
Линейное уравнение— это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1.
Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать
Какое равенство называют уравнением?
Какое равенство называют уравнением?
Какое число называют корнем уравнения?
Как найтти неизвестное слагаемое ; вычитаемое ; уменьшаемое?
Видео:Свойства уравнений. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же число. Алгебра 7 кл.Скачать
Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание?
Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание.
А) Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения ______________ или_____________ на одно и тоже число, не равное ___________________.
Б) Корни уравнения не изменяются, если какое — нибудь слагаемое________________ из одной части в другую, ___________________ при этом знак.
Видео:6 класс, 42 урок, Решение уравненийСкачать
Какое из уравнений является линейным уравнением с одной переменной?
Какое из уравнений является линейным уравнением с одной переменной.
Видео:Решение уравнений 3 урокСкачать
Какое равенство называют уравнением?
Какое равенство называют уравнением?
Какое число называют корнем уравнения?
Что значить решить уравнение?
Как проверить, верно ли решено уравнение?
Как найти неизвестное слагаемое ; вычитаемое ; уменьшаемое.
Видео:Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать
Какое равенство называют уравнением?
Какое равенство называют уравнением?
Какое число называют корнем уравнения?
Видео:Теория. Умножение и деление обеих частей уравнения (5-8 класс)Скачать
CРОЧНО Решите уравнение : 16 х + 9 = 14х + 15 по алгоритму : 1) Перенести члены, содержащие переменную, в одну часть, а свободные члены — в другую?
CРОЧНО Решите уравнение : 16 х + 9 = 14х + 15 по алгоритму : 1) Перенести члены, содержащие переменную, в одну часть, а свободные члены — в другую.
2) Привести подобные слагаемые.
3) Обе части уравнения разделить на коэффициенты при х и найти корень уравнения.
Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать
Как переносить дробь в другую часть уравнения и какие знаки становятся в числители, если он состоит не из одного числа а например 8 + 7, то плюс поменяется на минус?
Как переносить дробь в другую часть уравнения и какие знаки становятся в числители, если он состоит не из одного числа а например 8 + 7, то плюс поменяется на минус?
Видео:Линейное уравнение с одним неизвестным.Скачать
К * 7 = 574 преобразуй правую часть каждого уравнения так, чтобы решение уравнения потре бовало выполнения большего количества действий, но корни уравнений не изменились?
К * 7 = 574 преобразуй правую часть каждого уравнения так, чтобы решение уравнения потре бовало выполнения большего количества действий, но корни уравнений не изменились.
Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать
Решите уравнение 18x — 24 = 15x + 3 используйте описание ходаСоберём слагаемые с x в одной части уравнения, остальные в другойПриведём подобные членыРазделим обе части уравнения на коэффициент при x?
Решите уравнение 18x — 24 = 15x + 3 используйте описание хода
Соберём слагаемые с x в одной части уравнения, остальные в другой
Приведём подобные члены
Разделим обе части уравнения на коэффициент при x.
Видео:Решение уравнений. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую. Математика 6 классСкачать
Упростите уравнение, разделив обе его части на одно и то же число, а затем найдите его корни : 9(7y — 5) — 3(9y + 11) = 6(15 — 4y) + 27?
Упростите уравнение, разделив обе его части на одно и то же число, а затем найдите его корни : 9(7y — 5) — 3(9y + 11) = 6(15 — 4y) + 27.
Перед вами страница с вопросом 2)Обе части уравнения разделили на одно и тоже число, отличное от нуля?, который относится к категории Математика. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.
Видео:Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать
Линейные, квадратные и кубические уравнения
На этой странице вы узнаете:
- Почему неизвестное обозначают через x?
- Как находить корни квадратного уравнения, не считая их?
- Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения?
Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать
Понятие уравнения
Главный секрет математики в том, что любую задачу можно решить уравнением. А решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Давай разберемся как это сделать.
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное, обозначенное буквой.
Корнем уравнения называется такое значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством.
Например, число 8 будет корнем уравнения 2x — 3 = 5 + x, потому что равенство 2 * 8 — 3 = 5 + 8 верное.
Почему неизвестное обозначают через x? Арабские математики в IX веке для записи формул использовали слова. Неизвестную величину они называли “шей”, что буквально означает “нечто”. Выглядело это примерно так: Позднее испанские ученые переводили записи на свой язык. Они записывали неизвестное как xei, поскольку в их языке отсутствовал звук [ш]. С появлением формул слово сократилось до одной буквы x. |
Видео:Решение уравнений - математика 6 классСкачать
Линейные уравнения
Что же такое линейное уравнение?
Линейное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 1.
Вид линейного уравнения:
ax + b=0 , где
х – неизвестная
а – коэффициент при неизвестной
b – свободный член
Стоит отметить, что а и b в таком уравнение известны, также оба этих числа можно называть коэффициентами.
Как же решить такое уравнение?
Для решения линейного уравнения нужно выразить х и найти числовое значение, то есть сделать такие преобразования, чтобы в одной части уравнения осталась только неизвестная, а в другой собралось все остальное.
Преобразования, которые можно совершать:
- Переносить слагаемое в другую часть уравнения с противоположным знаком.
x — 5 = 0
x = 0 + 5
x = 5
- Умножать или делить обе части уравнение на одно и то же число или выражение, которое не равно нулю.
Давайте рассмотрим решение линейного уравнения на следующем примере
2(x + 5) — 4x + 2 = 0
- Сначала раскроем скобки
2x + 10 — 4x + 2 = 0
- Для упрощения сложим подобные слагаемые
-2x + 12 = 0
- Теперь перенесем слагаемое без неизвестной в правую часть и разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестной, то есть выразим х
-2x = -12 | : (-2)
x = 6
Значение неизвестной найдено, а значит единственное решение данного уравнения 6
С линейными уравнениями можно столкнуться и в жизни.
Допустим, нам нужно приготовить 570 грамм теста на пирожки.
Обозначим вес одной части за x. Составим и решим уравнение для получения этого количества теста:
12x + 6x + x = 570
19x = 570
x = 30
Мы узнали, что одна часть — это 30 грамм. Теперь посчитаем сколько грамм продуктов нам потребуется.
- Мука: 12 * 30 = 360 грамм
- Вода: 6 * 30 = 180 грамм
- Растительное масло: 1 * 30 = 30 грамм
Видео:Уравнение вида ах = с 6 класс Часть 2 Теперь учимся высвобождать переменную от множителя.Скачать
Квадратные уравнения
Мы уже знаем, что такое линейное уравнение. Но как же выглядит квадратное?
Квадратное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 2.
Вид квадратного уравнения:
ax 2 + bx + c = 0 , где
х — неизвестная
а и b – коэффициенты при неизвестной
с – свободный член
Стоит отметить, что а, b и с – известные числа.
Какими бывают квадратные уравнения?
Эти виды квадратных уравнений отличаются тем, что у полного квадратного уравнения есть оба коэффициента и свободный член, а у неполного может отсутствовать или второй коэффициент, или свободный член.
Решение несколько неполных квадратных уравнений на примере:
x 2 + 2x = 0 x * (x + 2) = 0 Ответ: 0 и -2 | x 2 — 4 = 0 x 2 = 4 x = ±2 Ответ: 2 и -2 |
Полное квадратное уравнение может иметь 2 корня, 1 корень или не иметь корней. Количество корней зависит от дискриминанта
Видео:Равносильные уравненияСкачать
Что такое дискриминант?
Дискриминант в квадратном уравнении — это выражение, которое ищется по следующей формуле, где а, b и с берутся из уравнения:
D = b 2 — 4 ⋅ a ⋅ c
Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения? Если D > 0, то уравнение имеет 2 корня. Дискриминант нужен не только для определения количества корней, но и для их нахождения одним из способов. Способы решения квадратных уравнений:
Корни квадратного уравнения находятся по этим формулам, где а и b берутся из уравнения, а D – это дискриминант:
где а, b и с – коэффициенты квадратного уравнения Давайте рассмотрим решение квадратного уравнения на следующем примере 1 способ: D = (-5) 2 — 4 ⋅ 2 ⋅ (-3) = 25 + 24 = 49
Решениями уравнения являются числа 3 и -12. 2 способ:
Значит, решениями уравнения являются числа 3 и -12. Видео:Как решают уравнения в России и СШАСкачать Кубические уравненияПерейдем к последнему виду уравнений. Что же такое кубическое уравнение и как оно выглядит? Кубическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 3. Вид кубического уравнения: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где Стоит отметить, что а, b, с и d – известные числа. Преобразования, которые можно совершать в кубических уравнениях: Вынесение общего множителя за скобки. Вынесение общего множителя за скобки можно сравнить с делением фруктов в обеих тарелках на одинаковые части и вынесением такой части в отдельную тарелку. Алгоритм:
x 3 — 2x 2 — 3x = x * x * x — 2 * x * x — 3 * x = x * (x 2 — 2x — 3) Группировка Алгоритм:
6x 3 + 9x 2 + 8x + 12 = (6x 3 + 9x 2 ) + (8x + 12) = 3x 2 * (2x + 3) + 4 * (2x + 3) = Рассмотрим решение кубического уравнения 4x + x 3 = x 2 + 4
4x + x 3 — x 2 — 4 = 0
(4x + x 3 ) — (x 2 + 4) = 0
x * (4 + x 2 ) — (x 2 + 4) = 0
(x — 1) * (4 + x 2 ) = 0
Из этого следует, что у данного уравнения есть только одно решение x=1 Видео:Математика 6 класс (Урок№50 - Уравнения. Часть 2.)Скачать Фактчек
Видео:Как решить уравнение #россия #сша #америка #уравненияСкачать Проверь себяЗадание 1. Задание 2.
Задание 3. Задание 4. Задание 5. Ответы: 1. — 4; 2. — 3; 3. — 2; 4. -1; 5. — 3 🔥 ВидеоРешение уравненийСкачать |