Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
- Описание презентации по отдельным слайдам:
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Дистанционные курсы для педагогов
- Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
- Другие материалы
- Вам будут интересны эти курсы:
- Оставьте свой комментарий
- Автор материала
- Дистанционные курсы для педагогов
- Подарочные сертификаты
- Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс
- 1 урок
- 2 урок (урок-лекция)
- 📺 Видео
Описание презентации по отдельным слайдам:
О равносильных переходах при решении тригонометрических уравнений Урок алгебры в 10 классе Учитель Бурнацева Е.В.
Цели урока Формирование прочных умений решения тригонометрических уравнений Формирование умения самостоятельно выбирать методы решения, планировать свои действия в соответствии с учебным заданием
Формирование предметных результатов Применяя тот или иной приём решения тригонометрических уравнений, мы обязательно должны учитывать тонкости, «подводные камни», которые могут возникнуть. Вне области определения корней быть не может. Если в ходе преобразований уравнения происходит расширение области его определения, то это может привести к появлению посторонних корней. Эту опасность надо учитывать при решении тригонометрических уравнений
Проверка д/з (Найти ошибки)
1.Решить уравнение. Решить самостоятельно
2. Решить уравнение Решить самостоятельно
а)Отбор корней для первой системы совокупности К=1, следовательно х=П б) отбор корней для второй системы совокупности Очевидно, что только при n=1 решение системы Ответ: П,
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
Дистанционные курсы для педагогов
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 565 561 материал в базе
Другие материалы
- 30.04.2020
- 179
- 6
- 30.04.2020
- 471
- 31
- 30.04.2020
- 141
- 0
- 30.04.2020
- 255
- 7
- 30.04.2020
- 560
- 43
- 30.04.2020
- 453
- 2
- 30.04.2020
- 72
- 2
- 29.04.2020
- 128
- 1
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 30.04.2020 651
- PPTX 4.5 мбайт
- 28 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Бурнацева Елена Витальевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 6 лет и 7 месяцев
- Подписчики: 2
- Всего просмотров: 23794
- Всего материалов: 46
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Видео:Равносильные переходы в уравненияхСкачать
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов
Время чтения: 1 минута
Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения
Время чтения: 3 минуты
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
В Египте нашли древние школьные «тетрадки»
Время чтения: 1 минута
Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств
Время чтения: 2 минуты
В Рособрнадзоре рассказали, как будет меняться ЕГЭ
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Видео:Равносильные переходы при решении иррациональных уравненийСкачать
§20. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОТЛИЧАЮЩИХСЯ ОТ ПРОСТЕЙШИХ.
Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.
20.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.
Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).
Задача 1. Решите уравнение 
.png)
З а м е ч а н и е.
Записывая решения задачи 1, можно при введении замены sin x = t учесть, что | sin x | ≤1 , и записать ограничения | t | ≤ 1 , а далее заметить, что один из корней t = 3 не удовлетворяет условию | t | ≤1 , и после этого обратную замену выполнять только для t = 1/2 .
Задача 2. Решите уравнение .png)
.
К о м м е н т а р и й
В заданное уравнение переменная входит только в виде tg 2x. Поэтому
удобно ввести новую переменную tg 2x = t. После выполнения обратной
замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений
следует в ответ записать все полученные корни.
.png)
При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений
можно воспользоваться таким о р и е н т и р о м.
1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.
2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.
3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет,
тогда пробуем привести уравнение к однородному.
4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить
произведение или используем специальные приемы решения.
20.2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ПРИВЕДЕНИЕМ К ОДНОЙ ФУНКЦИИ (С ОДИНАКОВЫМ
АРГУМЕНТОМ)
Задача 1 Решите уравнение соs 2x – 5 sin x – 3 = 0.
З а м е ч а н и е.
При желании ответ можно записать в виде: .png)
Задача 2 Решите уравнение tg x + 2 сtg x = 3.
.png)
20.3. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И ПРИВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
К ОДНОРОДНОМ
.png)
Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2
(напомним, что степень одночлена uv также равна 2). В этом случае уравнение (2) (и соответственно уравнение (1)) называется однородным, и для распознавания таких уравнений и их решения можно применять такой о р и е н т и р.
Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят
многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень* , то уравнение называется однородным. Решается однородное уравнение делением на наибольшую степень одной из переменных.
З а м е ч а н и е.
Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни
(если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю,
и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.
Задача 1 Решите уравнение .png)
.png)
Задача 2 Решите уравнение sin 3x = 5 соs 3x.
.png)
Задача 3 Решите уравнение .png)
.png)
20.4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА f (x) = 0
С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ
Задача 1 Решите уравнение sin 7x = sin 5x.
.png)
Задача 2 Решите уравнение sin x + sin 3x = sin 4x.
.png)
.png)
20.5. ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Если при решении тригонометрических уравнений необходимо выполнять отбор корней, то чаще всего это делается так:
находят (желательно наименьший) общий период всех тригонометрических функций, входящих в запись уравнения (конечно, если этот общий период существует); потом на этом периоде отбирают корни (отбрасывают посторонние), а те, которые остаются, периодически продолжают.
Пример Решите уравнение
.png)
І способ решения
.png)
З а м е ч а н и е.
При решении уравнения (1) мы не следили за равносильностью выполненых преобразований, но выполняли преобразования, не приводящие к потере корней. Тогда говорят (см. § 3), что мы пользовались
уравнениями-следствиями (если все корни первого уравнения являются
корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием
первого). В этом случае мы могли получить посторонние для данного уравнения корни (то есть те корни последнего уравнения, которые не являются
корнями данного). Чтобы этого не случилось, можно пользоваться следующим о р и е н т и р о м.
Если при решении уравнения мы пользовались уравнениями-следствиями, то проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является обязательной составной частью решения.
Если для решения этого же уравнения (1) мы будем использовать равносильные преобразования, то отбор корней будет организован немного иначе. А именно, нам придется учесть ОДЗ уравнения, то есть общую область
определения для всех функций, входящих в запись уравнения.
ІІ способ решения уравнения sin 4x tg x = 0.
Видео:Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения порядка. 10 класс.Скачать
Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
«Уравнения будут существовать вечно».
Цели урока:
- Образовательные:
- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
- сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
- Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
- формирование умения анализировать поставленную задачу;
- способствовать улучшению психологического климата в классе.
- Развивающие:
- способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
- способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;
Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.
1 урок
I. Актуализация опорных знаний
Устно решить уравнения:
1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –
6) sin
7) tgx =
8) cos 2 x – sin 2 x = 0
; 
; 
; 1) х = 2
2) х = ±
3) х =±
4) х =
5) х = (–1)
6) х = (–1)
7) х =
8) х =
+ 2
+ 2
II. Изучение нового материала
– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).
Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.
Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.
(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)
1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители
sin 4x = 3 cos 2x
Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 
= 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.
2x = 
+ 
к, к 
Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 
1
x = 
+ к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.
2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение
cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.
Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin 
= 2 sin 
сos
cos 3x + 2 sin 
сos 
= 0,
сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,
cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит 
Ответ:
3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.
Для решения уравнения воспользуемся формулой 
Ответ: 
4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,
Пусть sin x = t, где | t |
. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,
. Таким образом 
. 
не удовлетворяет условию | t |.
Значит sin x = 
. Поэтому 
.
Ответ: 
III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова
1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. 
(преобразование произведения в сумму)
(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)
№ 164 (а)
2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t 
= – 1, t
= . Откуда 
Ответ: –
.
№ 167 (а)
3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.
Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.
Ответ: 
№ 168 (а )
Ответ: 
№ 174 (а )
Ответ: 
Решить уравнение: 
Ответ: 
2 урок (урок-лекция)
IV. Изучение нового материала (продолжение)
– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.
5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений
Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.
sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.
Получим tg x – 1 = 0.
Ответ: 
Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.
sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.
tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.
Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.
тогда 
Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.
В итоге x = arctg 2 + 
, x = 
Ответ: arctg 2 + ,
Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).
Ответ: arctg 2 + k,
6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений
Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.
Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде: 
Учитывая, что 
и
, получим:
Ответ: 
7 способ. Введение дополнительного аргумента
Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:
.
(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)
Введём дополнительный аргумент – угол 
такой, что 
Тогда 
Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.
Учтём, что 
. Тогда получим 
0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что 
, т.е. = arcsin 0,6. Далее получим 
Ответ: – arcsin 0,8 + +
8 способ. Уравнения вида Р 
Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .
Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.
Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = 
. Следовательно получим:
t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим 
= 1, 
=
.
sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =
Ответ: 
9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.
Решить уравнение: 
В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида
, запишем систему, равносильную исходному уравнению:
Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.
1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.
Условию 
удовлетворяют только решения
Ответ: 
10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.
Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе: 
Решение системы 
Ответ:
V. Итог урока
Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.
(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )
Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).
📺 Видео
Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать
10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать
Одз не нужно. Равносильный переход в иррациональных уравнениях.Скачать
Тригонометрия в ЕГЭ может быть простойСкачать
Как решать тригонометрические уравнения? 3 способа решения для ЕНТ по математике 2023Скачать
Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать
Равносильность уравнений и неравенств. Видеоурок 7. Алгебра 10 классСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать
Решаем тригонометрические уравнения через разложение на множители или деление на косинус вСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 классСкачать
Все методы решения тригонометрических уравнений за 30 минутСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 7 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
