Равнопеременное криволинейное движение в поле силы тяжести кинематические уравнения такого движения (2 видео)

Движение в поле силы тяжести

Кинематика

Механика – раздел физики, изучающий механическое движение.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Кинематика – раздел механики, изучающий геометрические характеристики механического движения.

Основные понятия механического движения

Траектория – линия, которую описывает тело при своем движении.

Путь,S – длина траектории.

Перемещение, – направленный отрезок (вектор), соединяющий начальное и конечное положения тела при его движении.

Если размеры тела намного меньше проходимого им пути, то размерами тела можно пренебречь и рассматривать его как материальную точку.

Механическое движение всегда рассматривают относительно некоторой системы отчета, которая позволяет определить характеристики этого движения.

Систему отсчета образуют тело отсчета, связанная с ним прямоугольная система координат и прибор для измерения времени (часы).

Виды механического движения
по виду траектории	по характеру движения
прямолинейное	криволинейное	равномерное (с постоянной скоростью)	равнопеременное (с постоянным ускорением)

Физические величины, характеризующие механическое движение

Прямолинейное равномерное движение

Физическая величина	Формула	График зависимости от времени	Физическая величина	Формула	График зависимости от времени
Ускорение, , (м/с 2 )	,		Перемещение (путь), , (м)	,
Скорость, , (м/с)	, ,		Координата, х, (м)	, закон движения

Прямолинейное равнопеременное движение

Физическая величина	Формула	График зависимости от времени	Физическая величина	Формула	График зависимости от времени
Ускорение, , (м/с 2 )	, ,		Перемещение (путь), , (м)	, , ,
Скорость, , (м/с)	,		Координата, х, (м)	, закон движения

Средняя скорость движения:

Движение в поле силы тяжести

Свободным падением называется движение, которое совершило бы тело только под действием силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Видео:Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать

Равнопеременное криволинейное движение

Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной: . Найдем закон этого движения, считая, что при : , а , где — начальная скорость точки. Согласно формуле имеем .

Так как , то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим:

Формулу представим в виде

или .

Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволинейного движения точки в виде

Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает — замедленным.

Свободное падение тел. Ускорение свободного падения

Свободное падение — это движение тела под действием только силы тяжести.

На тело, падающее в воздухе, кроме силы тяжести действует сила сопротивления воздуха, следовательно, такое движение не является свободным падением. Свободное падение — это падение тел в вакууме.

Ускорение , которое сообщает телу сила тяжести, называют ускорением свободного падения. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость свободно падающего тела за единицу времени.

Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз.

Галилео Галилей установил (закон Галилея): все тела падают на поверхность Земли под действием земного притяжения при отсутствии сил сопротивления с одинаковым ускорением, т.е. ускорение свободного падения не зависит от массы тела.

Убедиться в этом можно, используя трубку Ньютона или стробоскопический метод.

Трубка Ньютона представляет собой стеклянную трубку длиной около 1 м, один конец которой запаян, а другой снабжен краном (рис. 25).

Рис.25

Поместим в трубку три разных предмета, например дробинку, пробку и птичье перо. Затем быстро перевернем трубку. Все три тела упадут на дно трубки, но в разное время: сначала дробинка, затем пробка и, наконец, перо. Но так падают тела в том случае, когда в трубке есть воздух (рис. 25, а). Стоит только воздух откачать насосом и снова перевернуть трубку, мы увидим, что все три тела упадут одновременно (рис. 25, б).

В земных условиях g зависит от географической широты местности.

Наибольшее значение оно имеет на полюсе g=9,81 м/с 2 , наименьшее — на экваторе g=9,75 м/с 2 . Причины этого:

1) суточное вращение Земли вокруг своей оси;

2) отклонение формы Земли от сферической;

3) неоднородное распределение плотности земных пород.

Ускорение свободного падения зависит от высоты h тела над поверхностью планеты. Его, если пренебречь вращением планеты, можно рассчитать по формуле:

где G — гравитационная постоянная, М — масса планеты, R — радиус планеты.

Как следует из последней формулы, с увеличением высоты подъема тела над поверхностью планеты ускорение свободного падения уменьшается. Если пренебречь вращением планеты, то на поверхности планеты радиусом R

Для небольших высот (g 3 , где А=4 м, В=2м/с, С=-0,5 м/с 3 .

Для момента времени t₁=2 c определить: 1) координату точки х₁ точки; 2) мгновенную скорость v₁; 3) мгновенное ускорение а₁.

Дано: x = A + Bt + Ct 3 , А=4 м, В=2 м/с, С=-0,5 м/с 3 , t₁=2 c.

Решение. 1.Подставим в уравнение движения вместо t заданное значение времени t₁: x₁ = A + Bt₁ + Ct₁ 3 . Подставим в это выражение значения А, В, С, t₁ и произведем вычисления: х₁ = 4 м.

2. Мгновенная скорость: Тогда в момент времени t₁ мгновенная скорость v₁ = B + 3Ct₁ 2 . Подставим сюда значения В,С, t₁: v₁= – 4 м/с. Знак минус указывает на то, что в момент времени t₁=2 c точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение: Мгновенное ускорение в момент времени t₁ равно а₁ = 6Сt₁. Подставим значения С, t₁: а₁= –6 м/с 2 . Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 9.Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид х = A + Bt + Ct 2 , где А=5 м, В=4м/с, С= -1м/с 2 . Определить среднюю скорость v_хср за интервал времени от t₁=1 c до t₂=6 c.

Дано: х = A + Bt + Ct 2 , А=5м, В=4м/с, С=- 1м/с 2 , t₁=1 c , t₂=6 c.

Решение. Средняя скорость за интервал времени t₂-t₁ определяется выражением v_ср=(х₂-х₁)/(t₂— t₁).

Подставим значения х₁, х₂, t₁ , t₂ и произведем вычисления: v_хср= -3 м/с.

Пример 10.Из вертолета, находящегося на высоте h = 300 м, сбросили груз. Через какое время груз достигнет земли, если: а) вертолет неподвижен; б) вертолет опускается со скоростью v₀=5 м/с; 3) вертолет поднимается со скоростью v₀=5 м/с. Описать графически соответствующие движения груза в осях s(t), v(t) и a(t).

Решение.а) Груз, покинувший неподвижный вертолет, свободно падает, т.е. движется равноускоренно с ускорением свободного падения g. Время движения найдем из соотношения Откуда Графики движение объекта отмечены 1 на рисунке.

б) Движение груза, покинувшего вертолет, который опускается с постоянной скоростью v₀=5 м/с, является равноускоренным движением с постоянным ускорением g и описывается уравнением . Подстановка численных значений дает уравнение .

Отрицательный результат не имеет физического смысла, поэтому время движения t=7,57 с.

Графики движение объекта отмечены 2 на рисунке.

3) Движение груза, покинувшего вертолет, который поднимается с постоянной скоростью v₀=5 м/с, cостоит из двух этапов. На первом этапе – груз движется равнозамедленно с постоянным ускорением g, направленным противоположно скорости, и описывается уравнениями .

В верхней точке траектории скорость становится равной нулю, поэтому .

Подставляя второе уравнение системы в первое, получим м.

На втором этапе – свободное падение с высоты м.

Поскольку , то м.

Графики движение объекта отмечены 3 на рисунке.

Пример 11.С воздушного шара, опускающегося вниз с постоянной скоростью 2 м/с, бросили вертикально вверх груз со скоростью 18 м/c относительно земли. Определить расстояние между шаром и грузом в момент, когда груз достигает высшей точки своего подъема. Через какое время груз пролетит мимо шара, падая вниз.

Решение. Направим ось 0Y вертикально вверх, начало совместим с точкой 0, в которой находился шар в момент бросания груза.

Тогда уравнения движения груза и воздушного шара:

Скорость движения груза изменяется по закону v₂=v₀₂ – gt.

В наивысшей точке В подъема груза v₂=0. Тогда время подъема до этой точки t_под=v₀₂/g. Координата груза в точке В

За это время воздушный шар опустился до точки А; его координата

Через промежуток времени τ, когда камень пролетит мимо шара, координаты тел будут одинаковы: у_1С=у_2С;

– v01τ = v02t – gt2/2.

Отсюда τ = 2(v01+v02)/g ≈ 4 c.

Пример 12.С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за два часа пролететь на север 300 км, если во время полета дует северо-западный ветер под углом 30 о к меридиану со скоростью 27 км/ч?

Дано: t=7,2∙10 3 c; l=3∙10 5 м; α=30° ≈ 0,52 рад; v₂ ≈7,2 м/с.

Решение. Рассмотрим движение самолета в системе отсчета, связанной с землей.

Проведем ось ОХ в направлении на восток, а ось OY — на север. Тогда скорость движения самолета в выбранной системе отсчета

(1)

Уравнение (1) в проекции на оси

Разделив эти уравнения почленно, получим tgφ=v₁sinα/(v₁cosα+ v),

Возводя в квадрат правые и левые части уравнений (3) и складывая полученные уравнения, находим

v₂ 2 ∙sin 2 φ + v₂ 2 ∙cos 2 j = v₁ 2 sin 2 α+ (v₁∙cosα + v) 2 ,

откуда , или с учетом (2)

Пример 13.Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через t=3 с. Найти высоту подъема тела и его начальную скорость.

Решение.Движение тела вверх является равнозамедленным с ускорением — g и происходит в течение времени t₁, а движение вниз – равноускоренным с ускорением g и происходит в течение времени t₂. Уравнения, описывающие движение на участках АВ и ВА, образуют систему:

Поскольку , то . Подставив v₀ в первое уравнение системы, получим . Если сравнить это выражение с третьим уравнением системы, то можно сделать вывод о том, что время подъема равно времени спуска t₁=t₂=t/2=1,5с. Начальная скорость и скорость при приземлении равны друг другу и составляют м/с.

Высота подъема тела

м.

Пример 14.Свободно падающее тело в последнюю секунду движения прошло половину пути. Найти высоту, с которой оно брошено и время движения.

Решение.Зависимость пройденного пути от времени для свободно падающего тела . Поскольку участок ВС, составляющие половину всего пути, пройден за время, равное 1 с, то первая половина пути АВ пройдена за время (t-1) с. Тогда движение на участке ВС может быть описано как .

Решая систему получим . Корни этого уравнения t₁=3,41 с и t₂=0,59 с. Второй корень не подходит, т.к. время движения, исходя из условия задачи, должно превышать одну секунду. Следовательно, тело падало в течение 3,41 с и прошло за это время путь м.

Пример 15.С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с.

Найти: 1) сколько времени камень будет в движении, 2) на каком расстояниион упадет на землю, 3) с какой скоростью он упадет на землю, 4) какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Перемещение брошенного горизонтально камня можно разложить на два: горизонтальное s_x и вертикальное s_y:

где t — время движения.

Пример 16.С башни высотой 25 м горизонтально со скоростью v_x=10 м/c брошено тело.

Найти: 1) время t падения тела, 2) на каком расстоянии l от основания башни оно упадет, 3) скорость v в конце падения, 4) угол, который составит траектория тела с землей в точке его приземления.

Решение.Движение тела является сложным. Оно участвует в равномерном движении по горизонтали и равноускоренном с ускорением g по вертикали. Поэтому участок АВ описывается уравнениями:

Для точки А эти уравнения принимают вид:

Тогда м, а м/с.

Поскольку , то м/с.

Угол, который траектория составляет с землей, равен углу φ в треугольнике скоростей в т. А, тангенс которого , поэтому φ=68,7°.

Пример 17.Для тела, брошенного с горизонтальной скоростью v_x=10 м/с, через время t=2 с после начала движения найти: нормальное, тангенциальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории в этой точке.

Решение.Вертикальная составляющая скорости м/с

Скорость в точке А:

, м/с .

Векторы образуют треугольник скоростей, а векторы — треугольник ускорений. Как видно из рисунка, эти треугольники подобны, а это означает, что их стороны пропорциональны: .

Отсюда, м/с 2 ,

м/с 2 .

Нормальное ускорение , поэтому радиус кривизны траектории

м.

Пример 18.Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 40 о к горизонту.

Найти: 1) на какую высоту поднимется мяч; 2) на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю, 3) сколько времени он будет в движении.

Решение. 1) Найдем наибольшую высоту s_y _max, на которую поднимается тело, брошенное со скоростью v_o подуглом α к горизонту. Имеем (см. рис.):

В верхней точке v_y=0 и из (1) получим v_o∙sin𝛼 = gt₁, отсюда время подъема мяча t₁=v_o∙sinα/g. Подставляя t₁ в (2), получим

2) Найдем дальность полета s_x _max тела, брошенного под углом к горизонту.

Тело упадет на горизонтальную плоскость через время t₂=2t₁=2v_osinα/g.

Подставляя t₂ в (4), получим s_xmax = v_о 2 sin2α/g=10,0 м.

Пример 19.Тело брошено со скоростью v₀=10 м/с 2 под углом α=30° к горизонту. На какую высоту тело поднимется. На каком расстоянии от места бросания оно упадет на землю? Какое время он будет в движении?

Решение.Горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости

Движение на участке ОА можно разложить на два простых движения: равномерное по горизонтали и равнозамедленное по вертикали:

Тогда и .

Если тело участвует одновременно в нескольких движениях, то в каждом из них оно участвует независимо от другого, следовательно, время движения на участке АВ определяется временем движения вниз – t₂. На основании вывода, сделанного в задаче 4, время движения вверх равно времени движения вниз, а, значит, с с.

При равномерном движении по горизонтали за равные промежутки времени тело проходит равные участки пути, следовательно,

м.

Дальность полета м.

Высота подъема тела м.

Пример 20.Точка движется прямолинейно на плоскости по закону x=4(t-2) 2 . Каковы начальная скорость v₀ и ускорение точки a? Найти мгновенную скорость точки v_t₌₅ в начале пятой секунды движения.

Решение.

1) Т.к. , то

при м/с.

2) Т.к. , то м/с.

3) При t=4, т.к. до начала 5 с прошло 4 с.

м/с.

Ответ: Начальная скорость точки v₀=-16 м/с, ускорение a=8 м/с, скорость точки в начале пятой секунды движения v_t₌₅=32 м/с.

Вопросы для самопроверки

— Что изучает кинематика?

— Совпадает ли направление ускорения с направлением скорости материальной точки при равноускоренном движении? при равнозамедленном движении?

— Какие кинематические характеристики движения остаются постоянными при равномерном прямолинейном движении? при равноускоренном движении?

— Какие величины, характеризующие движение, можно определить по графику скорости?

— Два поезда идут навстречу друг другу; один ускоренно на север, другой замедленно на юг. Как будут направлены векторы ускорений поездов?

— Чем отличаются движения, уравнения которых приведены x₁=3-5t-2t 2 ; x₂=-3+5t-2t 2 ?

— Какие существуют способы описания движения материальной точки?

— Перечислите основные способы задания движения точки.

— Что должно быть известно при естественном способе задания движения точки?

— Какие кинематические способы задания движения точки существуют и в чем состоит каждый из этих способов?

— Запишите в общем виде закон движения в естественной и координатной форме?

— Что называют траекторией движения?

— Как определяется скорость движения при естественном способе задания движения?

— Запишите формулы для определения касательного, нормального и полного ускорений?

— Что характеризует касательное ускорение и как оно направлено по отношению к вектору скорости?

— Что характеризует нормальное ускорение и как направлено нормальное ускорение?

Видео:Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Кинематические уравнения равнопеременного движения.

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.

Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

= ‘

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

Ускорение – это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

= ‘ = «

Учитывая, что ₀ – скорость тела в начальный момент времени (начальная скорость), – скорость тела в данный момент времени (конечная скорость), t – промежуток времени, в течение которого произошло изменение скорости, формула ускорения будет следующей:

Отсюда формула скорости равнопеременного движения в любой момент времени:

= ₀ + t

Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).

Общая формула для определения проекции перемещения:

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t₁ равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Формула сокращённого умножения разности квадратовпоможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, тоуравнение движения тела будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а_x

\|	следующая лекция ==>
\|	Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 7633 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ