Равенство двух рациональных выражений называется рациональным или иррациональным уравнением (4 видео)

2.1.2 Рациональные уравнения

Все уравнения, которые не содержат корней или других иррациональных выражений, называются рациональными. Например, уравнение вида:

Рациональные уравнения делятся на целые рациональные и дробные.

Если же переменная содержится в знаменателе, то такое уравнение называется дробным.

Целое рациональное уравнение:

Областью допустимых значений для такого уравнения будут считаться все значения из действительного множества чисел.

Дробное рациональное уравнение:

При решении такого уравнения необходимо учитывать ОДЗ, поскольку знаменатель не может быть равен нулю.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Урок «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Тема урока : « Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем ».

закрепить основные способы решения рациональных и иррациональных уравнений и систем;

Повторить некоторые приемы решения рациональных и иррациональных уравнений;

формировать приемы логического мышления;

развивать умения анализировать, умения работать с информацией, представленной в различных формах;

развивать коммуникативные умения;

развивать интерес к предмету.

воспитание коммуникативной и информационной культуры студентов;

эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Вид урока: комбинированный, с работой на ИД, частично – поисковый.

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков .

Технологии обучения: информационно – коммуникационная, здоровье сберегающая, коллективная.

ноутбук, интерактивная доска, проектор, презентация.

презентация к учебному занятию в PowerPoint ««Уравнения, неравенства и системы»;электронные ресурсы;

Башмаков М.И. Математика. Учебник для НПО и СПО . Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.

чертежные принадлежности, тетради студентов.

1.Актуализация ранее усвоенных знаний:

1.1. Проверка домашнего задания ( фронтальная проверка, выборочно проверить в тетрадях ) .

1.2.Фронтальный опрос: по теме «Рациональные и иррациональные уравнения» . Повторить алгоритм решения рациональных и иррациональных уравнений, и их систем, основные методы решения, изучаемые ранее.

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)

О чем приходится задумывать и помнить при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ).

3) Для следующих уравнений назовите ОДЗ:

4) В следующих случаях восстановите запись:

5) Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа решения простейших иррациональных уравнений.)

6) Назовите эти способы (- замена уравнения уравнением-следствием путем возведения обеих частей уравнения в квадрат с обязательной последующей проверкой корней уравнения-следствия в исходном уравнении; — замена иррационального уравнения равносильной смешанной системой).

2. Систематизация и закрепление материала : (формы на данном этапе: фронтальная и индивидуальная работа; методы: наглядный, частично — поисковый, проблемный).

2.1. Фронтальная беседа с обучающимися:

Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.

1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением .

Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода : нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А ₁ (х)А ₂ (х)А ₃ (х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А ₁ (х)=0,А ₂ (х)=0,А ₃ (х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений (примеры 1-2).

2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х (пример3)

где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.

Решают уравнение А(х)•D(х) — С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения (пример 4).

2.2. Решение рациональных уравнений и систем: № 33.1(а,б).

Уравнение распадается на два уравнения.

Значит, уравнение исходное имеет корни х ₁ = 2, х ₂ = 3, х ₃ = -2, х ₄ =1. Ответ. -2; 1; 2; 3.

ПРИМЕР 2 . Решим уравнение х 3 -7х+6=0.

Сначала решим уравнение

Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим

х ₂ 2 — х ₂ — 6 = 49 + 7 — 6 = 50 ≠0.

Это показывает, что число х ₁ = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х ₂ =- 7 — корень этого уравнения. Ответ. -7.

х 2 — 5х + 6 — (2х + 3) (х — 3) = 0.

Число х ₁ не обращает в нуль знаменатель х — 3, а число х ₂ обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5. Ответ. -5.

Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Решим уравнение х 8 + 4х 6 -10х 4 + 4х 2 + 1 = 0.

Число х ₀ = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению

х 4 + 4х 2 — 10 + + =0

Обозначим t = ,тогда х 4 += t 2 -2 ,

получаем t 2 + 4t — 12 = 0, х ₁ = 2 и х ₂ = -6.

Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2, и =-6,

Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.

2.3. Решение иррациональных уравнений и систем:№ 33.14(а, б).

Видео:Рациональные и иррациональные числа за 5 минутСкачать

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Тождественное равенство рациональных выражений

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Тождественное равенство рациональных выражений.

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Равенство двух рациональных выражений называется тождеством или тождественным равенством, если оно обращается в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых оба эти выражения определены.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Более того, для каждого из этих значений с (кроме с = 2 и с = 1), числовые значения правой и левой частей в равенстве (1) равны между собой. Давайте проверим это.

Действительно 22 = 22.

Левая часть равенства – дробь, а правая, равная ей дробь, полученная умножением её числителя и знаменателя на одно и то же, не равное нулю, число.

Равенство двух рациональных выражений называется тождеством или тождественным равенством, если оно обращается в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых оба эти выражения определены.