Рациональные уравнения приводимые к квадратным уравнениям

2 .

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение:

Ответ:

3 .

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

Ответ:

4 .

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .

Чтобы его решить,

1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену:

5. Выразим через t выражение :

Отсюда

Получим уравнение относительно t:

Ответ:

5. Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

В этом равенстве А, В и С — числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень ( в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на

Или на

Или на

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

Сократим дроби, получим:

Теперь мы вводим замену переменной:

И решаем квадратное уравнение относительно замены:

.

При решении уравнения я обычно придерживаюсь такой тактики: нужно уменьшить количество различных выражений, в состав которых входит неизвестное ( принцип «бритвы Оккама» — не нужно множить сущности без нужды), а для этого помогает разложить выражения с неизвестным на множители. Разложим выражение, стоящее в правой части уравнения на множители.

Перенесем все влево, получим:

Теперь мы видим, что перед нами однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на , предварительно проверив, что х=1 не является корнем исходного уравнения.

Теперь самое время ввести замену переменной:

Получим квадратное уравнение:

Ответ:

6 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Решается с помощью введения вот такой замены переменной:

В нашем уравнении ,тогда . Введем замену:

Теперь возведем каждую скобку в четвертую степень, используя треугольник Паскаля:

Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:

Ответ: или

7 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.

Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно

Теперь прикинем, что нам удобнее иметь — квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:

Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:

[/pmath]

Введем замену:

Получим квадратное уравнение:

Ответ:

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Конспект урока по алгебре на тему «Уравнения приводимые к квадратным»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок алгебры в 9 классе

ТЕМА: Уравнения, приводимые к квадратным

Общеобразовательные: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя при этом различные приемы и методы.

Развивающие: развивать познавательную активность, активизировать умственную деятельность учащихся, умение работать в команде.

Воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечного результата, развивать чувство солидарности.

Тип урока: формирование умений и навыков.

– Сегодня мы будем решать уравнения третьей и четвертой степеней. В решение таких уравнений большой вклад внесли итальянские математики ХVI в.

Спицион Даль Ферро (1465-1526) и его ученик Фиори.
Н. Тарталья (ок. 1499-1557).
Дж. Кардано (1501-1576) и его ученик Л. Феррари.
Р. Бомбели (ок. 1530-1572).
12 февраля 1535 г. между Фиори и Н. Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил 30 задач, предложенных Фиори, а сам Фиори не решил ни одной.

Итак, Тарталья за 2 часа решил 30 задач. Мы проведём математический турнир и узнаем, сколько уравнений сможете решить вы за 40 минут? Какие способы решения уравнений при этом изберёте?

II. Актуализация опорных знаний

Итак, мы повторили, что называется корнем уравнения, вспомнили способ решения уравнения разложением на множители.

III. Объяснение нового материала.

1. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, попросив их рассказать алгоритм решения дробно-рациональных уравнений. После этого предложить учащимся использовать этот алгоритм при решении уравнения.

(пример 2 из учебника).

Далее делается в ы в о д, что решение данного уравнения по алгоритму является громоздким, поэтому целесообразно применить ряд преобразований.

2. Рассмотреть пример 4 из учебника. Здесь возникает такая же ситуация: решение данного дробно-рационального уравнения приводит к целому уравнению четвертой степени, корни которого известными методами найти очень сложно. Зато после введения новой переменной полученное уравнение решается довольно просто.

IV. Формирование умений и навыков.

Работа у доски и в тетрадях.

Решение уравнения по цепочке.

1. № 293 (а), № 294 (а).

2. № 297 (а, б), № 298 (б).

Учащимся с высоким уровнем подготовки можно решить еще несколько дробно-рациональных уравнений.

.

С д е л а е м з а м е н у: , тогда

;

;

а ₁ = –1, а ₂ = .

В е р н е м с я к з а м е н е:

х _{1, 2} = .

;

2 х 2 – 3 х – 2 = 0;

х ₁ = = 2;

х ₂ = .

О т в е т: .

4. = –1,5.

Проверим, что х ≠ 0, и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х :

= –1,5.

С д е л а е м з а м е н у: . Получим:

;

8 ( а – 5) + 10 ( а + 1) + 3 ( а + 1) ( а – 5) = 0;

8 а – 40 + 10 а + 10 + 3 а 2 – 15 а + 3 а – 15 = 0;

3 а 2 + 6 а – 45 = 0;

В е р н е м с я к з а м е н е:

х _{1, 2} = .

;

О т в е т: .

5. = 3.

Вычтем и прибавим к выражению, стоящему в левой части уравнения, выражение , чтобы получить полный квадрат:

;

;

;

.

С д е л а е м з а м е н у: = t . Получим:

В е р н е м с я к з а м е н е:

х _{1, 2} = .

= –3;

О т в е т: .

Проверка знаний и умений

1. Какое из уравнений имеет корни, равные – 1; 3; – 3?

А. (x – 1)(x 2 – 9) = 0
Б. (x + 1)(x 2 – 9) = 0
В. (x + 1)(x 2 + 9) = 0
Г. (x – 1)(x 2 + 9) = 0

2. Найдите корни уравнения (2x – 3)(x + 4) = 0.

А. 1,5 и – 4
Б. – 1,5 и 4
В. 1,5 и 4
Г. – 1,5 и – 4

3. Решите уравнение: 5 x 2 = 25x

4. Закончи фразу: «Произведение корней уравнения x 4 – 2x 2 – 8 = 0 равно числу …»

5. Решите уравнение ( решение и ответы оформите на отельном листе)

(x 2 + 4x)(x 2 + 4x – 17) = – 60

1. Какое из уравнений имеет корни, равные – 2; 5 – 5?

А. (x – 2)(x 2 – 25) = 0
Б. (x + 2)( x 2 + 25) = 0
В. (x + 2)( x 2 – 25) = 0
Г. (x – 2)( x 2 + 25) = 0

2. Найдите корни уравнения (2x + 7)(x – 4) = 0.

А. 3,5 и – 4
Б. – 3,5 и – 4
В. 3,5 и 4
Г. – 3,5 и 4

3. Решите уравнение: 3x – x 2 = 0

4. Закончи фразу: «Произведение корней уравнения x 4 – 8x 2 – 9 = 0 равно числу …»

5. Решите уравнение ( решение и ответы оформите на отельном листе)

(x 2 – 5x)(x 2 – 5x + 10) + 24 = 0

Ответы к тесту демонстрируются на слайде.

Поменяйтесь тестами.
Проверьте друг у друга. (Ответы на экране).
Исправьте ошибки.
Поставьте оценки.
Поблагодарите друг друга.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какими приемами и методами можно решать дробно-рациональные уравнения?

– Опишите решение дробно-рационального уравнения по алгоритму.

– В каких случаях при решении дробно-рациональных уравнений целесообразно использовать метод введения новой переменной?

– Сколько уравнений решили сегодня на уроке? Какие способы решения вы применяли?

Видео:Решение уравнений сводящихся к квадратным уравнениям. Биквадратные уравнения – 8 класс алгебраСкачать

Тема урока: «Рациональные решения квадратных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

• образовательная: обобщить и систематизировать знания и умения решения квадратных уравнений;
• развивающая: формировать умения определять тип квадратного уравнения и выбирать рациональное решение по его коэффициентам;
• воспитательная: воспитывать внимательность и краткость изложения решений.

Тип урока: обобщение знаний и умений решения квадратных уравнений.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки с заданиями, доска.

Эпиграф

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г.Лейбниц)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Учитель настраивает учащихся на урок и даёт установку на внимательность в подходе к решению квадратных уравнений.

2. Проверка домашнего задания.

Учащиеся сдают тетради на проверку. Учитель отвечает на возникшие вопросы у учащихся.

3. Формулирование цели и задачи урока.

Рассмотрим несколько вариантов решения квадратных уравнений, сравним их и научимся выбирать рациональное решение.

4. Классификация квадратных уравнений.

На интерактивной доске учащимся представляется таблица классификации квадратных уравнений и предлагается её прокомментировать.

a, b, c – некоторые числа, причем a 0.

D = b 2 – 4ac (дискриминант);

если D > 0, то уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х_{2 ;}

если D = 0, то уравнение имеет один корень (или ещё говорят, имеет два равных корня)

х (х₁ х₂ = );

если D 2 +2kx + c =0,

D = 4(k 2 –ac) = 4D₁ (дискриминант), где D₁ = k 2 –ac;

если D₁ >0, то D >0, уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х₂;

если D₁ = 0, то D = 0, уравнение имеет один корень х ;

б) D > 0, если a+b+c=0, то

х₁ = 1; х₂ = ;

D = 0, если a+b+c=0, то

в) D > 0, если a-b+c=0, то

х₁ = -1; х₂ = ;

D = 0, если a-b+c=0, то

х = -1.Приведенное квадратное уравнениеЧастный случай приведенного квадратного уравненияx 2 + px + q = 0, если D > 0, уравнение имеет два корня и решается по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = -p, х₁·х₂ = q.Если p – четное, D = 4(– q)= 4D₂ (дискриминант),

где D₂ = (– q);

D₂ > 0, то D > 0, уравнение имеет два корня

х₁ + , х₂ — .

Неполное квадратное уравнениеа) ax 2 + c = 0, где с0;

если — > 0, то

х₁ — , х₂ = ;

если — 2 + bx = 0, где b0; уравнение имеет два корня

х₁ = 0, х₂ = — .в) ax 2 = 0; уравнение имеет один корень

х = 0.Метод “переброски”

ax 2 + bx + c = 0, для решения данного квадратного уравнения составим и решим вспомогательное квадратное уравнение путём умножения свободного члена на первый коэффициент и запишем это произведение в новом уравнении свободным членом, т.е. получим квадратное уравнение вида

у 2 + by + ac = 0. Полученное квадратное уравнение можно решать любым рациональным способом (как правило, по теореме, обратной теореме Виета). Его корни — у₁ и у₂. Корни исходного квадратного уравнения:

х₁ = и х₂ = .

5. Ознакомившись с таблицей классификации, трём учащимся предлагается составить свои уравнения для каждого случая и решить их на доске с последующими комментариями.

1. 5х 2 – 11х + 2 = 0;

D = b 2 – 4ac = (-11) 2 — 45·2 = 81; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 0,2;

х₂ = = = 2.

2. 3х 2 – 14х + 16 = 0;

D₁ = k 2 –ac = (-7) 2 — 316 = 1; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 2;

х₂ = = = 2.

Ответ: 2; 2.

3. 15х 2 +22х — 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как 15 + 22 – 37 = 0, то х₁ = 1, х₂ = = — 2 .

Ответ: 1; — 2 .

Следующим трём учащимся предлагается аналогичное задание, но для других случаев.

4. -15х 2 + 22х + 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как -15– 22 + 37 = 0, то х₁ = -1 , х₂ = = 2 .

Ответ: -1; 2 .

5. х 2 – 5х + 6 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = 5, х₁·х₂ = 6.

6. х 2 – 6х + 7 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом имеем

х₁ + , х₂ — .

Ответ: — , + .

Следующему учащемуся предлагается решить квадратное уравнение методом “переброски”.

7. 5х 2 + 37х — 24 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

составим вспомогательное уравнение

у 2 + 37y – 120 = 0; по теореме, обратной теореме Виета у₁+ у₂ = -37, у₁·у₂ = -120.

Значит, у₁ = -40, у₂ = 3, тогда корни исходного уравнения

х₁ = — 8, х₂ = .

Ответ: — 8, .

6. Устные упражнения:

(учащимся предлагается прокомментировать возможные способы рационального решения квадратного уравнения).

1. 2х 2 + 3х + 1 = 0; (D > 0, a – b + c = 0);

2. х 2 + 5х — 6 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

3. 3х 2 — 7х + 4 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

4. 5х 2 + 8х + 3 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a – b + c = 0);

5. у 2 — 10y – 24 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

6. у 2 + y – 90 = 0; (D > 0, по теореме, обратной теореме Виета);

7. у 2 — 8y – 84 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

8. 3х 2 — 8х + 5 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a + b + c = 0);

9. 3х 2 + 6х = 0; (неполное квадратное уравнение; случай б));

10. 4х 2 — 16 = 0; (неполное квадратное уравнение; случай а));

11. 3у 2 — 3y + 1 = 0; (D 2 — 5х — 1 = 0; (D > 0, метод “переброски”).

7. Творческая самостоятельная работа

(по карточкам; в двух вариантах; с последующей устной проверкой).

8. Домашнее задание.

1. Повторите таблицу классификации квадратных уравнений.

2. Решите квадратные уравнения наиболее рациональным способом:

3. Составить пять квадратных уравнений с недостающими коэффициентами.